Cập nhật nội dung chi tiết về Cách Giải Phương Trình Bậc 2 Và Tính Nhẩm Nghiệm Pt Bậc 2 mới nhất trên website Asianhubjobs.com. Hy vọng thông tin trong bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu ngoài mong đợi của bạn, chúng tôi sẽ làm việc thường xuyên để cập nhật nội dung mới nhằm giúp bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.
Bài viết này Trung tâm Gia sư Hà Nội chia sẻ với các em cách giải phương trình bậc 2 và tính nhẩm nghiệm của PT bậc 2 trong trường hợp đặc biệt.
Có nhiều dạng toán trong chương trình Toán 9 và ôn thi vào lớp 10 môn Toán cần phải biết phương pháp giải phương trình bậc 2 thì mới làm được.
Định nghĩa phương trình bậc 2
Phương trình bậc hai là phương trình có dạng: ax 2 + bx + c = 0. Với
x là ẩn số
a, b, c là các số đã biết sao cho: a ≠ 0
a, b, c là những hệ số của phương trình và có thể phân biệt bằng cách gọi tương ứng với hệ số của x (theo phương trình trên thì a là hệ số bậc hai, b là hệ số bậc một, c là hằng số hay số hạng tự do).
Phương pháp giải phương trình bậc 2
Giải phương trình bậc 2: ax 2 + bx + c = 0 theo biệt thức delta (Δ)
Công thức Vi-ét về quan hệ giữa các nghiệm của đa thức với các hệ số của nó. Trong trường hợp phương trình bậc hai một ẩn, được phát biểu như sau:
Nếu phương trình bậc 2 có:
Xuất phát từ định lý Vi-ét, chúng ta có các dạng toán tính nhẩm như sau:
Nếu phương trình có dạng x 2 – (u+v)x + uv = 0 thì phương trình đó có hai nhiệm u và v.
Nếu phương trình có dạng x 2 + (u+v)x + uv = 0 thì phương trình có hai nghiệm -u và -v.
Như vậy, với dạng này chúng ta cần thực hiện 2 phép nhẩm: “Phân tích hệ số c thành tích và b thành tổng”. Trong hai phép nhẩm đó, chúng ta nên nhẩm hệ số c trước rồi kết hợp với b để tìm ra hai số thỏa mãn tích bằng c và tổng bằng b.
Khi tiến hành, bạn nhẩm trong đầu như sau: Tích của hai nghiệm bằng c, mà tổng lại bằng b.
Tóm lại:
x 2 – 5x + 6 = 0 Nhẩm: “Tích của hai nghiệm bằng 6, mà tổng lại bằng 5”. Hai số đó là: 2 và 3 vì 6 = 2×3 và 5 = 2 + 3. Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = 3.
x 2 – 7x + 10 = 0 Nhẩm: “Tích của hai nghiệm bằng 10, mà tổng lại bằng 7”. Hai số đó là: 2 và 5 vì 10 = 2×5 và 7 = 2 + 5. Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = 5.
Ví dụ phương trình:
Do loại này đã quá quen thuộc và thường gặp, nên bài viết không xét các ví dụ cho trường hợp này mà tập trung vào Dạng 1 và Dạng 3.
Dạng 3: Hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
Nếu thay v = 1 vào (1) thì chúng ta sẽ có trường hợp nhẩm nghiệm quen thuộc a + b + c = 0, với a = 1, b = -(u+1), c = u.
Nếu thay v = -1 vào (1) thì bạn sẽ có trường hợp nhẩm nghiệm a – b + c = 0, với a = 1, b = -(u-1), c = -u.
Nếu u ≠ 0 và v = 1/ u thì phương trình (1) có dạng:
Các Dạng Toán Phương Trình Bậc 2 Một Ẩn, Cách Giải Và Tính Nhẩm Nghiệm Nhanh
Vì vậy, trong bài viết này chúng ta cùng tìm hiểu cách giải phương trình bậc 2 một ẩn, cách tính nhẩm nghiệm nhanh bằng hệ thức Vi-et, đồng thời giải một số dạng toán về phương trình bậc 2 một ẩn để thông qua bài tập các em sẽ nắm vững nội dung lý thuyết.
