Đề Xuất 1/2023 # Chuyên Đề: Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên # Top 1 Like | Asianhubjobs.com

Đề Xuất 1/2023 # Chuyên Đề: Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên # Top 1 Like

Cập nhật nội dung chi tiết về Chuyên Đề: Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên mới nhất trên website Asianhubjobs.com. Hy vọng thông tin trong bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu ngoài mong đợi của bạn, chúng tôi sẽ làm việc thường xuyên để cập nhật nội dung mới nhằm giúp bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.

Chuyên Đề: Giải Phương trình nghiệm nguyên I-Phương trình nghiệm nguyên dạng: ax + by = c (1) với a, b, c ẻ Z 1.Các định lí: a. Định lí 1: Điều kiện cần và đủ để phương trình ax + by = c (trong đó a,b,c là các số nguyên khác 0 ) có nghiệm nguyên (a,b) là ước của c. b.Định lí 2: Nếu (x0, y0) là một nghiệm nguyên của phương trình ax + by = c thì nó có vô số nghiệm nguyên và nghiệm nguyên (x,y) được cho bởi công thức: Với t є Z, d = (a,b) 2.Cách giải: Bước 1: Rút ẩn này theo ẩn kia (giả sử rút x theo y) Bước 2: Dựa vào điều kiện nguyên của x, tính chất chia hết suy luận để tìm y Bước 3: Thay y vào x sẽ tìm được nghiệm nguyên Ví dụ 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2x + 5y =7 Hướng dẫn: Ta có 2x + 5y =7 Û x = Û x = 3 – 2y + Do x, y nguyên ị nguyên. Đặt = t với (t є Z ) ị y = 1 – 2t ị x = 3 – 2(1- 2t) + t = 5t + 1 Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là: x = 5t + 1 y = -2t +1 (t є Z ) Ví dụ 2: Giải phương trình nghiệm nguyên 6x – 15 y = 25 Hướng dẫn: Ta thấy( 6,15 ) = 3 mà 3/25 Vậy không tồn tại x,y nguyên sao cho 6x- 15y = 25 Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình. 5x + 7y = 112 Hướng dẫn: Ta có 5x + 7y = 112 ị x = = 22 - y + Do x, y nguyên ị nguyên hay (2 – 2y) 5 Û 2(1-y) 5; (2 , 5) = 1 ị (1-y) 5 hay (y-1)5 . Đặt y-1 = 5t (t є Z ) ị y = 5t +1 thay y vào x ta có x = 21 – 7t ị ị t = Nếu t = 0 ị x = 21; y = 1 Nếu t = 1 ị x = 14; y = 6 Nếu t = 2 ị x = 7; y = 11 II. Phương trình nghiệm nguyên đưa về dạng g (x1, x2,., xn) . h (x1, x2,., xn) = a (3) Với a є Z 1.Cách giải: Đặt g (x1, x2,., xn) = m (với m là ước của a) ị h(x1, x2,., xn) = Giải hệ: g (x1, x2,., xn) = m h(x1, x2,., xn) = tìm được x1, x2,., xn thử vào (3) ta được nghiệm của phương trình. 2.Chú ý: -Nếu a = 0 ta có g (x1, x2,., xn) = 0 h(x1, x2,., xn) = 0 -Nếu a = pa với p nguyên tố thì từ pt (3) ta có: g (x1, x2,., xn) = pa1 h(x1, x2,., xn) = pa2 Với a1 + a2 = a Ví dụ 4: Tìm x, y є Z biết x – y + 2xy = 6 Hướng dẫn: Ta có x – y + 2xy = 6 Û 2 x – 2y + 4 xy = 12 Û 2 x – 2y + 4 xy –1 = 11 Û (2x – 1) + 2y(2x-1) = 11Û (2x – 1) (2y + 1) = 11 Ta có 11 = 1.11= (-1)(-11) = 11.1 = (-11)(-1) Ta có 2y + 1 = 1 ị (x; y) = (6; 0) 2x – 1 = 11 2y + 1 = -1 ị (x; y) = (-5; -1) 2x – 1 = -11 2y + 1 = 11 ị (x; y) = (1, 5) 2x – 1 = 1 2y + 1 = -11 ị (x; y) = ( 0; -6) 2x – 1 = -1 Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 1 + x + x2 + x3 = 2y Hướng dẫn: Ta có 1 + x + x2 + x3 = 2y Û (1 + x) (1 + x2) = 2y ị 1 + x = 2 m và 1 + x2 = 2y – m (m nguyên dương) ị x = 2 m – 1 ị x2 = 22m – 2 m +1 + 1 x2 = 2y – m - 1 x2 = 2y – m – 1 ị 22m – 2m + 1 + 1 = 2 y – m - 1 ị 2 y – m – 22m + 2m +1 = 2 Nếu m = 0 ị x = 0 ; y = 0 (t/m) ị 2 y – m – 1 lẻ ị 2 y – m – 1 = 1 ị y – m – 1 = 0 ị y = m + 1 ị 2 m - 22m – 1 = 0 ị 2 m = 22m – 1 ị m = 2m – 1 ị m = 1 ị y = 2 ; x = 1 Vậy (x, y) = (0; 0); (1; 2) III. Phương trình nghiệm nguyên đưa về dạng [g1 (x1, x2,., xn)]2 + [g2 (x1, x2,., xn)]2 + + [gn (x1, x2,., xn)]2 = 0 1.Cách giải:Ta thấy vế trái của phương trình là các số hạng không âm, tổng của chúng bằng 0 nên mỗi số hạng phải bằng 0 g1 (x1, x2,., xn) = 0 Do vậy có: g2 (x1, x2,., xn) = 0 .. gn (x1, x2,., xn) = 0 Giải hệ này ta được x1 , x2 ,, xn Ví dụ 6: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x2 + y 2 –2xy + 2y – 6x + 5 = 0 Hướng dẫn: (Dùng phương pháp phân tích thành nhân tử ta biến đổi vế trái của phương trình) Ta có 2x2 + y 2 –2xy + 2y – 6x + 5 = 0 Û y 2 – 2y (x - 1) + (x-1)2 + x2 – 4x + 4 = 0 Û (y – x + 1)2 + (x – 2 )2 = 0 Vậy y – x + 1 = 0 hay x = 2 x – 2 = 0 y = 1 Vậy nghiệm nguyên của phương trình là x = 2 ; y = 1 Ví dụ 7: Tìm nghiệm nguyên của phương trình : (x –1) (y+1) = (x+ y)2 Hướng dẫn: Ta có (x-1) (y+1) = (x+ y)2 Û (x-1) (y+1) = [(x-1) + (y+1)]2 Û [(x-1) + (y+1)]2 - (x-1) (y+1) = 0 Û (x-1)2 + (y+1)2 + (x-1) (y+1) = 0 Û [(x-1) + (y+1)]2 + (y+1)2 = 0 Û y + 1 = 0 Û y = -1 (x-1) + (y+1) = 0 x = 1 Vậy nghiệm của phương trình là ( x = 1 ; y = -1) IV- Phương trình nghiệm nguyên mà các ẩn có vai trò bình đẳng Khi làm toán ta thường gặp một số bài toán mà trong đó các ẩn bình đẳng với nhau . Để giải các bài toán đó có nhiều cách giải khác nhau tuỳ thuộc vào từng loại cụ thể. ở đây ta nghiên cứu đến 1 phương pháp giải toán này: Ta giả sử các ẩn xảy ra theo một trật tự tăng dần rồi tiến hành giải Ví dụ 8: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: + + + = 1 Hướng dẫn: Giả sử 1 Ê x Ê y Ê z ị x2 Ê xy Ê xz Ê yz Ê xyz ị 1 = + + + Ê + + + Û 1 Ê ị x2 Ê 12 ị x є 1, 2,3 Nếu x = 1 ị + + + = 1 ị z + 1 + y + 9 = yz ị yz – z – y + 1 = 11 (y- 1) (z - 1) = 11 ị y = 2 ; z = 12 hoặc z =2 ; y = 12 Nếu x = 2 ị + + + = 1 ị (2y - 1) (2z-1) = 23 ị y = 1; z = 12 hoặc y = 12; z = 1 Nếu x = 3 ị (3y – 1) (3z - 1) = 37 vô nghiệm Vậy (x, y, z) = (1; 2, 12) và các hoán vị Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên I- Phương pháp 1 : Sử dụng tính chẵn lẻ Ví dụ 9: Tìm x, y nguyên tố thoả mãn: y2 – 2x2 = 1 Hướng dẫn: Ta có y2 – 2x2 = 1 ị y2 = 2x2 +1 ị y là số lẻ Đặt y = 2k + 1 (với k nguyên).Ta có (2k + 1)2 = 2x2 + 1 Û x2 = 2 k2 + 2k ị x chẵn , mà x nguyên tố ị x = 2, y = 3 Ví dụ 10: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình (2x + 5y + 1)( + y + x2 + x) = 105 Hướng dẫn: Ta có: (2x + 5y + 1)( + y + x2 + x) = 105 Ta thấy 105 lẻ ị 2x + 5y + 1 lẻ ị 5y chẵn ị y chẵn + y + x2 + x = + y + x(x+ 1) lẻ có x(x+ 1) chẵn, y chẵn ị lẻ ị = 1 ị x = 0 Thay x = 0 vào phương trình ta được (5y + 1) ( y + 1) = 105 Û 5y2 + 6y – 104 = 0 ị y = 4 hoặc y = ( loại) Thử lại ta có x = 0; y = 4 là nghiệm của phương trình II. Phương pháp 2 : Phương pháp phân tích Thực chất là biến đổi phương trình về dạng: g1 (x1, x2,., xn) h (x1, x2,., xn) = a Ví dụ 11: Tìm x, y nguyên sao cho ( x + y ) P = xy với P nguyên tố. Giải Ta có ( x + y ) P = xy với xy – Px – Py = 0 Û x ( y – P ) – ( Py – P2) = P2 Û ( y- P ) ( x- P ) = P2 Mà P nguyên tố ị P2 = 1.P2 = P.P = (-1)(-P2) = ( -P ) (-P) ị Các cặp số (x,y ) là: (P+1, P(P+1) ); ( P-1, P (P-1) ); (2p, 2p); (0,0) và các hoán vị của chúng. III- Phương pháp loại trừ ( phương pháp 3 ) Khẳng định nghiệm rồi loại trừ các giá trị còn lại của ẩn Ví dụ 12: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 1! + 2! + + x! = Hướng dẫn: Với x³ 5 thì x! có tận cùng là 0 và 1! + 2! + 3! + 4! Có tận cùng là 3 ị 1! + 2! + + x! có tận cùng là 3, không là số chính phương (loại) Vậy x < 5 mà x nguyên dương nên: x = Thử vào phương trình ta được (x = 1, y= 2); (x = 3, y= 3) là thoả mãn IV.Phương pháp 4: Dùng chia hết và có dư Ví dụ 13: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 – 2y2 = 5 Hướng dẫn: Xét x 5 mà x2 – 2y2 = 5 ị 2y2 5 ị y2 5 (2,5) = 1 5 là số nguyên tố ị y2 25 ị x2 – 2y2 25 lại có x 5 ị x2 25 5 25 loại Xét x 5 ị y 5 và x2 chia cho 5 có các số dư 1 hoặc 4 y2 chia cho 5 có các số dư 1 hoặc 4 ị 2y2 chia cho 5 dư 2 hoặc 3 ị x2 – 2 y2 chia cho 5 dư 1 hoặc 2(loại) Vậy phương trình x2 – 2y2 = 5 vô nghiệm Ví dụ 14: Tìm x, y là số tự nhiên thoả mãn: x2 + = 3026 Hướng dẫn: Xét y = 0 ị x2 + 30 = 3026 ị x2 = 3025 mà x є N ị x = 55 mà 3026 chia cho 3 dư 2 (loại). Vậy nghiệm (x,y) = (55,0) V. Phương pháp 5 : Sử dụng tính chất của số nguyên tố Ví dụ 15: Tìm x, y, z nguyên tố thoả mãn: xy + 1 = z Mà z nguyên tố ị z lẻ ị xy chẵn ị x chẵn ị x = 2 Xét y = 2 ị 22 + 1 = 5 là nguyên tố ị z = 5 (thoả mãn) Có 4 chia cho 3 dư 1 ị (2.4k+1) 3 ị z 3 (loại) Vậy x = 2, y = 2, z = 5 thoả mãn Ví dụ 16 : Tìm số nguyên tố p để 4p + 1 là số chính phương Hướng dẫn: đặt 4p + 1 = x2 (x є N) ị x lẻ đặt x = 2k + 1 (k є N) ị 4p + 1 = (2k + 1)2 Û 4p + 1 = 4k2 + 4k + 1 Û p =k(k+1) Û k(k + 1) chẵn ị p chẵn, p nguyên tố ị p = 2 VI. Phương pháp 7: Đưa về dạng tổng Ví dụ 17: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + y2 – x – y = 8 Hướng dẫn: Ta có x2 + y2 –x – y = 8 Û 4 x2 + 4 y2 – 4 x –4y = 32 Û (4x2 – 4x +1) + (4y2 – 4y + 1) = 34 Û (2x – 1)2 + (2y – 1)2 = 34 Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 chỉ có duy nhất 1 dạng phân tích thành tổng của 2 số chính phương 32 và 52 Do đó ta có = 3 hoặc = 5 = 5 = 3 Giải ra ta được (x,y) = (2,3); (2,-2); (-1, -2); (-1, 3) và các hoán vị của nó. Ví dụ 18: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 – 4xy + 5y2 = 169 Hướng dẫn: Ta có x2 – 4xy + 5y2 = 169 Û (x – 2y)2 + y2 = 169 Ta thấy 169 = 02 + 132 = 52 + 122 ị = 0 hoặc = 13 = 13 = 0 hoặc = 5 hoặc = 12 = 12 = 5 Giải ra ta được (x, y) = (29, 12);(19, 12); (-19, -12); (22, 5); (-2, 5) ;(2, -5); (-22, -5); (26, 13); (-26, -13); (-13. 