Cập nhật nội dung chi tiết về Cách Giải Phương Trình Bậc 3 Nhanh Và Chính Xác Cho Học Sinh mới nhất trên website Asianhubjobs.com. Hy vọng thông tin trong bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu ngoài mong đợi của bạn, chúng tôi sẽ làm việc thường xuyên để cập nhật nội dung mới nhằm giúp bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.
Trả lời hay nhất
Phương trình bậc 3 là kiến thức cơ bản được đưa vào giảng dạy tại các cấp bậc phổ thông. Việc nắm vững cách giải và tìm nghiệm phương trình bậc 3 sẽ giúp các bạn dễ dàng xử lý các dạng toán hay vẽ đồ thị hàm số.
Giải phương trình bậc 3 cơ bản
Ta có:
Ta có các trường hợp nghiệm sau:
, phương trình có một nghiệm duy nhất là:
Nếu
, phương trình có một nghiệm bội:
Giải phương trình bậc 3 bằng phương pháp
Cardano
và, phương trình có nghiệm duy nhất
Ta có phương trình:
(1)
Bước 1: Đặt
và biến đổi bằng phép tính cơ bản ta được phương trình mới
(2)
và biến đổi bằng phép tính cơ bản ta được phương trình mới
Trong đó
Phương trình (2) được gọi là phương trình bậc 3 suy biến. Bây giờ ta sẽ tìm các biến u và v sao cho
và (3)
và(3)
Nghiệm đầu tiên tìm được bằng cách đặt
Thế các giá trị q và p (3) vào phương trình (2 ) ta được phương trình mới
Thay giá trị
vào phương trình (3) ta được
vào phương trình (3) ta được
(4)
(4)
Phương trình (4) tương đương như phương trình bậc 2 với
. Khi giải ta tìm được
. Khi giải ta tìm được
Vì
Chú ý rằng giá trị u tìm được từ (5) Vì chứa 2 căn bậc 3 với dấu( +/ – ) và mỗi căn bậc 3 có 3 giá trị là một giá trị thực và 2 giá trị tích.
Nhưng dấu của căn phải lựa chọn sao cho tính x, không bị trường hợp chi cho 0 ( mội giá trị chia cho 0 đều là phương trình vô nghiệm)
Nếu p = 0 thì ta chọn dấu của căn bậc 2 sao cho u # 0, e, i.
Nếu p = q = 0 thì
Giải phương trình bậc 3 bằng cách rút về bậc 2
Giải phương trình bậc 3 sau
Ta phân tích phương trình thành tích phương trình bậc nhất và phương trình bậc 2 như sau
Phương trình thứ nhất 2x – 3 = 0 có 1 nghiệm là x = 3/2
Phương trình (2×2 + 3x + 3) vô nghiệm. Nếu các bạn chưa biết cách giải phương trình bậc 2 có thể tham khảo nha. Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất là x = 3/2
Học Cách Giải Phương Trình Bậc 3 Mà Học Sinh Nào Cũng Phải Biết
1. Tìm hiểu về phương trình bậc 3
Trước khi đi vào tìm hiểu chi tiết về cách giải, chúng ta cần biết được phương trình bậc 3 là gì? Thực chất đây là một phương trình có bậc lũy thừa cao nhất là 3. Phương trình bậc ba có dạng chuẩn thường là phương trình có dạng
2. Cách giải phương trình bậc 3
2.1. Giải phương trình bậc 3 tổng quát
So với phương trình bậc hai, cách thức giải và công thức nghiệm của phương trình bậc 3 phức tạp hơn nhiều.
Bước đầu tiên, các bạn có thể tính qua một đại lượng Delta và áp dụng công thức nghiệm tổng quát. Cách làm này được áp dụng phổ biến trong giải phương trình bậc ba dạng cơ bản, và được sử dụng rộng rãi trong chương trình học phổ thông.
Công thức nghiệm của phương trình bậc 3 tùy thuộc vào giá trị của Dela
2.2. Giải phương trình bậc 3 thường gặp
Trong trường hợp phương trình bậc 3 có a= 1, các bạn có thể áp dụng phương pháp giải như sau:
Sau khi tìm ra giá trị u, v, bạn có thể dễ dàng tìm được ẩn x
Công thức nghiệm này phức tạp hơn so với công thức nghiệm của phương trình bậc 3 tổng quát và chỉ được áp dụng khi a=1. Các bạn cần phải chú ý để tránh nhầm lẫn.