– Nếu a ≠ 0, phương trình có nghiệm duy nhất x=(-b/a)
– Nếu a = 0, b ≠ 0, phương trình vô nghiệm
– Nếu a = 0, b = 0, phương trình có vô số nghiệm
+) Δ < 0: PT vô nghiệm.
+) Δ’ < 0: PT vô nghiệm.
– Gọi x 1 và x 2 là 2 nghiệm của PT bậc 2 một ẩn ax 2 + bx + c = 0 (a≠0):
– Ta có thể sử dụng định lý Vi-et để tính các biểu thức của x 1 , x 2 theo a,b,c:
– Cho 2 số x, y, biết x + y = S và x.y = P thì x, y là nghiệm của phương trình: X 2 – SX + P = 0
– Nếu P < 0 thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu
– Chuyển hạng tử tự do sang vế phải
– Chia cả 2 vế cho hệ số bậc 2, đưa về dạng x 2 = a.
+ Nếu a = 0, phương trình có nghiệm x = 0
+ Nếu a < 0, phương trình vô nghiệm
– Phân tích vế trái thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung, đưa về phương trình tích rồi giải.
– Sử dụng công thức nghiệm, hoặc công thức nghiệm thu gọn để giải
– Sử dụng quy tắc tính nhẩm nghiệm để tính nghiệm đối với 1 số phương trình đặc biệt.
⇒ Kết luận: Phương trình có nghiệm x=±√2.
⇔ x = 0 hoặc x + 4 =0
⇒ Kết luận: Phương trình có nghiệm x=0 và x=-4.
⇒ Kết luận: Phương trình có nghiệm x=1 và x=4.
– PT đã cho: x 2 – 5x + 4 = 0 có các hệ số a=1; b=-5; c=4 và ta thấy: a + b + c = 1 – 5 + 4 = 0 nên theo ứng dụng của định lý Vi-ét, ta có x 1 = 1; x 2 = c/a = 4/1 = 4
⇒ Kết luận: Phương trình có nghiệm x=1 và x=4.
♦ Nếu gặp hằng đẳng thức 1 và 2 thì đưa về dạng tổng quát giải bình thường, không cần giải theo công thức, ví dụ: x 2 – 2x + 1 = 0 ⇔ (x-1) 2 = 0 ⇔ x = 1.
♦ Phải sắp xếp lại đúng thứ tự các hạng tử để lập thành phương trình ax 2 + bx + c = 0 rồi mới áp dụng công thức, ví dụ: x(x – 5) = 6 ⇔ x 2 – 5x = 6 ⇔ x 2 – 5x – 6 = 0 ⇔ áp dụng công thức giải tiếp,…
♦ Không phải lúc nào x cũng là ẩn số mà có thể là ẩn y, ẩn z ẩn t hay ẩn a, ẩn b,… tùy vào cách ta chọnbiến, ví dụ: a 2 – 3a + 2 = 0; t 2 – 6t + 5 = 0.
Dạng 2: Phương trình đưa về phương trình bậc 2 bằng phương pháp đặt ẩn phụ
– Tìm điều kiện xác định của phương trình
– Quy đồng mẫu thức 2 vế rồi khử mẫu
– Giải phương trình vừa nhận được
– Kiểm tra điều kiện các giá trị tìm được, loại các giá trị không thoả mãn điều kiện, các giá trị thoả điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho.
