Cập nhật nội dung chi tiết về Bt Trắc Nghiệm Đại Số Và Giải Tích 11 mới nhất trên website Asianhubjobs.com. Hy vọng thông tin trong bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu ngoài mong đợi của bạn, chúng tôi sẽ làm việc thường xuyên để cập nhật nội dung mới nhằm giúp bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.
Giới thiệu về BT trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11
Sgk Đại số và Giải tích 11 gồm có 5 chương:
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Bài 1: Hàm số lượng giác
Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản
Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp
Chương 2: Tổ hợp – Xác suất
Bài 1: Quy tắc đếm
Bài 2: Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp
Bài 3: Nhị thức Niu-tơn
Bài 4: Phép thử và biến cố
Bài 5: Xác suất của biến cố
Chương 3: Dãy số – Cấp số cộng và cấp số nhân
Bài 1-2: Phương pháp quy nạp toán học – Dãy số
Bài 3: Cấp số cộng
Bài 4: Cấp số nhân
Chương 4: Giới hạn
Bài 1: Giới hạn của dãy số
Bài 2: Giới hạn của hàm số
Bài 3: Hàm số liên tục
Chương 5: Đạo hàm
Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm
Bài 3: Đạo hàm của các hàm số lượng giác
Bài 4: Vi phân
Bài 5: Đạo hàm cấp hai
Ôn tập cuối năm
BT trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 gồm 78 bài viết là các bài tập xoay quanh nội dung kiến thức trong chương trình sgk Đại số và Giải tích 11.
Bài 1: Hàm số lượng giác
Lý thuyết: Hàm số lượng giác Tìm tập xác định của hàm số Xác định tính chẵn – lẻ của hàm số Bài tập trắc nghiệm: Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số Bài tập trắc nghiệm: Tìm chu kì của hàm số lượng giác Bài tập trắc nghiệm: Xác định hàm số có đồ thị cho trước Bài tập trắc nghiệm: Hàm số lượng giác (phần 1) Bài tập trắc nghiệm: Hàm số lượng giác (phần 2)
Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản
Lý thuyết: Phương trình lượng giác cơ bản Bài tập trắc nghiệm: Phương trình lượng giác cơ bản Bài tập trắc nghiệm: Phương trình lượng giác cơ bản (phần 1)
Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp
Lý thuyết: Một số phương trình lượng giác cơ bản Bài tập trắc nghiệm: Một số phương trình lượng giác cơ bản Bài tập trắc nghiệm: Một số phương trình lượng giác cơ bản (phần 1) Bài tập trắc nghiệm: Ôn tập Chương 1 (phần 1) Bài tập trắc nghiệm: Ôn tập Chương 1 (phần 2) Bài tập trắc nghiệm: Ôn tập Chương 1 (phần 3) Đề kiểm tra Đại số và giải tích chương 1
Chương 2: Tổ hợp – Xác suất
Bài 1: Quy tắc đếm
Lý thuyết: Quy tắc đếm Bài tập trắc nghiệm: Quy tắc đếm Bài tập trắc nghiệm: Quy tắc đếm (phần 1)
Bài 2: Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp
Lý thuyết: Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp Bài tập trắc nghiệm: Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp Bài tập trắc nghiệm: Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp (phần 1)
Bài 3: Nhị thức Niu-tơn
Lý thuyết: Nhị thức Niu – Tơn Bài tập trắc nghiệm: Nhị thức Niu – Tơn Bài tập trắc nghiệm: Nhị thức Niu – Tơn (phần 1)
Bài 4: Phép thử và biến cố
Lý thuyết: Phép thử và biến cố Bài tập trắc nghiệm: Phép thử và biến cố
Bài 5: Xác suất của biến cố