2.3. Giải phương trình bậc 3 bằng cách sử dụng máy tính bỏ túi
Các bạn có thể nhẩm nghiệm phương trình bậc 3 bằng máy tính bỏ túi để phục vụ cho các bài toán trắc nghiệm. Hiện nay, chương trình thi THPT Quốc gia đã được áp dụng hình thức thi trắc nghiệm, cách thức nhẩm nghiệm này sẽ giúp bạn tìm rất nhanh được nghiệm đúng của phương trình.
Với phương trình có dạng tổng quát như trên, bạn nhần lần lượt các phím mode, 5, 4 rồi lần lượt nhấn giá trị a,b,c,d. Lưu ý sau khi nhập giá trị cần phải nhấn dấu bằng.
Trường những phương trình có nghiệm nguyên, bạn có thể dễ dàng đưa về phương trình bậc hai và xử lý theo công thức phương trình bậc hai rất đơn giản và nhanh chóng
Ngoài những cách giải trên, các bạn có thể áp dụng một số phương pháp khác như đặt ẩn phụ,lượng giác hóa phương trình… tùy theo từng dạng bài khác nhau.
3. Phương pháp học cách giải phương trình bậc 3
Phương trình bậc 3 là một trong những dạng phương trình khó và có thể áp dụng nhiều cách giải linh hoạt. Để học tốt được kiến thức này, các bạn cần phải thường xuyên luyện tập và làm bài tập để rèn luyện kỹ năng. Khi đã quen với các dạng bài, các bạn có thể gỡ nút bài toán rất dễ dàng.
Đặc biệt hiện nay, các em học sinh đều được trang bị rất nhiều máy tính hiện đại để học tập, việc nhẩm nghiệm càng trở nên nhanh chóng hơn, các bài toán giải phương trình nói chung và phương trình bậc ba nói riêng trở nên đơn giản hơn rất nhiều.
Môn Toán đòi hỏi các bạn phải liên tục đào sâu suy nghĩ, tư duy. Bài tập giải phương trình bậc 3 là một trong những dạng bài rèn luyện tư duy khá tốt, luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn xử lý bài toán một cách nhanh gọn.
4. Bài tập áp dụng cách giải phương trình bậc 3
Có rất nhiều dạng bài khác nhau trong phạm vi kiến thức phương trình bậc 3 Các bạn có thể tham khảo tại một số trang đề thi trực tuyến như Violet hoặc cập nhật tài liệu online thường xuyên từ các thầy cô dạy Toán.
Môn Toán học đòi hỏi chúng ta phải thực sự kiên nhẫn và chịu khó nghiên cứu, đào sâu vấn đề. Khi mới bắt đầu làm quen với những cách phương trình bậc 3, các bạn sẽ gặp rất nhiều khó khăn. Bằng cách luyện tập thật chăm chỉ và tập trung nghiên cứu, bạn sẽ sớm chinh phục được mảng kiến thức này.
Các Dạng Toán Phương Trình Bậc 2 Một Ẩn, Cách Giải Và Tính Nhẩm Nghiệm Nhanh
Vì vậy, trong bài viết này chúng ta cùng tìm hiểu cách giải phương trình bậc 2 một ẩn, cách tính nhẩm nghiệm nhanh bằng hệ thức Vi-et, đồng thời giải một số dạng toán về phương trình bậc 2 một ẩn để thông qua bài tập các em sẽ nắm vững nội dung lý thuyết.
– Nếu a ≠ 0, phương trình có nghiệm duy nhất x=(-b/a)
– Nếu a = 0, b ≠ 0, phương trình vô nghiệm
– Nếu a = 0, b = 0, phương trình có vô số nghiệm
+) Δ < 0: PT vô nghiệm.
+) Δ’ < 0: PT vô nghiệm.