– Ta thấy a + b + c = 0 ⇒ t = 1 hoặc t = 2 (đều thoả ĐK t ≥ 0)
⇒ Kết luận: Phương tình có nghiệm (-√2; -1; 1; √2)
– Quy đồng khử mẫu, PT (*) ta được:
– Cả 2 nghiệm trên đều thoả ĐK x ≠ 3; x ≠ 2;
– Sử dụng công thức nghiệm, hoặc công thức nghiệm thu gọn để giải,
+ Nếu Δ = 0: phương trình có nghiệm kép
+ Nếu Δ < 0: phương trình vô nghiệm
Ví dụ: Giải biện luận theo m, phương trình: mx 2 – 5x – m – 5 = 0 (*)
– Trường hợp m = 0 thì (*) trở thành: -5x – 5 = 0 ⇒ x = -1
– Trường hợp m ≠ 0, ta có:
– Ta thấy: Δ = (2m+5) 2 ≥ 0, ∀ m nên PT(*) sẽ luôn có nghiệm
– Với điều kiện về nghiệm số của đề bài giải tìm m
– Bảng xét dấu nghiệm của phương trình bậc 2 một ẩn:
1. Có nghiệm (có hai nghiệm) ⇔ Δ ≥ 0
3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) ⇔ Δ = 0
9. Hai nghiệm đối nhau ⇔ Δ ≥ 0 và S = 0
chúng tôi nghiệm nghịch đảo nhau ⇔ Δ ≥ 0 và P = 1
11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ a.c < 0 và S < 0
a) Giải phương trình với m = -2.
* Phương pháp: Vận dụng linh hoạt theo yêu cầu bài toán để lập phương trình và giải
Ví dụ: Trong lúc học nhóm Hùng yêu cầu bạn Minh và bạn Lan mỗi người chọn một số, sao cho 2 số này hơn kém nhau là 5 và tích của chúng phải bằng 150, vậy 2 bạn Minh và Lan phải chọn nhưng số nào?
– Gọi số bạn Minh chọn là x, thì số bạn Lan chọn sẽ là x + 5
– Theo bài ra, tích của 2 số này là 150 nên ta có: x(x+5) = 150
– Vậy có 2 cặp số thỏa là: (10; 15) và (-15; -10)
Bài 16 trang 45 sgk toán 9 tập 2: Dùng công thức nghiệm giải các phương trình sau
– Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
Bài 2: Giải các phương trình sau bằng phương pháp tính nhẩm nghiệm
Bài 3: Gọi x 1 và x 2 là nghiệm của phương trình x 2 – 3x – 7 = 0. Không giải phương trình tính giá trị của các biểu thức sau:
Bài 4: Gọi x 1 và x 2 là nghiệm của phương trình 3x 2 + 5x – 6 = 0. Không giải phương trình tính giá trị của các biểu thức sau:
Bài 5: Cho phương trình (2m-1)x 2 – 2mx + 1 = 0. Xác định m để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1;0)
Bài 6: Cho phương trình có ẩn x: x 2 – mx + m – 1 = 0 (m là tham số).
c) Tính giá trị nhỏ nhất của A và của m tương ứng
Trắc Nghiệm Giải Phương Trình Bậc 2 Số Phức
Trắc nghiệm giải phương trình bậc 2 số phức
A. z = -3 + 4i B. z = -2 + 4i
C. z = -4 + 4i D. z = -5 + 4i
Thay vào phương trình:
Câu 2:Hai giá trị x 1 = a + bi ; x 2 = a – bi là hai nghiệm của phương trình nào :
Hiển thị đáp án
Đáp án : C Giải thích :Áp dụng định lý đảo Viet :
Câu 3: Trong C , nghiệm của phương trình z 2 + 4z + 5 = 0 là:
Câu 4:Trong C , nghiệm của phương trình z 2 – 2z + 1 – 2i = 0 là
Câu 5:Trong C , phương trình z 3 + 1 = 0 có nghiệm là:
Câu 6: Trong C , phương trình z 4 – 1 = 0 có nghiệm là:
A ±1;±2i B. ±2;±2i C. ±3; ±4i D. ±1;±i
Câu 7:Phương trình z 3 = 8 có bao nhiêu nghiệm phức với phần ảo âm?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
Hiển thị đáp án
Đáp án : A Giải thích :Câu 8: Phương trình sau có mấy nghiệm thực: z 2 + 2z + 2 = 0
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 9: Trong C , phương trình z 4 + 4 = 0 có nghiệm là:
Câu 10:Tập nghiệm trong C của phương trình z 3 + z 2 + z + 1 = 0 là:
A. {-i ; i ; 1 ; -1} B. {-i ; i ; 1 } C. {-i ; -1} D . {-i ; i ; -1}
Câu 11:Trên tập số phức, phương trình bậc hai có hai nghiệm là:
Hiển thị đáp án
Đáp án : B Giải thích :Áp dụng định lý Viet, ta có: .