Lý thuyết: Xác suất của biến cố Bài tập trắc nghiệm: Xác suất của biến cố Bài tập trắc nghiệm: Ôn tập chương 2 Đề kiểm tra Đại số và giải tích chương 2
Chương 3: Dãy số – Cấp số cộng và cấp số nhân
Bài 1-2: Phương pháp quy nạp toán học – Dãy số
Lý thuyết: Phương pháp quy nạp toán học – Dãy số Bài tập trắc nghiệm: Phương pháp quy nạp toán học – Dãy số Bài tập trắc nghiệm: Phương pháp quy nạp toán học – Dãy số (phần 1)
Bài 3: Cấp số cộng
Lý thuyết: Cấp số cộng Bài tập trắc nghiệm: Cấp số cộng
Bài 4: Cấp số nhân
Lý thuyết: Cấp số nhân Bài tập trắc nghiệm: Cấp số nhân Bài tập trắc nghiệm: Ôn tập Chương 3 Đề kiểm tra Đại số và giải tích chương 3
Chương 4: Giới hạn
Bài 1: Giới hạn của dãy số
Lý thuyết: Giới hạn của dãy số Bài tập trắc nghiệm: Giới hạn của dãy số (phần 1) Bài tập trắc nghiệm: Giới hạn của dãy số (phần 2)
Bài 2: Giới hạn của hàm số
Lý thuyết: Giới hạn của hàm số Bài tập trắc nghiệm: Giới hạn của hàm số Bài tập trắc nghiệm: Giới hạn của hàm số (phần 1) Bài tập trắc nghiệm: Giới hạn của hàm số (phần 2)
Bài 3: Hàm số liên tục
Lý thuyết: Hàm số liên tục Bài tập trắc nghiệm: Hàm số liên tục Bài tập trắc nghiệm: Ôn tập Chương 4 (phần 1) Bài tập trắc nghiệm: Ôn tập Chương 4 (phần 2) Bài tập trắc nghiệm: Ôn tập Chương 4 (phần 3) Bài tập trắc nghiệm: Ôn tập Chương 4 (phần 4) Bài tập trắc nghiệm: Ôn tập Chương 4 (phần 5) Đề kiểm tra Đại số và giải tích chương 4
Chương 5: Đạo hàm
Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Lý thuyết: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm Bài tập trắc nghiệm: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm
Lý thuyết: Các quy tắc tính đạo hàm Bài tập trắc nghiệm: Các quy tắc tính đạo hàm
Bài 3: Đạo hàm của các hàm số lượng giác
Lý thuyết: Đạo hàm của các hàm số lượng giác Bài tập trắc nghiệm: Đạo hàm của các hàm số lượng giác
Bài 4: Vi phân
Lý thuyết: Vi phân Bài tập trắc nghiệm: Vi phân
Bài 5: Đạo hàm cấp hai
Lý thuyết: Đạo hàm cấp hai Bài tập trắc nghiệm: Đạo hàm cấp hai Bài tập trắc nghiệm: Ôn tập Chương 5 (phần 1) Bài tập trắc nghiệm: Ôn tập Chương 5 (phần 2) Đề kiểm tra Đại số và giải tích chương 5 Hướng dẫn giải Đề kiểm tra Đại số và giải tích chương 5
Ôn tập cuối năm
Bài tập trắc nghiệm: Ôn tập cuối năm Đại số và giải tích (phần 1) Bài tập trắc nghiệm: Ôn tập cuối năm Đại số và giải tích (phần 2) Bài tập trắc nghiệm: Ôn tập cuối năm Đại số và giải tích (phần 3) Bài tập trắc nghiệm: Ôn tập cuối năm Đại số và giải tích (phần 4) Bài tập trắc nghiệm: Ôn tập cuối năm Đại số và giải tích (phần 5) Bài tập trắc nghiệm: Ôn tập cuối năm Đại số và giải tích (phần 6) Đề kiểm tra cuối năm Đại số và giải tích 11
Lý thuyết: Hàm số lượng giácTìm tập xác định của hàm sốXác định tính chẵn – lẻ của hàm sốBài tập trắc nghiệm: Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm sốBài tập trắc nghiệm: Tìm chu kì của hàm số lượng giácBài tập trắc nghiệm: Xác định hàm số có đồ thị cho trướcBài tập trắc nghiệm: Hàm số lượng giác (phần 1)Bài tập trắc nghiệm: Hàm số lượng giác (phần 2)Lý thuyết: Phương trình lượng giác cơ bảnBài tập trắc nghiệm: Phương trình lượng giác cơ bảnBài tập trắc nghiệm: Phương trình lượng giác cơ bản (phần 1)Lý