0); (13, 0) VII. Phương pháp 7 : Dùng bất đẳng thức Ví dụ 19: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 –xy + y2 = 3 Hướng dẫn: Ta có x2 –xy + y2 = 3 Û (x- )2 = 3 - Ta thấy (x- )2 ³ 0 ị 3 - ³ 0 ị -2 Ê y Ê 2 ị y= ± 2; ±1; 0 thay vào phương trình tìm x Ta được các nghiệm nguyên của phương trình là : (x, y) = (-1,-2), (1, 2); (-2, -1); (2,1) ;(-1,1) ;(1, -1) Bài tập luyện tập rèn tư duy sáng tạo Bài 1:Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2x + 3y = 11 Hướng dẫn Cách 1: Ta thấy phương trình có cặp nghiệm đặc biệt là x0 = 4, y0 = 1 Vì 2.4 + 3.1 = 11 ị( 2x + 3y) – (2.4 + 3.1) = 0 Û 2(x-4) + 3(y-1) = 0 ị 2(x-4) = - 3(y-1) mà (2,3) = 1 Đặt x – 4 = 3k và y – 1 = 2k với ( k ẻ Z) Vậy nghiệm tổng quát của pt là : x = 4 – 3k y = 1+ 2k ( k ẻ Z) *Nhận xét: Theo cách giải này phải tìm ra 1 cặp nghiệm nguyên đặc biệt (x0, y0) của phương trình vô định ax + by = c Nếu phương trình có hệ số a, b, c lớn thì cách giải khó khăn. Cách 2: Dùng tính chất chia hết. Ta có 2x + 3y = 11 ị x= = 5- y- Do x, y nguyên ị nguyên đặt = k ị y = 2k +1 ị x = 4- 3k (k ẻ Z) y = 2k +1 (k ẻ Z) Vậy nghiệm tổng quát: x = 4- 3k Bài 2: Tìm cặp số nguyên dương (x,y) thoả mãn phương trình: 6x2 + 5y2 = 74 Hướng dẫn: Cách 1: Ta có 6x2 + 5y2 = 74 Û 6x2 –24 = 50 – 5y2 Û 6(x2 – 4) = 5(10 – y2) ị 6(x2 – 4) 5 ị x2 – 4 5 (6, 5) = 1 ị x2 = 5t + 4 (t ẻN) Thay x2 – 4 = 5t vào phương trình ị y2 = 10 – 6t ị t = 0 hoặc t = 1 với t = 0 ta có x2 = 4, y2 = 10 (loại) Với t = 1 ta có x2 = 9 Û x = ± 3 y2 = 4 y = ± 2 mà x, y ẻ Z ị x = 3, y = 2 thoả mãn Cách 2: Sử dụng tính chẵn lẻ và phương pháp chặn Ta có 6x2 + 5y2 = 74 là số chẵn ị y chẵn lại có 0< 6x2 ị 0< 5y2 < 74 Û 0 < y2 < 14 ị y2 = 4 ị x2 = 9 Cặp số (x,y) cần tìm là (3, 2) Cách 3: Ta có 6x2 + 5y2 = 74 Û 5x2 + 5y2 + x2 + 1 = 75 ị x2 + 1 5 mà 0 < x2 Ê 12 ị x2 = 4 hoặc x2 = 9 Với x2 = 4 ị y2 = 10 loại Với x2 = 9 ị y2 = 4 thoả mãn cặp số (x,y) cần tìm là (3, 2) Bài 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + y2 = 2x2y2 Hướng dẫn: Cách 1: Đặt x2 = a, y2 = b Ta có a + b = 2 ab ị a b ị = ị a = ± b b a Nếu a = b ị 2a = 2a2 ị a= a2 ị a= 0, a= 1ị (a,b) = (0, 0); (1, 1) Nếu a = - b ị 2 b2 = 0 ị a = b = 0 ị (x2, y2) = (0, 0); (1, 1) ị (x, y ) = (0, 0); (-1, -1); (-1, 1); (1, -1) ; (1, 1) Cách 2: Ta có x2 + y2 = 2x2y2. Do x2, y2 ³ 0 Ta giả sử x2 Ê y2 ị x2 + y2 Ê 2 y2 ị 2x2 y2 Ê 2y2 Nếu y = 0 phương trình có nghiệm (0;0) Nếu y 0ị x2 Ê 1 ị x2= 0 hoặc x2 = 1 ị y2 = 0 (loại) hoặc y2 = 1 ị (x, y) = (1, 1); (1, -1) ; (-1, 1) Vậy phương trình có nghiệm (x;y) =(0, 0); (-1, -1); (-1, 1); (1, -1) ; (1, 1) Cách 3: Có x2 + y2 = 2x2y2 Û 2x2 + 2y2 = 4 x2y2 Û 4 x2y2 –2x2 – 2y2 + 1 = 1 2x2 (2y2 - 1) – (2y2 - 1)= 1 Û (2x2 – 1) (2y2 - 1) = 1 Mà 1 = 1.1 = (-1)(-1) ị (x2, y2) = (1, 1); (0, 0) ị (x, y) = (1, 1); (0, 0) ; (1, -1); (-1; -1); (-1, 1) Bài 4: Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình: x2 –3xy + 2y2+ 6 = 0 Hướng dẫn: Ta thấy(x, y) = (0, 0) không phải là nghiệm của phương trình Ta coi phương trình x2 – 3xy + 2y2 + 6 = 0 ẩn x ta tính = y2 – 24 Phương trình có nghiệm tự nhiên thì là số chính phương ị y2 – 24 = k2 ị (y – k)(y + k) = 24 (kẻN) mà 24 = 24.1 = 12.2 = 6.4 = 3.8 ; y+k và y – k cùng chẵn ị y+ k = 6 ị y = 5 hoặc y+ k = 12 ị y = 7 y – k = 4 y – k = 2 Thay vào ta tìm được (x,y) = (8, 7); (13, 7); (7, 5); (8,5) Bài 5: Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2x2 + 2y2 – 2xy + y + x – 10 = 0 Hướng dẫn: C1: Ta có phương trình đã cho Û 2x2 – (2y-1) x + 2y2 + y – 10 = 0 Coi x là ẩn y là tham số ta có phương trình bậc 2 ẩn x Xét = (2y – 1)2 – 4.2 (2y2 + y -10) = -12y2 – 12y+ 81 Để nghiệm x nguyên thì là số chính phương Đặt k2= -12y2 – 12 y + 81 ị k2 + 3(2y + 1) = 84 ị (2y + 1)2 = 28 - Ê 28; (2y + 1)2 lẻ ị (2y + 1)2 = 1, 9, 25 ị y = 0, 1, -2, 2, -3 thử trực tiếp vào phương trình ta tìm được các cặp số (x, y) = (2, 0); (0, 2) thoả mãn C2: Đặt x + y = a, xy = b ta có x, y ẻ Z ị a, b ẻ Z phương trình 2x2 – (2y-1) x + 2y2 + y – 10 = 0 Û 2a2 – 4b + a – 10 = 0Û 4a2 – 8b + 2a – 20 = 0 Û (a+ 1)2 + 3a2 – 8b – 21 = 0 Û (a+ 1)2 + 3a2 = 8b + 21 lại có (x+ y)2³ 4 xy ị a2 ³ 4b ị 8b + 21 Ê 2a2 + 21 ị (a+ 1)2 + 3a2 Ê 2a2 + 21 ị (a+ 1)2 Ê 21 mà (a+ 1)2 là số chính phương ị (a+ 1)2 ẻ {1, 4, 9, 16}ị a ẻ {0, 1, 2, 3} Với a = 0 ị 12 + 3. 0 = 8b + 21 ị 8b = 20 loại Với a = 1 ị (1+1)2 + 3.12 = 8b + 21 ị 8b = -14 loại Với a = 2 ị (1+ 2)2 + 3.22 = 8b + 21 ị 8b = 0 ị b = 0 Với a = 3 ị (1+ 3)2 + 3.32 = 8b + 21 ị 8b = 22 loại Vậy được a = 2, b = 0 ị xy = 0 x + y = 2 ị (x, y ) = (0, 2); (2, 0) thoả mãn Bài 6 :Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương x, y sao cho : x2 + 4x – y2 = 1 Hướng dẫn: Cách 1: Ta có x2 + 4x – y2 = 1 Û (x + 2)2 - y2 = 5 Û (x + 2+ y)(x+ 2-y) = 5 ị x+ 2 + y = 5 ị x = 1, y = 2 x + 2 – y = 1 Vậy nghiệm của phương trình là x = 1, y = 2 Cách 2: Ta có x2 + 4 x – y2 = 1Û x2 + 4 x – (y2 + 1) = 0 = 4 + y2 + 1 ị x = Để phương trình có nghiệm thì là số chính phương ị 4 + y2 + 1 = k2 Û (k- y) (k+ y) = 5 ị y = 2 thay vào phương trình tìm được x = 1 Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là x = 1; y = 2 Bài 7: Hai đội cờ thi đấu với nhau mỗi đấu thủ của đội này phải đấu 1 ván với mỗi đấu thủ của đội kia. Biết rằng tổng số ván cờ đã đấu bằng 4 lần tổng số đấu thủ của hai đội và biết rằng số đấu thủ của ít nhất trong 2 đội là số lẻ hỏi mỗi đội có bao nhiêu đấu thủ. Hướng dẫn: Gọi x, y lần lượt là số đấu thủ của đội 1 và đội 2 (x, y nguyên dương ) Theo bài ra ta có xy = 4 (x + y) Đây là phương trình nghiệm nguyên ta có thể giải bằng các cách sau Cách 1: Có xy = 4(x + y) Û xy – 4x – 4y + 16 = 16 Û (x-4) (y - 4) = 16 mà 16 = 1.16 = 2.8 = 4.4 lại có ít nhất 1 đội có số đấu thủ lẻ ị x – 4 = 1 Û x = 5 hoặc x = 20 y-4 = 16 y = 20 y = 5 Cách 2: Ta thấy x, y bình đẳng.Không mất tính tổng quát ta giả sử xÊ y Ta có x, y nguyên dương xy = 4 (x + y) Û + = 1 lại có ³ Û + Ê Û Ê 1 ị x Ê 8 ị x= 5, 6, 7, 8 Thử trực tiếp ta được x = 5, y = 20 (thoả mãn) Vậy 1 đội có 5 đấu thủ còn đội kia có 20 đấu thủ Bài 8: Tìm năm sinh của Bác Hồ biết rằng năm 1911 khi Bác ra đi tìm đường cứu nước thì tuổi Bác bằng tổng các chữ số của năm Bác sinh cộng thêm 3. Hướng dẫn: Ta thấy nếu Bác Hồ sinh vào thể kỷ 20 thì năm 1911 Bác nhiều nhất là 11 tuổi (1+ 9 + 0 + 0 + 3) loại. Suy ra Bác sinh ra ở thế kỷ 19 Gọi năm sinh của Bác là 18 xy (x, y nguyên dương, x, y Ê 9) Theo bài ra ta có: 1911 - 18 xy = 1 + 8 + x + y = 3 Û 11x + 2y = 99 ị 2y 11 mà (2, 11) = 1 ị y 11 mà 0Ê y Ê 9 ị y = 0 ị x = 9. Vậy năm sinh của Bác Hồ là 1890 Bài 9: Tìm tất cả các số nguyyên x, y thoả mãn phương trình = Hướng dẫn: Ta có = Û 7 (x+ y) = 3 (x2 – xy + y2) ị 28k = 3(3k2+ q2) ị k 3 và k có dạng 3m (mẻ Z+) ị 28 m = 27m2 + q ị m( 28 – 27m) = q2 ³ 0 ị m = 0 hoặc m = 1 Với m = 0 ị k = 0 ị q = 0 ị x = y = 0 (loại) Với m = 1 thì k = 3; p = 9ị 28 = 27 + q2 ị q = ± 1 Khi p = 9, q = 1 thì x = 5, y= 4 khi p = 9, q = 1- thì x = 4, y= 5 Vậy nghiệm của phương trình là (x, y) = (4, 5); (5, 4) Bài 10: Hãy dựng một tam giác vuông có số đo 3 cạnh là a, b, c là những số nguyên và có cạnh đo được 7 đơn vị Hướng dẫn: Giả sử cạnh đo được 7 đơn vị là cạnh huyền (a = 7) ị b2 + c2 = 72 ị b2 + c2 7 ị b 7; c 7 (vì số chính phương chia hết cho 7 dư 0, 1, 4, 2) lại có 0<b, c< 7 loại ị Cạnh đo được là cạnh góc vuông giả sử b = 7 Ta có a2 – c2 = 49 Û (a+c)(a-c) = 49 ị a+ c = 49 ị a = 25 Vậy tam giác cần dựng có số đo 3 cạnh a – c = 1 c = 24 là 7, 25, 24