– Gọi x 1 và x 2 là 2 nghiệm của PT bậc 2 một ẩn ax 2 + bx + c = 0 (a≠0):
– Ta có thể sử dụng định lý Vi-et để tính các biểu thức của x 1 , x 2 theo a,b,c:
– Cho 2 số x, y, biết x + y = S và x.y = P thì x, y là nghiệm của phương trình: X 2 – SX + P = 0
– Nếu P < 0 thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu
– Chuyển hạng tử tự do sang vế phải
– Chia cả 2 vế cho hệ số bậc 2, đưa về dạng x 2 = a.
+ Nếu a = 0, phương trình có nghiệm x = 0
+ Nếu a < 0, phương trình vô nghiệm
– Phân tích vế trái thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung, đưa về phương trình tích rồi giải.
– Sử dụng công thức nghiệm, hoặc công thức nghiệm thu gọn để giải
– Sử dụng quy tắc tính nhẩm nghiệm để tính nghiệm đối với 1 số phương trình đặc biệt.
⇒ Kết luận: Phương trình có nghiệm x=±√2.
⇔ x = 0 hoặc x + 4 =0
⇒ Kết luận: Phương trình có nghiệm x=0 và x=-4.
⇒ Kết luận: Phương trình có nghiệm x=1 và x=4.
– PT đã cho: x 2 – 5x + 4 = 0 có các hệ số a=1; b=-5; c=4 và ta thấy: a + b + c = 1 – 5 + 4 = 0 nên theo ứng dụng của định lý Vi-ét, ta có x 1 = 1; x 2 = c/a = 4/1 = 4
⇒ Kết luận: Phương trình có nghiệm x=1 và x=4.
♦ Nếu gặp hằng đẳng thức 1 và 2 thì đưa về dạng tổng quát giải bình thường, không cần giải theo công thức, ví dụ: x 2 – 2x + 1 = 0 ⇔ (x-1) 2 = 0 ⇔ x = 1.
♦ Phải sắp xếp lại đúng thứ tự các hạng tử để lập thành phương trình ax 2 + bx + c = 0 rồi mới áp dụng công thức, ví dụ: x(x – 5) = 6 ⇔ x 2 – 5x = 6 ⇔ x 2 – 5x – 6 = 0 ⇔ áp dụng công thức giải tiếp,…
♦ Không phải lúc nào x cũng là ẩn số mà có thể là ẩn y, ẩn z ẩn t hay ẩn a, ẩn b,… tùy vào cách ta chọnbiến, ví dụ: a 2 – 3a + 2 = 0; t 2 – 6t + 5 = 0.
Dạng 2: Phương trình đưa về phương trình bậc 2 bằng phương pháp đặt ẩn phụ
– Tìm điều kiện xác định của phương trình
– Quy đồng mẫu thức 2 vế rồi khử mẫu
– Giải phương trình vừa nhận được
– Kiểm tra điều kiện các giá trị tìm được, loại các giá trị không thoả mãn điều kiện, các giá trị thoả điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho.
– Ta thấy a + b + c = 0 ⇒ t = 1 hoặc t = 2 (đều thoả ĐK t ≥ 0)
⇒ Kết luận: Phương tình có nghiệm (-√2; -1; 1; √2)
– Quy đồng khử mẫu, PT (*) ta được:
– Cả 2 nghiệm trên đều thoả ĐK x ≠ 3; x ≠ 2;
– Sử dụng công thức nghiệm, hoặc công thức nghiệm thu gọn để giải,
+ Nếu Δ = 0: phương trình có nghiệm kép
+ Nếu Δ < 0: phương trình vô nghiệm
Ví dụ: Giải biện luận theo m, phương trình: mx 2 – 5x – m – 5 = 0 (*)
– Trường hợp m = 0 thì (*) trở thành: -5x – 5 = 0 ⇒ x = -1
– Trường hợp m ≠ 0, ta có:
– Ta thấy: Δ = (2m+5) 2 ≥ 0, ∀ m nên PT(*) sẽ luôn có nghiệm
– Với điều kiện về nghiệm số của đề bài giải tìm m
– Bảng xét dấu nghiệm của phương trình bậc 2 một ẩn:
1. Có nghiệm (có hai nghiệm) ⇔ Δ ≥ 0
3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) ⇔ Δ = 0
9. Hai nghiệm đối nhau ⇔ Δ ≥ 0 và S = 0
chúng tôi nghiệm nghịch đảo nhau ⇔ Δ ≥ 0 và P = 1
11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ a.c < 0 và S < 0
a) Giải phương trình với m = -2.