thuyết: Một số phương trình lượng giác cơ bảnBài tập trắc nghiệm: Một số phương trình lượng giác cơ bảnBài tập trắc nghiệm: Một số phương trình lượng giác cơ bản (phần 1)Bài tập trắc nghiệm: Ôn tập Chương 1 (phần 1)Bài tập trắc nghiệm: Ôn tập Chương 1 (phần 2)Bài tập trắc nghiệm: Ôn tập Chương 1 (phần 3)Đề kiểm tra Đại số và giải tích chương 1Lý thuyết: Quy tắc đếmBài tập trắc nghiệm: Quy tắc đếmBài tập trắc nghiệm: Quy tắc đếm (phần 1)Lý thuyết: Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợpBài tập trắc nghiệm: Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợpBài tập trắc nghiệm: Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp (phần 1)Lý thuyết: Nhị thức Niu – TơnBài tập trắc nghiệm: Nhị thức Niu – TơnBài tập trắc nghiệm: Nhị thức Niu – Tơn (phần 1)Lý thuyết: Phép thử và biến cốBài tập trắc nghiệm: Phép thử và biến cốLý thuyết: Xác suất của biến cốBài tập trắc nghiệm: Xác suất của biến cốBài tập trắc nghiệm: Ôn tập chương 2Đề kiểm tra Đại số và giải tích chương 2Lý thuyết: Phương pháp quy nạp toán học – Dãy sốBài tập trắc nghiệm: Phương pháp quy nạp toán học – Dãy sốBài tập trắc nghiệm: Phương pháp quy nạp toán học – Dãy số (phần 1)Lý thuyết: Cấp số cộngBài tập trắc nghiệm: Cấp số cộngLý thuyết: Cấp số nhânBài tập trắc nghiệm: Cấp số nhânBài tập trắc nghiệm: Ôn tập Chương 3Đề kiểm tra Đại số và giải tích chương 3Lý thuyết: Giới hạn của dãy sốBài tập trắc nghiệm: Giới hạn của dãy số (phần 1)Bài tập trắc nghiệm: Giới hạn của dãy số (phần 2)Lý thuyết: Giới hạn của hàm sốBài tập trắc nghiệm: Giới hạn của hàm sốBài tập trắc nghiệm: Giới hạn của hàm số (phần 1)Bài tập trắc nghiệm: Giới hạn của hàm số (phần 2)Lý thuyết: Hàm số liên tụcBài tập trắc nghiệm: Hàm số liên tụcBài tập trắc nghiệm: Ôn tập Chương 4 (phần 1)Bài tập trắc nghiệm: Ôn tập Chương 4 (phần 2)Bài tập trắc nghiệm: Ôn tập Chương 4 (phần 3)Bài tập trắc nghiệm: Ôn tập Chương 4 (phần 4)Bài tập trắc nghiệm: Ôn tập Chương 4 (phần 5)Đề kiểm tra Đại số và giải tích chương 4Lý thuyết: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàmBài tập trắc nghiệm: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàmLý thuyết: Các quy tắc tính đạo hàmBài tập trắc nghiệm: Các quy tắc tính đạo hàmLý thuyết: Đạo hàm của các hàm số lượng giácBài tập trắc nghiệm: Đạo hàm của các hàm số lượng giácLý thuyết: Vi phânBài tập trắc nghiệm: Vi phânLý thuyết: Đạo hàm cấp haiBài tập trắc nghiệm: Đạo hàm cấp haiBài tập trắc nghiệm: Ôn tập Chương 5 (phần 1)Bài tập trắc nghiệm: Ôn tập Chương 5 (phần 2)Đề kiểm tra Đại số và giải tích chương 5Hướng dẫn giải Đề kiểm tra Đại số và giải tích chương 5Bài tập trắc nghiệm: Ôn tập cuối năm Đại số và giải tích (phần 1)Bài tập trắc nghiệm: Ôn tập cuối năm Đại số và giải tích (phần 2)Bài tập trắc nghiệm: Ôn tập cuối năm Đại số và giải tích (phần 3)Bài tập trắc nghiệm: Ôn tập cuối năm Đại số và giải tích (phần 4)Bài tập trắc nghiệm: Ôn tập cuối năm Đại số và giải tích (phần 5)Bài tập trắc nghiệm: Ôn tập cuối năm Đại số và giải tích (phần 6)Đề kiểm tra cuối năm Đại số và giải tích 11
Giáo Án Đại Số Và Giải Tích 11
– Nắm được hệ số của khai triển nhị thức Newton thông qua tam giác Pascal.