Chuyên Đề Phương Trình Nghiệm Nguyên

PHƯƠNG TRìNH NGHIÊM NGUYÊNVà KINH NGHIệM GIảICHUYÊN Đề:Người thực hiện: lê đình biênI. Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyênXét tính chia hết1 Phương pháp xét tính chia hếtPhát hiện tính chia hết của 1 ẩnĐưa về phương trình ước số

Biểu thị một ẩn theo ẩn còn lại rồi dùng tính chia hếtXét số dư của từng vế.VD1: Giải phương trình nghiệm nguyên 3x + 17y = 159VD2: Tìm nghiệm nguyên của PT a, xy – x – y = 3 b, 2xy – x + y = 3VD3: Tìm nghiệm nguyên của PT xy – x – y = 2

VD4: Chứng minh rằng: các PT sau không có nghiệm nguyên: 1, x2 – y2 = 1998 2, x2 + y2 = 1999VD5: Tìm nghiệm nguyên của PT 9x + 2 = y2 + yMột số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyênPhát hiện tính chia hết của 1 ẩn VD6: Giải phương trình nghiệm nguyên 3x + 17y = 159 (1)Gợi ý

B1: Lý luận để có: 17y chia hết cho 3 B2: Lý luận để có: y chia hết cho 3  Đặt y = 3k (k є Z) B3: Tìm x; y theo k B4: Thử lại vào (1) đúng  KL

Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyênĐưa về phương trình ước số VD7: Tìm nghiệm nguyên của PT a, xy – x – y = 3 b, 2xy – x + y = 3Gợi ý

Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyêna/ B1: Biến đổi phương trình thành: (x – 1)(y – 1) = 4 B2: Vì x;y là số nguyên:  (x – 1) và (y – 1) є Ư (4) (x – 1)(y – 1) = 1.4 = 4.1 = (-1).(-4) = (-4).(-1) = 2.2 = (-2).(-2) B3: Lập bảng tìm x; y B4: Trả lờib/ B1: Nhân 2 vế của PT với 2. Biến đổi phương trình thành: (2y – 1)(2x + 1) = 5 B2: Vì x;y là số nguyên:  (2y – 1) và (2x – 1) є Ư (5)

B3: Lập bảng tìm x; y B4: Trả lờiĐưa về phương trình ước số VD7: Tìm nghiệm nguyên của PT a, xy – x – y = 3 b, 2xy – x + y = 3

Kinh nghiệm

Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyênĐể viết VT: 2xy – x + y thành một tích.Ta biến đổi thành: x(2y – 1) + 1/2 (2y – 1)Để khử mẫu ta nghĩ đến việc nhân 2 vế với 2Phương pháp biểu thị 1 ẩn theo ẩn còn lại rồi dùng tính chia hết VD8: Giải phương trình nghiệm nguyên: xy – x – y = 2Gợi ýB1: Biến đổi PT về: x(y – 1) – y = 2B2: – Khảng định y≠1 – Biểu thị x theo y: x = B3: Tách phần nguyên: x = 1 +

B4: Lý luận để có: (y – 1) є Ư(3)B5: Tìm y  Giá trị tương ứng của xB6: Kết luận Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyênXét số dư của từng vế VD9: CMR các PT sau không có nghiệm nguyên a) x2 – y2 = 1998 (*)Gợi ý

B1: x2; y2 : 4 dư 0 hoặc 1

B2: x2 – y2 : 4 dư 0 hoặc 1 hoặc 3

B3: 1998 : 4 dư 2

B4:  PT (*) không có nghiệm nguyênMột số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyênXét số dư của từng vế VD10: CMR các PT sau không có nghiệm nguyên b) x2 + y2 = 1999 (* *)Gợi ý

B1: x2; y2 : 4 dư 0 hoặc 1

B2: x2 + y2 : 4 dư 0 hoặc 1 hoặc 2

B3: 1998 : 4 dư 3

B4:  PT (* *) không có nghiệm nguyênMột số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyênXét số dư của từng vếKinh nghiệm

– Một số chính phương khi : 4 dư 0 hoặc 1– x2 – y2 khi : 4 dư 0 hoặc 1 hoặc 3– x2 + y2 khi : 4 dư 0 hoặc 1 hoặc 2Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyênMột số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyênVD11: Tìm nghiệm nguyên của PT 9x + 2 = y2 + y

Gợi ý

B1: Biến đổi vế phải = y(y + 1)

B2: Lý luận vế trái : 3 dư 2  y(y + 1) : 3 dư 2  y = 3k + 1 y+1 = 3k + 2B3: Tìm được x = k(k + 1)

B4: Thử lại và kết luận: x = k(k + 1) y = 3k + 1Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyênPhương pháp sắp thứ tự các ẩnPhương pháp xét từng khoảng giá trị của ẩnPhương pháp chỉ ra nghiệm nguyênPhương pháp sử dụng điều kiện để PT bậc hai có nghiệm (∆ ≥ 0)VD12: Giải phương trình nghiệm nguyên x + y + z = xyzVD13: Tìm nghiệm nguyên dương 1/x + 1/y = 1/3

VD14: Tìm x є N 2x + 3x = 5xVD15: Tìm nghiệm nguyên của PT x2 – xy + y2 = 2x – y Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyênPhương pháp sắp thứ tự các ẩn VD12: Tìm nghiệm nguyên dương của PT x + y + z = xyzGợi ýB3: Chia cả hai vế của BĐT cho Z  xy ≤ 3  xy = 1; 2; 3B4:

B1: Nhận xét: x; y ; z có vai trò bình đẳng trong PTCó thể sắp thứ tự giá trị các ẩn:

B2: Giả sử: 1 ≤ x ≤ y ≤ z  xyz = x + y + z ≤ 3zMột số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyênPhương pháp xét từng khoảng giá trị của ẩn VD13: Tìm nghiệm nguyên dương của PT 1/x + 1/y = 1/3Gợi ý

B4: Kết luận: (x; y) = (4; 12); (12; 4); (6; 6)Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyênPhương pháp xét từng khoảng giá trị của ẩn

Kinh nghiệm

Khi các ẩn trong phương trình có vai trò bình đẳng ta thường sắp thứ tự các ẩn, sau đó dùng BĐT để giới hạn khoảng giá trị của số nhỏMột số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyênPhương pháp chỉ ra nghiệm nguyên VD14: Tìm các số tự nhiên x sao cho 2x + 3x = 5xGợi ýB1: Chia hai vế của PT cho 5x  (2/5)x + (3/5)x = 1B2: Xét với x = 0  …………….  LoạiB3: Xét với x = 1  …………….  NhậnB4: Xét với x ≥ 2  (2/5)x < 2/5  (2/5)x < 3/5B5: Kết luận: x = 1Kinh nghiệmCó thể chỉ ra được một hoặc vài số là nghiệm PT. Rồi chứng minh PT không có nghiệm nào khácVế trái < 1  LoạiMột số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyênPhương pháp sử dụng ĐK để PT bậc hai có nghiệm VD15: Tìm nghiệm nguyên dương của PT x2 – xy + y2 = 2x – yGợi ýB1: Viết PT thành PT bậc 2 đối với x: x2 – (y + 2)x + (y2 +y) = 0 (*)B2: Tính ∆ = -3y2 + 4B3: Giải ∆ ≥ 0  3y2 ≤ 4  y = 0; 1; -1B4: Tìm giá trị tương ứng của x và thử lạiB5: Kết luận.Kinh nghiệmĐK ∆ ≥ 0 chỉ là ĐK cần chứ chưa đủ để PT có nghiệm nguyên.Kết quả tìm đựơc phải thử lạiMột số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyênSử dụng tính chất về chia hết của số chính phươngTạo ra bình phương đúngTạo ra tổng các số chính PhươngXét các số chính phương liên tiếpSử dụng đk biệt số ∆ là số chính phương

Sử dụng tính chất tích của hai số nguyên là số chính phươngVD16: Tìm x є Z để 9x + 5 là tích của 2 số nguyên liên tiếp

VD17: Tìm nghiệm nguyên 2×2 + 4x = 19 – 3y2VD18: Tìm nghiệm nguyên dương 4×2 + 4x + y2 – 6y= 24VD19: Tìm nghiệm nguyên x4 – y4 = 3y2 + 1 VD20: Tìm nghiệm nguyên x2 + 2y2 + 3xy + 2x + 3y + 4 = 0VD21: Tìm nghiệm nguyên dương của PT xy = z2Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyênSử dụng tính chất về chia hết của số chính phương VD16: Tìm các số nguyên x để 9x + 5 là tích của hai số nguyên liên tiếpGợi ý

B1: Giả sử: 9x+5 = n(n+1) (n є Z)B2: Nhân hai vế của PT với 4 Đưa về dạng: (2n+1)2 = 3(12x+7)B3: Lý luận để có (2n+1)2 ÷ 9  VT ÷ 9B4: Lý luận để có (12x+7) ÷ 3  VP ÷ 9 B5:  Mâu thuẫn  Không tồn tại số nguyên nàoMột số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyênSử dụng tính chất về chia hết của số chính phương

Lưu ý một số tính chất

Số CP không tận cùng bằng 2; 3; 7; 8Số CP chia hết cho số nguyên tố P thì chia hết cho P2Số CP chia cho 3 dư 0 hoặc 1Số CP chia cho 4 dư 0 hoặc 1Số CP chia cho 8 dư 0 hoặc 1 hoặc 4Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyênTạo ra bình phương đúng VD17: Tìm nghiệm nguyên của PT 2×2 + 4x = 19 – 3y2Gợi ýB1: Cộng hai vế của PT với 2 Đưa PT về: 2(x+1)2 = 3(7-y2)B2: Lý luận để có 3(7-y2) chia hết cho 2  (7-y2) chia hết cho 2  y lẻB3: Lý luận để có (7-y2) ≥ 0  y2 ≤ 7B4: Tìm được y2 ≤ 1B5: Tìm x  x = 2; x = 4B6: Kết luận: (x; y) Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyênTạo ra ra tổng các số chính phương VD18: Tìm nghiệm nguyên dương của PT 4×2 + 4x + y2 – 6y = 24Gợi ý

B1: Biến đổi PT về dạng: (2x+1)2 + (y-3)2 = 34B2: Lý luận (2x + 1) lẻB3: Viết 34 dưới dạng: a2 + b2 (a lẻ): 32 + 52; 52 + 32B4: Tìm được (x; y) Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyênXét các số chính phương liên tiếp VD19: Tìm nghiệm nguyên x4 – y4 = 3y2 +1Gợi ý

B1: Viết PT dưới dạng: x4 = y4 +3y2 +1B2: Chứng tỏ: y4 +3y2 +1 ≥ (y2 +1)2 Chứng tỏ: y4 +3y2 +1 < (y2 +2)2B3:  (y2 +1)2 ≤ x4 < (y2 +2)2  x4 = (y2 +1)2 B4: Giải PT: y4 +2y2 +1 = y4 +3y2 +1  y = 0B5: Tìm xB6: Kết luận (x; y)Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyênXét các số chính phương liên tiếp Lưu ý:

Sử dụng tính chất:

TC1: Nếu 2 số nguyên dương NTCN có tích là một SCP Thì mỗi số đều là SCPTC2: Nếu 2 số nguyên liên tiếpcó tích là một SCP Thì một trong hai số nguyên liên tiếp đó bằng 0Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyênSử dụng điều kiện biệt số ∆ là SCP VD21: Tìm nghiệm nguyên của PT x2 + xy + y2 = x2y2 Gợi ý

B1: thêm xy vào 2 vế của PT  (x + y)2 = xy(xy + 1)B2: xy và xy + 1 là 2 số nguyên liên tiếp có tích là 1 SCP  xy = 0 xy + 1 = 0B3: Xét từng trường hợp có kq: (x; y) = (0; 0); (1; -1); (-1; 1)Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

VD22: Tìm nghiệm nguyên của PT x3 + 2y3 = 4z3 (*) Gợi ý

B1: Lý luận để có x chia hết cho 2. Đặt x = 2×1 (x1 є Z) B2: thay x = 2×1 vào (*)  y chia hết cho 2. Đặt y = 2y1 (y1 є Z) B3: thay y = 2y1 vào (*)  z chia hết cho 2. Đặt z = 2z1 (z1 є Z) II. Một số dạng phương trình nghiệm nguyênMột số dạng phương trình nghiệm nguyên VD23: Tìm nghiệm nguyên của PT (x – 2)(3x – 2)(5x – 2)(7x – 2) = 945 Gợi ý

B1: Nếu x≥ 3  VT ≥ 1.7.13.19 = 1729 (loại)B2: Nếu x ≤ -2  VT ≥ 4.8.12.16 = 6164 (loại)  -2 ≤ x < 3  x є { -1; 0; 1; 2}B3: Lần lượt thay x = -1; 0; 1; 2 vào PT: x = -1 (thoả mãn)Kinh nghiệm– Nếu triển khai và giải PT bậc 4  gặp nhiều K2– Dựa vào x є Z dùng P2 xét khoảng giá trị của ẩn để giải bài toánMột số dạng phương trình nghiệm nguyên ax + by = c (a; b; c є Z) Kinh nghiệm B1: Rút gọn phương trình. Chú ý đến tính chia hết của các ẩnB2: Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có GTTĐ nhỏ (chẳng hạn x) theo ẩn kiaB3: Tách riêng giá trị nguyên ở biểu thức của xB4: Đặt điều kiện để phân số trong biểu thức của x bằng một số nguyên t1  Được PT bậc nhất 2 ẩn y và t1B5: Cứ tiếp tục làm như trên cho đến khi các ẩn đều được biểu thị dưới dạng một đa thức với các hệ số nguyên. VD24: Tìm nghiệm nguyên của PT: 11x + 18y = 120Một số dạng phương trình nghiệm nguyênDạng 1: axy + bx + cy + d = 0 (a; b; c; d є Z) Dạng 2: ax2 + by2 + c = 0 (a; b; c є Z)Dạng 3: ax2 + by2 + cx + d = 0 ax2 + by2 + cy + d = 0 (a; b; c; d є Z) Dạng 4: ax2 + by2 + cxy + d = 0 (a; b; c; d є Z)

VD25: Tìm nghiệm nguyên 5x – 3y = 2xy – 11

VD26: Tìm nghiệm nguyên 3×2 + 4y2 = 84

VD27: Tìm nghiệm nguyên x2 – 2x – 11 = y2

VD28: Tìm nghiệm nguyên 5×2 – y2 + 4xy – 9 = 0Một số dạng phương trình nghiệm nguyênDạng 5: ax2 + by2 + cx + dy = 0 (a; b; c; d є Z)Dạng 6: ax2+by2+cx+dy+e = 0 (a; b; c; d; e є Z)Dạng 7: ax2+by2+cxy+dx+ey = 0 (a; b; c; d; e є Z)Dạng 8: ax2+by2+cxy+dx+ey+g= 0 (a; b; c; d; e є Z)

VD29: Tìm nghiệm nguyên dương x2 + y2 = 5(x – y)

VD30: Tìm nghiệm nguyên 3×2 + 4y2 + 12x + 3y + 5 = 0

VD31: Tìm nghiệm nguyên x + y + xy = x2 + y2VD32: Tìm nghiệm nguyên x2 -xy + y2 = 2x – 3y – 2 Một số dạng phương trình nghiệm nguyênKinh nghiệm– Đưa về Phương trình ước.– Viết phương trình đó dưới dạng Phương trình bậc hai đối với một ẩn rồi dùng điều kiện: ∆ ≥ 0 hoặc ∆ là số chính phươngMột số dạng phương trình nghiệm nguyên VD32: x3 + x2 + x + 1 = y3 Gợi ý

B1: Viết PT dưới dạng: (x-y)3 + 3xy(x-y) = xy + 8 B2: Đặt: x – y = a va xy = b  a3 – 8 = – b(3a – 1)B3: Lý luận để có a3 – 8 chia hết cho 3a-1B4: Nhân với 27 215 chia hết 3a – 1B5: (3a – 1) є Ư (± 1; ± 5; ± 43; ± 215)B6: Tìm a và b  Tìm x; yMột số dạng phương trình nghiệm nguyênKinh nghiệm– Đưa về Phương trình ước.– Đặt ẩn phụ cho biểu thức (x + y) hoặc (x – y) và xy.– Với biểu thức (x3 + y3) hoặc (x3 – y3) nên vận dụng HĐTMột số dạng phương trình nghiệm nguyên VD34: x4 – 4×2 + y2 + 2x2y – 9 = 0 Gợi ý

B1: Biến đổi về dạng: (x2 + y + 2x)(x2 + y – 2x) = 9B2: Đưa về phương trình ước sốB3: Tìm x; yMột số dạng phương trình nghiệm nguyên VD35: Tìm nghiệm nguyên của PT x(x+1)(x+2)(x+3) = y2 Gợi ý

B1: Biến đổi về dạng: (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) = y2 B2: Đặt (x2 + 3x + 1) = a  (a+y)(a-y) = 1B3: Tìm được y = 0  x = Một số dạng phương trình nghiệm nguyênKinh nghiệm– Đưa về Phương trình bậc hai với hai ẩn– Phân tích thành nhân tử để phát hiện một biểu thức là số chính phương.– Phát hiện một số chính phương năm giữa hai số chính phươngMột số dạng phương trình nghiệm nguyên VD36: Tìm nghiệm nguyên của PT 6x + 15y + 10z = 3 Gợi ý

B1: Lý luận để có 10 z chia hết cho 3  z chia hết cho 3  z = 3k (k є Z)B2: Giải PT hai ẩn x; y với k là tham số: 2x + 5y = 1 – 10kB3: Đưa PT về dạng: x = – 5k – 2y + B4: Đặt = t  y = 1 – 2tB5: Viết nghiệm x; y; z theo k và tMột số dạng phương trình nghiệm nguyên VD37: Tìm nghiệm nguyên của PT 2xyz = x + y + z + 6 Gợi ý

B1: Do x; y; z có vai trò bình đẳng  giải sử: 1 ≤ x ≤ y ≤ z  2xyz ≤ 3z + 16B2: Do z nguyên dương  2xy ≤ 3 + 16/z ≤ 19  xy ≤ 9B3: Do x nguyên dương  x2 ≤ xy B4: x2 ≤ 9  x є (1; 2; 3)B5: Thay lần lượt x  Tìm y, zMột số dạng phương trình nghiệm nguyênKinh nghiệm– Tìm dấu hiệu chia hết  Đưa về PT bậc nhất đối với hai ẩn– Dựa vào vai trò bình đẳng của ẩn để dùng phương pháp chặn– Trong trường hợp khác có thể xét một hoặc một vài giá trị của một ẩn rồi xét tiếp trường hợp còn lạiMột số dạng phương trình nghiệm nguyên VD38: Tìm nghiệm nguyên dương của PT 1/x + 1/y + 1/6xy = 1/6 Gợi ý

B1: Nhân hai vế của PT với 6xyB2: Đưa về PT ước số: (x – 6) (y – 6) = 37B3: Tìm x; y.Kinh nghiệm

Tìm cách khử mẫu Đưa về phương trình ước sốMột số dạng phương trình nghiệm nguyên VD39: Tìm nghiệm nguyên dương của PT: 2x + 3= y2 Gợi ý

B1: Xét với x ≥ 2  VT: 4 dư 3  Không thoả mãn VP: 4 dư 1  x = 0; 1B2: Xét từng trường hợp  (x; y)Kinh nghiệm

Tìm STN k để với x ≥ k thì PT không có nghiệm nguyên Xét x є (0; 1; …….; k-1) Chú ý: + an – bn chia hết a – b với n là số tự nhiên + an + bn chia hết a + b với n là số tự nhiên lẻ + (a + b)n chia hết ak + bn với n є N; k є Z VD40: Tìm nghiệm nguyên dương của PT: x + x + 3 = y Gợi ý

B1: Lý luận để có y chẵn  y = 2k (k є Z) x = 4 – 3kB2: Tìm được 3z + 10k = 1  z = -3k + B3: Đặt = t  (x; y; z) theo t{{ Một số dạng phương trình nghiệm nguyên VD42: Tìm giá trị của m để PT sau có hai nghiệm nguyên dương x2 + mx + 2 = 0 Gợi ý