* Phương pháp: Vận dụng linh hoạt theo yêu cầu bài toán để lập phương trình và giải
Ví dụ: Trong lúc học nhóm Hùng yêu cầu bạn Minh và bạn Lan mỗi người chọn một số, sao cho 2 số này hơn kém nhau là 5 và tích của chúng phải bằng 150, vậy 2 bạn Minh và Lan phải chọn nhưng số nào?
– Gọi số bạn Minh chọn là x, thì số bạn Lan chọn sẽ là x + 5
– Theo bài ra, tích của 2 số này là 150 nên ta có: x(x+5) = 150
– Vậy có 2 cặp số thỏa là: (10; 15) và (-15; -10)
Bài 16 trang 45 sgk toán 9 tập 2: Dùng công thức nghiệm giải các phương trình sau
– Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
Bài 2: Giải các phương trình sau bằng phương pháp tính nhẩm nghiệm
Bài 3: Gọi x 1 và x 2 là nghiệm của phương trình x 2 – 3x – 7 = 0. Không giải phương trình tính giá trị của các biểu thức sau:
Bài 4: Gọi x 1 và x 2 là nghiệm của phương trình 3x 2 + 5x – 6 = 0. Không giải phương trình tính giá trị của các biểu thức sau:
Bài 5: Cho phương trình (2m-1)x 2 – 2mx + 1 = 0. Xác định m để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1;0)
Bài 6: Cho phương trình có ẩn x: x 2 – mx + m – 1 = 0 (m là tham số).
c) Tính giá trị nhỏ nhất của A và của m tương ứng
Cách Giải Phương Trình Bậc 4
Ở bài trước chúng ta đã nghiên cứu cách giải phương trình bậc ba. Trong bài này chúng ta đi nghiên cứu cách giải một sô phương trình có bậc cao hơn 3. Phương pháp chung để giải phương trình bậc cao là ta tìm cách chuyển về phương trình có bậc thấp hơn, thường chúng ta chuyển về phương trình bậc hai. Để làm điều này ta thường sử dụng các phương pháp sau:
1. Phương pháp đưa về dạng tích : Tức là ta biến đổi phương trình :
.
Để đưa về một phương trình tích ta thường dùng các cách sau:
Cách 2 : Nhẩm nghiệm rồi chia đa thức: Nếu là một nghiệm của phương trình thì ta luôn có sự phân tích: . Để dự đoán nghiệm ta dựa vào các chú ý sau:
Chú ý : * Nếu đa thức có nghiệm nguyên thì nghiệm đó phải là ước của .
* Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức có một nghiệm * Nếu đa thức có tổng các hệ số chẵn bằng tổng các hệ số lẻ thì đa thức có một nghiệm.
: Sử dụng phương pháp hệ số bất định. Ta thường áp dụng cho phương trình trình bậc bốn.
Ví dụ 1 : Giải phương trình : (1) .
Giải:
Ta có phương trình (1.1)
. Vậy phương trình có hai nghiệm: .
: Mẫu chốt của cách giải trên là chúng ta nhận ra hằng đẳng thức và biến đổi về phương trình (1.1). Trong nhiều phương trình việc làm xuất hiện hằng đẳng thức không còn dễ dàng như vậy nữa, để làm điều này đòi hỏi chúng ta phải có những nhạy cảm nhất định và phải thêm bớt những hạng tử thích hợp.
Ví dụ 2 : Giải phương trình : .
Giải: Phương trình
.
Vậy PT đã cho có 4 nghiệm: .
Chú ý :
1) Chắc hẳn các bạn sẽ thắc mắc làm sao mà ta biết cách tách như trên ?!. Thật ra thì chúng ta làm như sau:
Phương trình .
Ta chọn m sao cho biểu thức trong dấu phân tích được hằng đẳng thức, để có điều này ta phải có:
, phương trình này có một nghiệm , do đó ta có thể phân tích như trên.
Với phương trình bậc bốn tổng quát (I) ta cũng
có thể biến đổi theo cách trên như sau:
Ta cộng thêm hai vế của phương trình một lượng:
(1.I).