– Viết thành thạo công thức nhị thức Newton.
– Sử dụng công thức đó vào việc giải toán.
– Tính được các hệ số của khai triển nhanh chóng bằng công thức hoặc tam giác Pascal.
– Tư duy các vấn đề của toán học một cách lôgic và hệ thống.
Giáo viên: Giáo án. Hệ thống bài tập.
Học sinh: SGK, vở ghi. Ôn tập kiến thức đã học về nhị thức Newton.
III. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
Ngày soạn: 10/10/2008 Chương II: TỔ HỢP – XÁC SUẤT Tiết dạy: 30 Bàøi 3: BÀI TẬP NHỊ THỨC NEWTON I. MỤC TIÊU: Kiến thức: Nắm vững công thức nhị thức Newton. Nắm được hệ số của khai triển nhị thức Newton thông qua tam giác Pascal. Kĩ năng: Viết thành thạo công thức nhị thức Newton. Sử dụng công thức đó vào việc giải toán. Tính được các hệ số của khai triển nhanh chóng bằng công thức hoặc tam giác Pascal. Thái độ: Tư duy các vấn đề của toán học một cách lôgic và hệ thống. II. CHUẨN BỊ: Giáo viên: Giáo án. Hệ thống bài tập. Học sinh: SGK, vở ghi. Ôn tập kiến thức đã học về nhị thức Newton. III. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: 1. Ổn định tổ chức: Kiểm tra sĩ số lớp. 2. Kiểm tra bài cũ: (Lồng vào quá trình luyện tập) H. Đ. 3. Giảng bài mới: TL Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của Học sinh Nội dung Hoạt động 1: Luyện tập khai triển nhị thức Newton 10′ H1. Nêu công thức nhị thức Newton ? · Hướng dẫn HS sử dụng MTBT để tính các số . Đ1. 1. Viết khai triển theo công thức nhị thức Newton: a) b) c) Hoạt động 2: Luyện tập sử dụng tính chất các số hạng trong khai triển nhị thức Newton 15′ H1. Nêu công thức số hạng tổng quát ? H2. Xác định hệ số của x2 ? H3. Nêu công thức số hạng tổng quát ? Đ1. · Tk+1 = = · 6 – 3k = 3 Û k = 1 Þ hệ số của x3: = 12 Đ2. Tk+1 = · k = 2 Þ = 90 Þ n = 5 Đ3. Tk+1 = = Þ 24 – 4k = 0 Û k = 6 Þ số hạng cần tìm: = 28 2. Tìm hệ số của x3 trong khai triển của biểu thức: . 3. Biết hệ số của x2 trong khai triển của là 90. Tìm n. 4. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của . Hoạt động 3: Luyện tập vận dụng khai triển nhị thức Newton 15′ H1. Với đa thức P(x) = tổng các hệ số là ? H2. Hãy khai triển các nhị thức Newton ? Đ1. P(1) = an + an-1 + … + a0 Þ (3.1 – 4)17 = (-1)17 = -1 Đ2. a) 1110 = (10 + 1)10 b) 101100 = (100 + 1)100 c) Khai triển lần lượt các nhị thức: sau đó cộng lại. 5. Từ khai triển biểu thức thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức. 6. Chứng minh: a) chia hết cho 100 b) chia hết cho 10000 c) là một số nguyên. Hoạt động 4: Củng cố 3′ · Nhấn mạnh: – Công thức nhị thức Newton – Cách khai tiển nhị thức – Tính chất của các hạng tử 4. BÀI TẬP VỀ NHÀ: Đọc trước bài “Phép thử và biến cố”. IV. RÚT KINH NGHIỆM, BỔ SUNG:
Sách Giáo Khoa Đại Số Và Giải Tích 11 Nâng Cao
Cuốn Sách Giáo Khoa Đại Số Và Giải Tích 11 Nâng Cao do Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam ấn hành, được soạn thảo theo chương trình của Bộ giáo dục Đào tạo . Sách được sử dụng cho giáo viên giảng dạy và học sinh học tập tại các trường THPT và cơ sở giáo dục trên toàn quốc với các kiến thức Toán căn bản và nâng cao mà mọi học sinh lớp 11 cần có.