Câu 12: Phương trình (2 + i) z 2 + az + b = 0 có hai nghiệm là 3 + i và 1 – 2i. Khi đó a = ?
A. -9 – 2i B. 15 + 5i C. 9 + 2i D. 15 – 5i
Hiển thị đáp án
Đáp án : A Giải thích :Theo Viet, ta có:
Câu 13:Giá trị của các số thực b, c để phương trình z 2 + bz + c = 0 nhận số phức z = 1 + i làm một nghiệm là:
Hiển thị đáp án
Đáp án : C Giải thích :A. -7 B. 8 C. 15 D. 22
Câu 15:Trên tập số phức, cho phương trình sau: (z + i) 4 + 4z 2 = 0 . Có bao nhiêu nhận xét đúng trong số các nhận xét sau?
1. Phương trình vô nghiệm trên trường số thực R .
2. Phương trình vô nghiệm trên trường số phức C .
3. Phương trình không có nghiệm thuộc tập số thực.
4. Phương trình có bốn nghiệm thuộc tập số phức.
5. Phương trình chỉ có hai nghiệm là số phức.
6. Phương trình có hai nghiệm là số thực
A. 0 B. 1 C. 3 D. 2
Hiển thị đáp án
Đáp án : D Giải thích :Câu 16:Giả sử z 1;z 2 là hai nghiệm của phương trình z 2 – 2z + 5 = 0 và A, B là các điểm biểu diễn của z 1;z 2 . Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là:
A.I(1;1) B.I(-1;0) C. I(0;1) D.I(1;0)
Câu 17:Trong tập số phức, giá trị của m để phương trình bậc hai z 2 + mz + i = 0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng -4i là:
A.±(1-i) B.1-i C.±(1+i) D. -1-i
Hiển thị đáp án
Đáp án : A Giải thích :Theo Viet, ta có:
Câu 18:Cho phương trình z 2 – mz + 2m – 1 = 0 trong đó m là tham số phức. Giá trị của m để phương trình có hai nghiệm z 1;z 2 thỏa mãn z 12 + z 22 = 10 là:
A. m = 2 ± 2√2i B. m = 2 + 2√2i C. m = 2 – 2√2i D. m = -2 – 2√2i
Hiển thị đáp án
Đáp án : A Giải thích :Theo Viet, ta có:
Câu 19: Gọi z 1;z 2 là hai nghiệm của phương trình z 2 + 2z + 8 = 0, trong đó z 1 có phần ảo dương. Giá trị của số phức là:
A. 12 + 6i B. 10 C. 8 D. 12 – 6i
Câu 21:Phương trình x 4 + 2x 2 – 24x + 72 = 0 trên tập số phức có các nghiệm là:
Chuyên đề Toán 12: Đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:
Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại chúng tôi
Cách Giải Phương Trình Bậc Bốn
Là phương trình có dạng
II. Cách giải một số phương trình bậc bốn đặc biệt.
* Cách giải :
* Chú ý : Khi giải phương trình này ta thường gặp phương trình dạng . Khi đó cần lưu ý :
* Ví dụ minh họa : Lời giải : Lời giải :
Chú ý : Đối với hai ví dụ trên ta có thể xem chúng là các phương trình bậc hai đối với nên ta có thể giải quyết nhanh gọn như sau
Ví dụ 3. Giải phương trình +x2-2x-1=0. Lời giải :
Ta có +x2-2x-1=0⇔+x2-2x+1 -2=0⇔+-2=0.