Bây giờ ta chỉ cần chọn sao cho VT của (1.I) phân tích thành hằng đẳng thức, tức là :
(2.I)
Đây là phương trình bậc ba nên bao giờ cũng có ít nhất một nghiệm. Khi đó ta sẽ đưa phương trình (1.I) về phương trình tích của hai tam thức bậc hai, từ đây ta giải hai tam thức này ta được nghiệm phương trình (I).
2) Về mặt lí thuyết thì ta có thể giải được mọi phương trình bậc bốn theo cách trên. Tuy nhiên trên thực tế thì nhiều lúc việc giải không được dễ dàng vậy, vì mẫu chốt quan trọng nhất của cách giải trên là tìm . Mặc dù (2.I) đã có cách giải nhưng không phải giá trị lúc nào cũng “đẹp”, nên sẽ khó khăn cho các phép biến đổi của chúng ta.
Ví dụ 3: Giải phương trình : (4).
, phương trình này có nghiệm: .
Do vậy
,
và .
Đưa về phương trình tích ngoài cách tạo ra hằng đẳng thức ở trên, ta còn có cách khác là sử dụng phương trình hệ số bất định. Chẳng hạn xét ví dụ trên. Ta phân tích:
Khai triển rồi đồng nhất các hệ số ta có được hệ phương trình :
.
Từ phương trình cuối ta chọn: , thay vào ba phương trình đầu ta có:
ta thấy hệ này vô nghiệm, do đó ta chọn , thay vào ta giải được và
Vậy: .
Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt.
(5).
Khi gặp bài toán này có lẽ các bạn sẽ suy nghĩ không biết nên xử lí theo hướng nào? Vì phương trình này không có nghiệm đặc biệt, nếu sử dụng phương trình phân tích bình phương thì việc giải phương trình (2.I) e rằng sẽ không đi đến kết quả ! Vậy phương pháp hệ số bất định thì sao? Chú ý đến hệ số tự do của phương trình ta thấy: Giải: , điều này dẫn tới ta nghĩ đến phân tích VT của phương trình về dạng: (mục đíc là làm giảm số ẩn cần tìm xuống còn 2 ẩn). Đồng nhất hệ số ta có hệ phương trình :
.
Vậy
(5) có bốn nghiệm phân biệt và (b) đều có hai nghiệm phân biệt và chúng không có nghiệm chung.
* (a) và (b) cùng có hai nghiệm phân biệt
* Giả sử (a) và (b) có nghiệm chung là , khi đó là nghiệm của hệ: , hệ này vô nghiệm và (b) không có nghiệm chung. Vậy là những giá trị cần tìm.
: Việc nhận thấy Nhận xét là mẫu chốt hạn chế khó khăn trong việc phân tích ra thừa số. Đây là một tính chất của đa thức rất hay được sử dụng trong việc phân tích một đa thức thành các nhân tử. Cụ thể : Nếu tam thức bậc hai (tương tự cho đa thức)
có hai nghiệm thì ta luôn có sự phân tích . Với phương trình trên ta không sử dụng được tính chất này vì vế trái là một đa thức bậc 4 không có nghiệm đặc biệt. Tuy nhiên nếu chúng ta nhạy bén thì ta thấy VT của phương trình lại là một tam thức bậc hai đối với ẩn là tham số m. Tức là ta có:
(5′)
Tam thức này có :
Suy ra (5′) có hai nghiệm
và . Do vậy ta có:
. Đây là phương trình mà ta vừa biến đổi ở trên.
Ví dụ 5: Giải phương trình : .
Đặt Giải: , ta có :
.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
.
: Giải phương trình : Ví dụ 6 .
Giải:
Ta có phương trình
.
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm: .
Ví dụ 7 : Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt.
Giải:
PT:
.
Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt và (b) đều có hai nghiệm phân biệt và chúng không có nghiệm chung.
(a) và (b) có hai nghiệm phân biệt .
Giả sử (a) và (b) có nghiệm chung là
.
Vậy là những giá trị cần tìm.
Nguyễn Tất Thu
Bạn đang đọc nội dung bài viết Cách Giải Phương Trình Bậc 3 Nhanh Và Chính Xác Cho Học Sinh trên website Asianhubjobs.com. Hy vọng một phần nào đó những thông tin mà chúng tôi đã cung cấp là rất hữu ích với bạn. Nếu nội dung bài viết hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!