Cuốn sách gồm năm chương:
CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài 1. Hàm số lượng giác
Bài 2. Phương trình lượng giác cơ bản
Bài 3. Một số phương trình lượng giác thường gặp
Ôn tập chương I – Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 1 – Đại số và Giải tích 11
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Chương 1 – Đại số và giải tích 11
CHƯƠNG II. TỔ HỢP – XÁC SUẤT
Bài 1. Quy tắc đếm
Bài 2. Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp
Bài 3. Nhị thức Niu – Tơn
Bài 4. Phép thử và biến cố
Bài 5. Xác suất và biến cố
Ôn tập chương II – Tổ hợp – Xác suất
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 2 – Đại số và giải tích 11
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Chương 2 – Đại số và giải tích 11
CHƯƠNG III. DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
Bài 1. Giới hạn của dãy số
Bài 2. Giới hạn của hàm số
Bài 3. Hàm số liên tục
Ôn tập chương IV – Giới hạn
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 4 – Đại số và Giải tích 11
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Chương 4 – Đại số và Giải tích 11
Bài 1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Bài 2. Quy tắc tính đạo hàm
Bài 3. Đạo hàm của hàm số lượng giác
Bài 4. Vi phân
Bài 5. Đạo hàm cấp hai
Ôn tập chương V – Đạo hàm
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 5 – Đại số và Giải tích 11
ÔN TẬP CUỐI NĂM – ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11
Đại Số Và Vi Tích Phân Refresher
Một số phép toán khác
CS 229 – Học máy
Đại số tuyến tính và Giải tích cơ bản Star
Bởi Afshine Amidi và Shervine Amidi
Dịch bởi Hoàng Minh Tuấn và Phạm Hồng Vinh
Kí hiệu chung
Định nghĩa
Vectơ Chúng ta kí hiệu $xinmathbb{R}^n$ là một vectơ với $n$ phần tử, với $x_iinmathbb{R}$ là phần tử thứ $i$:
[x=left(begin{array}{c}x_1\x_2\vdots\x_nend{array}right)inmathbb{R}^n]
Ma trận Kí hiệu $Ainmathbb{R}^{mtimes n}$ là một ma trận với $m$ hàng và $n$ cột, $A_{i,j}inmathbb{R}$ là phần tử nằm ở hàng thứ $i$, cột $j$:
[A=left(begin{array}{ccc}A_{1,1}& cdots&A_{1,n}\vdots&& vdots\A_{m,1}& cdots&A_{m,n}end{array}right)inmathbb{R}^{mtimes n}]
Ghi chú: vectơ $x$ được xác định ở trên có thể coi như một ma trận $ntimes1$ và được gọi là vectơ cột.
Ma trận chính
Ma trận đơn vị Ma trận đơn vị $Iinmathbb{R}^{ntimes n}$ là một ma trận vuông với các phần tử trên đường chéo chính bằng 1 và các phần tử còn lại bằng 0:
[I=left(begin{array}{cccc}1&0& cdots&0\0& ddots& ddots& vdots\vdots& ddots& ddots&0\0& cdots&0&1end{array}right)]
Ghi chú: với mọi ma trận vuông $Ainmathbb{R}^{ntimes n}$, ta có $Atimes I=Itimes A=A$.
Ma trận đường chéo Ma trận đường chéo $Dinmathbb{R}^{ntimes n}$ là một ma trận vuông với các phần tử trên đường chéo chính khác 0 và các phần tử còn lại bằng 0:
[D=left(begin{array}{cccc}d_1&0& cdots&0\0& ddots& ddots& vdots\vdots& ddots& ddots&0\0& cdots&0&d_nend{array}right)]
Ghi chú: chúng ta kí hiệu $D$ là $textrm{diag}(d_1,…,d_n)$.