Vậy phương trình có nghiệm x=0,x=2.
3. Cách giải phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng : Dạng ax4±bx3+cx2±bx+a=0.
* Cách giải : * Chú ý : Ta luôn có * Ví dụ minh họa :
Phân tích : Rõ ràng các hệ số của phương trình đối xứng nhau qua số hạng có nên ta giải theo phương pháp như trên.
Lời giải :
+ Trường hợp 1 : Với phương trình trở thành (vô lí). Vậy không phải là nghiệm của phương trình.
Ví dụ 2. Giải phương trình
Lời giải :
+ Trường hợp 1 : Với không thỏa mãn phương trình đã cho.
Lưu ý : Việc xét hai trường hợp như trên là cần thiết vì muốn chia hai vế phương trình cho một số thì số đó phải khác 0.
4. Cách giải phương trình bậc bốn khi đã nhẩm trước ít nhất hai nghiệm. Khi gặp một phương trình bậc bốn không thuộc các dạng đặc biệt như trên thì ta có thể nhẩm trước hai nghiệm và tìm cách đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích. Phương pháp này chỉ áp dụng khi ta đã biết trước hai nghiệm (thường là nghiệm nguyên) của phương trình đó.Cách làm như sau :
Xét phương trình dạng
Bước 2. Thực hiện phép chia cho (lưu ý rằng đây là phép chia hết).
* Lưu ý : Các bước 1, 2 ta có thể thực hiện trên giấy nháp để lấy kết quả sử dụng cho bước 3.
+ Nhận thấy rằng phương trình có nghiệm x=1,x=-1.
+ Thực hiện phép chia x4-5×3+5×2+5x-6 cho x-1 x+1 =x2-1 như sau:
Lời giải :
Ta có : undefined
Ví dụ 2 : Giải phương trình
Thực hiện phép chia cho x-1 x-2 =x2-3x+2 như sau
Vậy ta có
Lời giải : Chú ý : Cách làm này có thể áp dụng để giải phương trình bậc ba và đối với phương trình bậc ba ta chỉ cần nhẩm được một nghiệm x=x0 rồi thực hiện phép chia cho x-x0. 5. Cách giải phương trình bậc bốn bằng phương pháp đồng nhất hệ số.
Đây là phương pháp đặc biệt được áp dụng khi giải phương trình bậc 4 không có nghiệm nguyên và chỉ giải quyết được một số bài toán nhất định bằng cách phân tích một đa thức bậc bốn thành tích của hai tam thức bậc hai với giả định : . Bài toán có giải quyết được hay không phụ thuộc vào việc có tìm được các hệ số hay không.
Ví dụ 1 : Giải phương trình
+ Nhận xét rằng, trong ví dụ ta sẽ khó nhẩm được nghiệm, do đó ta nghĩ đến phương án cân bằng hệ số như sau : Giả sử
+ Thay các giá trị tìm được vào (*) ta có . Tới đây ta có thể giải quyêt dễ dàng bài toán.
+ Lưu ý rằng việc đồng nhất hệ số được thực hiện trên giấy nháp.
Lời giải :
Ví dụ 2 : Giải phương trình
+ Vậy ta có :
Lời giải :
Bạn đang đọc nội dung bài viết Cách Giải Phương Trình Bậc 2 Và Tính Nhẩm Nghiệm Pt Bậc 2 trên website Asianhubjobs.com. Hy vọng một phần nào đó những thông tin mà chúng tôi đã cung cấp là rất hữu ích với bạn. Nếu nội dung bài viết hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!