Các phép toán ma trận
Phép nhân
Vectơ/vectơ Có hai loại phép nhân vectơ/vectơ:
– phép nhân inner: với $x,yinmathbb{R}^n$, ta có:
[boxed{x^Ty=sum_{i=1}^nx_iy_iinmathbb{R}}]
– phép nhân outer: với $xinmathbb{R}^m, yinmathbb{R}^n$, ta có:
[boxed{xy^T=left(begin{array}{ccc}x_1y_1& cdots&x_1y_n\vdots&& vdots\x_my_1& cdots&x_my_nend{array}right)inmathbb{R}^{mtimes n}}]
Ma trận/vectơ Phép nhân giữa ma trận $Ainmathbb{R}^{mtimes n}$ và vectơ $xinmathbb{R}^{n}$ là một vectơ có kích thước $mathbb{R}^{m}$:
[boxed{Ax=left(begin{array}{c}a_{r,1}^Tx\vdots\a_{r,m}^Txend{array}right)=sum_{i=1}^na_{c,i}x_{i}inmathbb{R}^{m}}]
với $a_{r,i}^T$ là các vectơ hàng và $a_{c,j}$ là các vectơ cột của $A$, và $x_i$ là các phần tử của $x$.
Ma trận/ma trận Phép nhân giữa ma trận $Ainmathbb{R}^{mtimes n}$ và $Binmathbb{R}^{ntimes p}$ là một ma trận kích thước $mathbb{R}^{mtimes p}$:
[boxed{AB=left(begin{array}{ccc}a_{r,1}^Tb_{c,1}& cdots&a_{r,1}^Tb_{c,p}\vdots&& vdots\a_{r,m}^Tb_{c,1}& cdots&a_{r,m}^Tb_{c,p}end{array}right)=sum_{i=1}^na_{c,i}b_{r,i}^Tinmathbb{R}^{ntimes p}}]
với $a_{r,i}^T, b_{r,i}^T$ là các vectơ hàng và $a_{c,j}, b_{c,j}$ lần lượt là các vectơ cột của $A$ và $B$.
Một số phép toán khác
Chuyển vị Chuyển vị của một ma trận $Ainmathbb{R}^{mtimes n}$, kí hiệu $A^T$, khi các phần tử hàng cột hoán đổi vị trí cho nhau:
[boxed{forall i,j,quadquad A_{i,j}^T=A_{j,i}}]
Ghi chú: với ma trận $A$,$B$, ta có $(AB)^T=B^TA^T$
Nghịch đảo Nghịch đảo của ma trận vuông khả đảo $A$ được kí hiệu là $A-1$ và chỉ tồn tại duy nhất:
[boxed{AA^{-1}=A^{-1}A=I}]
Ghi chú: không phải tất cả các ma trận vuông đều khả đảo. Ngoài ra, với ma trận $A$,$B$, ta có $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
Truy vết Truy vết của ma trận vuông $A$, kí hiệu $textrm{tr}(A)$, là tổng của các phần tử trên đường chéo chính của nó:
[boxed{textrm{tr}(A)=sum_{i=1}^nA_{i,i}}]
Ghi chú: với ma trận $A$,$B$, chúng ta có $textrm{tr}(A^T)=textrm{tr}(A)$ và $textrm{tr}(AB)=textrm{tr}(BA)$
Những tính chất của ma trận
Định nghĩa
Phân rã đối xứng Một ma trận $A$ đã cho có thể được biểu diễn dưới dạng các phần đối xứng và phản đối xứng của nó như sau:
[boxed{A=underbrace{frac{A+A^T}{2}}_{textrm{Symmetric}}+underbrace{frac{A-A^T}{2}}_{textrm{Antisymmetric}}}]
Chuẩn Một chuẩn (norm) là một hàm $N:Vlongrightarrow[0,+infty[$ mà $V$ là một không gian vectơ, và với mọi $x,yin V$, ta có:
– $N(x+y)leqslant N(x)+N(y)$ – nếu $N(x)=0$, thì $x=0$
Chuẩn Kí hiệu Định nghĩa Trường hợp dùng
Manhattan, $L^1$ LASSO regularization
Euclidean, $L^2$ $displaystylesqrt{sum_{i=1}^nx_i^2}$ Ridge regularization
$p$-norm, $L^p$ $displaystyleleft(sum_{i=1}^nx_i^pright)^{frac{1}{p}}$ Hölder inequality
Infinity, $L^{infty}$ Uniform convergence
Sự phụ thuộc tuyến tính – Một tập hợp các vectơ được cho là phụ thuộc tuyến tính nếu một trong các vectơ trong tập hợp có thể được biểu diễn bởi một tổ hợp tuyến tính của các vectơ khác.
Ghi chú: nếu không có vectơ nào có thể được viết theo cách này, thì các vectơ được cho là độc lập tuyến tính
Hạng ma trận (rank) Hạng của một ma trận $A$ kí hiệu $textrm{rank}(A)$ và là số chiều của không gian vectơ được tạo bởi các cột của nó. Điều này tương đương với số cột độc lập tuyến tính tối đa của $A$.
Ma trận bán xác định dương Ma trận $Ainmathbb{R}^{ntimes n}$ là bán xác định dương (PSD) kí hiệu $Asucceq 0$ nếu chúng ta có:
[boxed{A=A^T}quadtextrm{ và }quadboxed{forall xinmathbb{R}^n,quad x^TAxgeqslant0}]
Giá trị riêng, vectơ riêng Cho ma trận $Ainmathbb{R}^{ntimes n}$, $lambda$ được gọi là giá trị riêng của $A$ nếu tồn tại một vectơ $zinmathbb{R}^nbackslash{0}$, được gọi là vectơ riêng, sao cho:
[boxed{Az=lambda z}]
Định lý phổ Cho $Ainmathbb{R}^{ntimes n}$. Nếu $A$ đối xứng, thì $A$ có thể chéo hóa bởi một ma trận trực giao thực $Uinmathbb{R}^{ntimes n}$. Bằng cách kí hiệu $Lambda=textrm{diag}(lambda_1,…,lambda_n)$, chúng ta có:
[boxed{existsLambdatextrm{ đường chéo},quad A=ULambda U^T}]
Phân tích giá trị suy biến Đối với một ma trận $A$ có kích thước $mtimes n$, Phân tích giá trị suy biến (SVD) là một kỹ thuật phân tích nhân tố nhằm đảm bảo sự tồn tại của đơn vị $U$ $mtimes m$, đường chéo $Sigma$m×n và đơn vị $V$ $ntimes n$ ma trận, sao cho:
[boxed{A=USigma V^T}]
Giải tích ma trận
Gradien Cho $f:mathbb{R}^{mtimes n}rightarrowmathbb{R}$ là một hàm và $Ainmathbb{R}^{mtimes n}$ là một ma trận. Gradien của $f$ đối với $A$ là ma trận $mtimes n$, được kí hiệu là $nabla_A f(A)$, sao cho:
[boxed{Big(nabla_A f(A)Big)_{i,j}=frac{partial f(A)}{partial A_{i,j}}}]
Ghi chú: gradien của $f$ chỉ được xác định khi $f$ là hàm trả về một số.
Hessian Cho $f:mathbb{R}^{n}rightarrowmathbb{R}$ là một hàm và $xinmathbb{R}^{n}$ là một vectơ. Hessian của $f$ đối với $x$ là một ma trận đối xứng $ntimes n$, ghi chú $nabla_x^2 f(x)$, sao cho:
[boxed{Big(nabla_x^2 f(x)Big)_{i,j}=frac{partial^2 f(x)}{partial x_ipartial x_j}}]
Ghi chú: hessian của $f$ chỉ được xác định khi $f$ là hàm trả về một số.
Các phép toán của gradien Đối với ma trận $A$,$B$,$C$, các thuộc tính gradien sau cần để lưu ý:
[boxed{nabla_Atextrm{tr}(AB)=B^T}quadquadboxed{nabla_{A^T}f(A)=left(nabla_Af(A)right)^T}]
Bạn đang đọc nội dung bài viết Bt Trắc Nghiệm Đại Số Và Giải Tích 11 trên website Asianhubjobs.com. Hy vọng một phần nào đó những thông tin mà chúng tôi đã cung cấp là rất hữu ích với bạn. Nếu nội dung bài viết hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!