B1: Gọi x1; x2 là các nghiệm nguyên dương  x1 + x2 = – m (m є Z)B2: ∆ = m2 – 8 là số chính phương Đặt (m2 – 8) = k2 (k є N)B3: Đưa về PT ước: (m – k)(m + k) = 8III. Ứng dụng: Bài toán đưa về giải PT nghiệm nguyên1, Bài toán về số tự nhiên và các chữ số2, Bài toán về tính chia hết và số nguyên tố3, Bài toán thực tếTrân trọng cảm ơn !Người thực hiện: Phạm Ngọc Thuý

Chuyên Đề Bất Phương Trình

Giải bất phương trình không chứa tham số Muốn giải một bất phương trình bậc cao, về cơ bản chúng ta vẫn phải tìm cách: a) Đưa vế trái của bất phương trình (vế phải của bất phương trình là 0) về dạng tích, thương của các nhị thức, tam thức bậc hai (cách làm tương tự như ở mụcI). b) Dựa vào cách đặt ẩn phụ ( các dạng tương tự như ở mục I) để đưa về bất phương trình bậc hai quen thuộc. Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau Giải: Xét Ta có bảng xét dấu : Xem bảng xét dấu ta có nghiệm của bpt là: Xét Mẫu Ta có bảng xét dấu: Xem bảng xét dấu ,vậy nghiệm bpt là Bài tập tương tự : Giải bất phương trình sau Hướng dẫn: Phân tích vế trái đã cho về dạng tích của các nhị thức , tam thức bậc 2 Cách 1: Tách nhóm các số hạng sao cho hợp lý Ta có: Cách 2:Xét nghiệm của đa thức , nếu có nghiệm hữu tỷ là ước (kể cả âm ) của là ước của nghiệm hữư tỷ nếu có của chỉ có thể là . Dùng lược đồ Hoocne ta thấy , và khi đó chia cho ta được Cách 3: Dùng phương pháp hệ số bất định , ta cũng đưa được . Vậy Ta có bảng xét dấu: Vậy nghiệm của Ví dụ2: Giải bất phương trình Giải: Đặt trở thành: Từ Vậy nghiệm của bpt đã cho là Ví dụ 3: Giải bất phương trình sau Giải: Thấy không thoả mãn , chia hai vế cho , đặt trở thành Vậy ta có Kết luận nghiệm của BPT là Ví dụ 4: Giải bất phương trình sau Giải: Xét Chọn sao cho: chọn Khi đó trở thành: Vậy nghiệm của đã cho là: Bài tập tương tự: Giải BPT sau ( tham số ) Hướng dẫn: * Nếu *Nếu , nhân hai vế của với Đặt trở thành: Xét , vậy có hai nghiệm đối với ẩn là: Thay , ta có trở thành: Mặt khác ta có Đáp số : II.Bất phương trình chứa tham số, vấn đề tập nghiệm của bất phương trình Cơ sở lý thuyết: * vô nghiệm * vô nghiệm *Cho bất phương trình: . Điều kiện cần và đủ để được thoả mãn với là: , với là tập nghiệm của ,( Tập cho trước có thể là: ) Ví dụ1: Cho tam thức: Xác định sao cho: Bất phương trình vô nghiệm; Bất phương trình có nghiệm. Giải: Vậy không thoả mãn đều kiện bài toán. * vô nghiệm Để xác định sao cho bất phương trình có nghiệm , ta giải bài toán:”Xác định sao cho vô nghiệm” * Vậy không thích hợp. *Ta có: vônghiệm Tóm lại, điều kiện để vô nghiệm là . Vậy, điều kiện để có nghiệm là Bài tập tương tự: Với những giá trị nào của thì : Hướng dẫn: Để ý thấy do Vậy Hệ có nghiệm với Đáp số: Ví dụ 2:Cho bất phương trình: Tìm để bất phương trình được thoả mãn với . Tìm để bất phương trình có nghiệm Giải: Cách giải1: Phương pháp tam thức bậc hai. Gọi X là tập nghiệm của .Ta tìm + không thích hợp. +, không thoả mãn +: Xét dấu và : thoả mãn . Tổng hợp các kết quả trên, ta được:. Cách giải 2: Phương pháp hàm số: Đối với học sinh đã được học kiến thức về khảo sát hàm số thì phương pháp giải này là khá hiệu quả ( Nếu như việc cô lập được tham số từ bất phương trình đã cho là đơn giản). Cơ sở lý thuyết: Giả sử hàm số có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên , liên tục trên . * có nghiệm . *. * có nghiệm . * Trở lại bài toán ta có: (do) Yêu cầu bài toán Xét Ta có bảng biến thiên của hàm số như sau: Xem bảng biến thiên ta có , vậy được thoả mãn Cách giải1( phương pháp tam thức bâc hai – bạn đọc tự giải) Cách giải2: Phương pháp hàm số Tương tự câu Yêu cầu bài toán trở thành : Tương tự như câu ta có . Bài tập tương tự: Xác định để bất phương trình : , Đáp số: hoặc Ví dụ 3: Tìm Cách giải: Gọi . ta có không trái dấu với nhau. Chú ý: Trong quy ước mẫu thức bằng thì tử thức cũng bằng Bài tập áp dụng: Tìm để Giải: Ta có Bởi thế và là tương đương. Vậy Ví dụ 4: Cho Tìm a để Giải: Viết lại Gọi Ta thấy Đáp số: Bài tập tương tự: Tìm để Hướng dẫn: Viết lại Yêu cầu bài toán

Chuyên Đề Phương Trình Lượng Giác

Published on

chuyên đề phương trình lượng giác

2. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 2      )cos()cos( 2 1 sinsin )cos()cos( 2 1 coscos )sin()sin( 2 1 cossin bababa bababa bababa    2. Công thức biến đổi tổng thành tích 2 sin. 2 sin2coscos 2 cos. 2 cos2coscos 2 sin. 2 cos2sinsin 2 cos. 2 sin2sinsin baba ba baba ba baba ba baba ba         VII. Một số nhóm công thức thường gặp khi giải phương trình lượng giác. sin(a b) 1) tan a tan b cos a cos b sin(a b) 2) tan a tan b cos a cos b sin(a b) 3)cot a cot b sin a sin b          sin(a b) 4)cot a cot b sin a sin b     5) 4 4 2 2 sin x cos x 1 2sin chúng tôi x   6) 6 6 2 2 sin x cos x 1 3sin chúng tôi x   B. Bài tập Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau: a) 4 4 cos sin cos2x x x . b) 4 4 21 cos sin 1 sin 2 2 x x x . c) 6 6 2 2 sin cos 1 3sin .cosx x x x . d) sin cos 2tan2 sin sin x x cosx cosx x cosx x cosx x . e) 3 3 4sin cos 4sin cos sin4x x x x x . f) 5 5 4sin cos 4sin cos sin4x x x x x . Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau: a) sin5 sin3 sin4 tan4 5 cos3 s4 x x x x cos x x co x . b) 2 cos sin 1 sin2x x x . c) 2 1 sin2 sin cosx x x . d) cot tan 2cot2x x x . Bài 3. Cho 3 sin , 0; 5 2 x x . Tính giá trị của biểu thức cos cos2P x x . Bài 4. Cho ; 2 x và tan 1 4 x Tính giá trị của biểu thức cos sin 2 A x x .

3. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 3 Bài 5. Cho tan 2x Tính giá trị của biểu thức sau: a) 2sin cos cos sin x x A x x . b) 2 2 2sin sin cos 3cos 2sin cos x x x B x x x . c) 3 2 3 2 2sin sin cos cos 3cos 2sin cos x x x x C x x x . d) 2 2 2sin sin cos cos 3cos 2sin cos x x x x D x x x . Bài 6. Cho 1 tan , 0; 2 2 x x . Tính giá trị của biểu thức 2sin 3cos 12 2 5sin 2cos 2 2 x x P x x . Bài 7. Cho 2 sin , ; 3 2 x x . Tính giá trị của biểu thức 2 cos 3 P x . Bài 8. Cho 1 sin , ; 3 2 x x . Tính giá trị của biểu thức sin2 cos2P x x . ………………………………………………………………………………………………………….. Phần 2. Phương trình lượng giác I. Phương trình lượng giác cơ bản A. Lý thuyết cần nhớ 1. Phương trình:  sinsin x x k2 ,k Z x k2               2. Phương trình:  coscos x x k2 , k Z x k2             3. Phương trình: tan x tan k ,k Z       4. Phương trình: cot x cot k ,k Z       B. Bài tập rèn luyện Bài 9. Giải các phương trình sau: a) 2 3 6 3sin         x b) sin(3x – 2) = 1,5 c) 1 5 2cos2         x d) cos(3x – 15o ) = cos150o e) tan(2x + 3) = 3 tan  f) cot(45o – x) = 3 3 g) sin3x – cos2x = 0 h) xx 3cos 3 2 sin         i) 0 4 3cos 6 5 3sin               xx j) )302cos( 2 cos o x x  k) cos2x = cosx l)              4 2sin 4 sin  xx m) 1 12 sin         x n) 2 1 6 12sin         x o) 2 3 2 6cos         x p) 1)5cos(  x q) 1)63tan(  x r)   36tan  x s) 3 1 2 4 tan        x  t) 312 6 5 cot        x  u) 3 3 5 7 12 cot        x 

4. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 4 v)   2 2 312sin  x w)   xax 3sin2cos  x) xbx 5cos)3sin(  y)              xx 6 5 cot 4 tan  z)          xx 7 12 7 tan3cot   Bài 10. Giải các phương trình sau trên khoảng đã cho : a) 1 sin2 2 x với 0 x . c) 1 sin 2 2 x với 0 2x . b) 1 cot3 3 x với 0 2 x . d) 2cos 1 0 3 x với 2 x . Bài 11. Giải các phương trình sau : a) 2 2sin 1x c) sin 1 2cos 1 0x x b) 2cos2 3 2cos 1 0x x d) tan 1 tan 3 0x x e) cot 1 tan 3 0x x f) 2 cos5 2sin 1x x Bài 12. Giải các phương trình sau : a) sin sin3 cos 0x x x c) sin3 .sin2 sin4 sinx x x x b) 2 sin5 sin 2cos 1x x x d) 4 4 2cos 1 2sinx x e) cos2 sin cosx x x f) 2 sin 2cos 2 1x x Bài 13. Giải các phương trình sau : a) 4sin cos cos2 1x x x c) sin3 .sin2 sin4 cos2 cos3x x x x x b) 2 sin5 cos sin cos5 2cos 1x x x x x d) 2 1 cos2 sin cosx x x e) 4cos2 sin cos sin8x x x x f) 4 4 5 sin cos 8 x x Bài 14. Giải các phương trình sau : a) 3 4sin cos2 3sinx x x c) 3 sin2 3cos 4cosx x x b) 2sin2 cos sin3 1x x x d) 2sin3 sin 1 cos4x x x II. Phương trình bậc 2 đối với một hàm số lượng giác A. Lý thuyết cần nhớ Dạng 1: 2 a sin sin 0( )x b x c , đặt: t sin , 1x t . Pt( ) trở thành: 2 a 0t bt c . Dạng 2: 2 acos s 0( )x bco x c , đặt: t cos , 1x t . Pt( ) trở thành: 2 a 0t bt c . Dạng 3: 2 atan tan 0( )x b x c , đặt: t tanx . Pt( ) trở thành: 2 a 0t bt c . Dạng 4: 2 acot cot 0( )x b x c , đặt: t cotx . Pt( ) trở thành: 2 a 0t bt c . Phương trình bậc cao hơn theo một hàm số lượng giác ta làm tương tự.  Chú ý: Các công thức lượng giác thường sử dụng trong dạng này là: 1) 1cossin 22  xx 2) 2 2 2 2 cos2 sin cos2 2 1 cos2 1 2sin x cos x x x cos x x x 3) 4 4 21 cos sin 1 sin 2 4 x x x 4) 6 6 2 2 sin cos 1 3sin .cosx x x x .

5. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 5 5) 2 1 s2 cos 2 co x x 6) 2 1 s2 sin 2 co x x 7) 3 os3 4 os 3 osc x c x c x 8) 3 sin3 3sin 4sinx x x B. Bài tập mẫu: Ví dụ 1. Giải phương trình: 2 cos2 3sin 2 0 (1)x x Phân tích: Thấy có 2x và góc x nên nghĩ đến công thức nhân đôi 2 cos2 1 2sinx x đưa về phương trình bậc hai theo sin. Giải 2 2 2 (3) 1 2sin 3sin 2 0 2sin 3sin 1 0 2 2sin 1 2 , .1 6sin 2 5 2 6 x x x x x k x x k k Z x x k Ví dụ 2. Giải phương trình: 2 cos4 12sin 1 0 (2)x x (CĐ Khối A,B,D – 2011) Phân tích:Trong bài toán có chứa góc x và 4x nên ta nghĩ đến việc đưa về cùng góc bằng công thức hạ bậc nâng cung của 2 1 2 sin 2 cos x x . Vì khi sử dụng công thức hạ bậc nâng cung ta đã đưa về cos2x nên ta chọn công nhân đôi của 2 cos4 2 2 1x cos x . Khi đó phương trình sẽ đưa về bậc hai theo cos2x. Giải 2 21 2 (2) 2 2 1 12. 1 0 2 3 2 2 0 2 cos x cos x cos x cos x Đặt cos2 , 1t x t . Pt trở thành: 2 1( ) 3 2 0 2( ) t n t t t l . Với 1t , ta có : cos2 1 , .x x k k Z Ví dụ 3. Giải phương trình: 4 4 cos sin cos4 0 (3)x x x Phân tích:Ta thấy 4 4 cos sin os2x x c x , chỉ cần sử dụng công thức nhân đôi của 2 cos4 2cos 2 1x x . Khi đó phương trình (2) sẽ trở thành phương bậc hai theo chúng tôi đã quen rồi thì các Em có thể xem như phương trình bậc 2 theo ẩn là một hàm số lượng giác, không cần đặt t cho nhanh. Giải 2 2 2 2 2 2 (3) sin sin 2 2 1 0 2 2 cos2 1 0cos x x cos x x cos x cos x x cos2 1 2 , .1 cos2 22 6 x x k k Z x x k

7. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 7 Cách 1:    2 2 4 2 2 2 cos 1( ) 1 7 2 1 cos 1 2 2cos cos 1 0 1 cos cos 2                 x l x x x x x  2 2cos 1 0 cos2 0 , . 4 2          k x x x k Z   . So với điều kiện ta có nghiệm của phương trình (7) là , 4 2     k x k Z . Cách 2:   2 2 2 2 2 4 2 2 2 sin 1 7 2 .cos tan 2 2tan . tan 2 tan tan 2 0 cos 1 tan            x x x x x x x x x 2 2 tan 1 tan 2( )….!    x x l . Ví dụ 8. Giải phương trình:  8 8 217 sin cos cos 2 8 16  x x x . Giải Ta có:   2 28 8 4 4 4 4 2 4 2 41 1 1 sin cos sin cos 2sin .cos 1 sin 2 sin 2 1 sin 2 sin 2 2 8 8                x x x x x x x x x x . Pt (8)  2 4 2 4 21 16 1 sin 2 sin 2 17 1 sin 2 2sin 2 sin 2 1 0 8               x x x x x   2 2 2 sin 2 1( ) 1 2sin 2 0 cos4 0 , .1 8 4sin 2 2                 x loai k x x x k Z x   Ví dụ 9. Giải phương trình:    8 8 10 10 5 sin cos 2 sin cos cos2 9 4    x x x x x . Phân tích: Bài này ta để ý tí sẽ thấy bậc 8 và bậc 10 khi chuyển sang vế trái đặt ra làm nhân tử chung sẽ xuất hiện cos2x. Cụ thể:      8 10 8 10 8 2 8 25 5 9 sin 2sin cos 2cos cos2 sin 1 2sin cos 1 2cos cos2 4 4          x x x x x x x x x x Giải      8 10 8 10 8 2 8 25 5 9 sin 2sin cos 2cos cos2 sin 1 2sin cos 1 2cos cos2 4 4          x x x x x x x x x x          8 8 8 8 4 4 4 4 2 2 3 5 5 9 sin cos2 cos cos2 cos2 cos2 cos sin cos2 4 4 5 cos2 cos sin cos sin cos2 0 4 1 chúng tôi .cos2 1 sin 2 5cos2 0 2 1 cos2 . 4cos2 . 1 1 cos 2 5 0 2 cos2 0 2cos 2 2cos2 5                                       x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x  . , k Z . 4 20( )       x k VN   Ví dụ 10. Giải phương trình:  2 cos2 cos sin 2 0 10   x x x .

8. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 8 Phân tích: Bài này khá dễ rồi nhỉ.! Ta chỉ cần đưa về phương trình bậc 2 theo sin như sau: 2 2 2 cos2 1 2sin ;cos 1 sin   x x x x . Giải     2 2 2 sin 1 10 2sin 1 sin sin 2 0 3sin sin 4 0 4 sin ( ) 3 2 , . 2                        x x x x x x x loai x k k Z   C. Bài tập rèn luyện: Bài 15.Giải các phương trình sau: a) 2 cos 5cos 2 0  x x b) 2 2cos cos 1 0  x x c) 2 cot 4cot 3 0  x x d)  2 tan 1 3 tan 3 0   x x e) cos2 9cos 5 0  x x f) cos2 sin 3 0  x x Bài 16.Giải các phương trình sau: a) 032cos72sin3 2  xx b) 07sin5cos6 2  xx c) 03sin52cos  xx d) 01cos2cos  xx e) 1412cos3sin6 2  xx f) 7cos12sin4 24  xx g) 5cossin8 2  xx Bài 17.Giải các phương trình sau: a) 3 2 sin 3sin 2sin 0  x x x b) 2 2 3 sin 2 2cos 0 4   x x c) 5sin3 cos6 2 0  x x d) 2cos2 cos 1 x x e) 4 2 4sin 3 12cos 3 7 0  x x f) 2 5sin 3sin 2 0  x x Bài 18.Giải các phương trình sau: a)    3 tan cot 2. 2 sin  x x x . b) 1 1 2 cos sin 2 sin 4   x x x . c) 2 6 8 2cos 1 3cos 0 5 5    x x . d) 35 sin 5cos .sin 2 2  x x x . e) sin sin5 3 5  x x . f) sin5 1 5sin  x x . g) 5 7 sin 2 3cos 1 sin ; ;2 2 2 2                            x x x x . Bài 19.Giải các phương trình sau: a)   2 sin 2 3cos2 5 cos 2 6           x x x . b) 1 1 2sin3 2cos3 sin cos   x x x x . c)   2 cos 2sin 3 2 2cos 1 1 1 sin 2      x x x x . d) 3 3 1 cos .cos .cos sin sin sin 2 2 2 2 2   x x x x x x . e) 2 cot tan sin 2 sin 2   x x x x . f)   2 sin2 . cot tan2 4cos x x x x . g) 3 tan tan 1 4          x x . h)   1 tan 1 sin2 1 tan   x x x . i)    3 sin2 cos 3 2 3cos 3 3cos2 8 3cos sin 3 3     x x x x x x .

9. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 9 j) 2 2 1 1 4 sin 4 sin 7 sin sin                x x x x . k) 2 tan tan .tan3 2 x x x (ĐHQG Hà Nội 1996). l)    4 sin3 cos2 5 sin 1  x x x III. Phương trình bậc nhất theo sin và cos. A. Lý thuyết cần nhớ Dạng cơ bản :a sin cos ( )x b x c . Cách giải 1:  Điều kiện để phương trình có nghiệm: 2 2 a b c .  Chia hai vế pt( ) cho 2 2 0a b ta được: 2 2 2 2 2 2 a sin cos b c x x a b a b a b .  Bấm máy( nếu góc có giá trị đẹp), trong trường hợp không đẹp cứ đặt: 2 2 2 2 a cos ;sin b a b a b .  Phương trình trở thành: 2 2 2 2 sin .cos sin .cos sin c c x x x a b a b . Tới đây là dạng cơ bản !!! Cách giải 2:  Kiểm tra xem cos 0 2 2 x x k có phải là nghiệm không?? Nếu phải thì ta được một họ nghiệm này.  cos 0 2 2 x x k , đặt: 2 2 2 1 2 t tan cos ;sin 2 1 1 x t t x x t t . Khi đó phương trình ( ) trở thành : 2 2 0 tan …!b c t at c b t x x Mở rộng 1 :a sin cos sinyx b x c hoặc a sin cos cosyx b x c . Mở rộng 2 :a sin cos siny dcosx b x c y . Sử dụng cách giải 1 của dạng cơ bản đối với hai dạng mở rộng này. Chú ý: Các công thức lượng giác thường sử dụng trong dạng này là: bababa abbaba sinsincoscos)cos()2 cossincossin)sin()1   B. Bài tập mẫu: Ví dụ 11. Giải phương trình:  3cos2 sin 2 2 11 x x . Phân tích: Nếu thuộc kỉ công thức cộng em đưa vế trái về sin hay cos đều như nhau. Nếu quen sin đướng trước thì ta sắp xếp phương trình lại một tí…! Giải   1 3 11 sin 2 3cos2 2 sin 2 cos2 1 sin 2 .cos sin cos2 1 2 2 3 3            x x x x x x    11 sin 2 1 2 , . 3 12             x x k k Z   

12. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 12 Ví dụ 19. Giải phương trình:    tan 3cot 4 sin 3cos 19  x x x x . Phân tích: Bài toán có tan và cot các Em nhớ phải đặt điều kiện và sau khi giải xong phải kết hợp điều kiện. Gặp tan và cot suy nghĩ tự nhiên là ta cứ chuyển về cos và sin. Qui đồng đồng bỏ mẫu,khi bài toán không đúng dạng thì các thường các Em phải phát được nhân tử chung trước. Cái này cần rèn luyện. Giải      2 2sin cos 19 3 4 sin 3cos sin 3cos 4sin cos sin 3cos cos sin         x x x x x x x x x x x x             sin 3 cos sin 3 cos 2sin 2 sin 3 cos 0 sin 3 cos sin 3 cos 2sin 2 0 sin 3 cos 0 sin 3 cos 2sin 2 0                      x x x x x x x x x x x x x x x x x    tan 3 , . 3         x x k k Z     1 3 sin 3cos 2sin 2 sin cos sin 2 2 2       x x x x x x   2 3 sin sin 2 , . 43 2 9                  x k x x k Z x k      So với điều kiện ta có nghiệm của pt (19) là:   4 2 ; 2 , . 3 9      x k x k k Z     Ví dụ 20. Giải phương trình:  3 3 sin cos sin cos 20  x x x x . Giải    2 3 2 3 20 sin sin 1 cos cos 0 sin cos cos cos 0         x x x x x x x x       2 2 cos sin cos cos 1 0 cos 0 sin cos cos 1               x x x x x x x x    , . 2     x k k Z     1 1 cos2 sin 2 1 sin 2 cos2 3( ) 2 2           x x x x vn B. Bài tập rèn luyện: Bài 20.Giải các phương trình sau: a)  2sin 2cos 2x x b) sin2 3cos2 2 x x c)  sin4 3 cos4 2x x d) cos 3sin 1  x x e)   3 cos3 sin3 2 0x x f) cos2 2sin2 3 x x Bài 21.Giải các phương trình sau:

13. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 13 a)   2sin2 cos2 3 cos4 2x x x b) 2 1 sin 2 sin 2  x x c)                  5 2 2cos 3cos 6 3 2 x x d) 2 2 cos 3sin2 1 sin  x x x e) 2 5sin2 6cos 13 x x f) 2sin3 sin2 3cos2 x x x g)  sin3 sin5 3 cos5 cos3  x x x x h) 3sin4 cos4 sin 3cos  x x x x i)  sin7 cos6 3 sin6 cos7  x x x x j) sin5 3cos5 2cos3 x x x Bài 22.Giải các phương trình sau: a)         4 4 1 sin cos 4 4 x x b) 3 3 4sin cos3 4cos sin3 3 3cos4 3  x x x x x c)    2 2 sin cos cos 3 cos2x x x x d)   2cos 1 sin cos 1  x x x e)  2cos2 6 cos sin x x x f) 2 sin 3cos sin 3cos 1     x x x x g) 3 4sin 1 3sin 3cos3  x x x h) sin cos4 3cos5 2 sin4 cos  x x x x x i)  4sin2 3cos2 3 4sin 1  x x x j) 2 cos sin 2 3 2cos sin 1     x x x x Bài 23.Giải các phương trình sau: a)   1 tan 3 cos x x b) 3 3sin6 4cos 2 1 3cos2  x x x c)  3 3 5 cos cos3 sin sin3 8 x x x x d) 3 4sin 2 3cos2 5cos 3 0 2          x x x  e) 2 2 3 4sin 3cos2 1 2cos 2 4          x x x  f) cos2 3sin2 3sin cos 4 0    x x x x g)     3 sin cos 2 1 sin2 sin cos 2     x x x x x IV. Phương trình đẳng cấp sin và cos A. Lý thuyết cần nhớ Dạng 1:  2 2 asin sin cos cos 1  x b x x c x d Cách 1:Chia hai vế cho 2 cos x hoặc 2 sin x . Bước 1: Kiểm tra cosx = 0 phải là nghiệm của phương trình này không?? Nếu phải thì nhận nghiệm này. Bước 2: Xét 0cos x . Chia cả 2 vế của phương trình (1) cho x2 cos ta được:     2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin sin cos cos 1 a cos tan tan 1 tan cos cos cos cos          x x x x d b c x a x b x c d x x x x x   2 tan tan 0     a d x b x c d . Dạng 2:  3 2 2 3 asin sin cos sin cos cos 0 2   x b x x c x x d x Dạng 3:  4 3 2 2 3 4 asin sin cos sin cos sin cos cos 0 3    x b x x c x x d x x e x Cách giải: Chia hai vế của (2) cho 3 cos x hoặc 3 sin x. Chia hai vế của (3) cho 4 cos x hoặc 4 sin x rồi làm như trên.

15. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 15 2 4 2 2 tan 1tan 1 4 tan 4tan 3 0 , . tan 3tan 3 3                       x kxx x x k Z xx x k     Ví dụ 24. Giải phương trình:  sin2 2tan 3 24 x x . Giải Điều kiện :  cos 0 , 2       x x k k Z .      2 2 2 2 2 2sin cos 1 1 24 2tan . 3. 2tan 2tan 1 tan 3 1 tan cos cos cos         x x x x x x x x x x  3 2 2tan 3tan 4tan 3 0 tan 1 , . 4           x x x x x k k Z   Ví dụ 25. Giải phương trình:  3 sin sin2 sin3 6cos 25 x x x x . Giải TH1: Xétcos 0 sin 1.   x x Khi đó phương trình (25) vô nghiệm. TH2: Do  cos 0 , 2       x x k k Z không là nghiệm của phương trình (25) nên ta chia hai vế của phương trình (25) cho 3 cos x được:   3 3 3 3 3 2sin sin cos 3sin 4sin cos 25 6 cos cos cos     x x x x x x x x x   2 3 2 2 3 2 2 3 sin sin 1 sin 2 3 . t 4 6 2tan 3tan 1 tan 4tan 6 0 cos cos cos cos           x x x x x x x x x x x  3 2 tan 2tan 2 tan 2tan 3tan 6 0 , . tan 3 3                 x arc kx x x x k Z x kx    Ví dụ 26. Giải phương trình:  sin3 cos3 2cos 0 26  x x x . Phân tích: Các Em nhớ lại 3 3 sin3 3sin 4sin ;cos3 4cos 3cos   x x x x x x. Khi đó viết lại phương trình các Em sẽ phát hiện đây dạng đẳng cấp bậc 3. Chia hai vế của phương trình cho 3 cos x ,nhưng nhớ phải xét cos 0x trước. Giải        3 3 3 3 26 3sin 4sin 4cos 3cos 2cos 0 3sin 4sin 4cos cos 0           x x x x x x x x x TH1: Xétcos 0 sin 1.   x x Khi đó phương trình   vô nghiệm. TH2: Do  cos 0 , 2       x x k k Z không là nghiệm của phương trình  nên ta chia hai vế của phương trình   cho 3 cos x được:   3 3 2 3 3 2 3sin 1 sin cos cos 1 . 4 4 . 0 cos cos cos cos cos cos       x x x x x x x x x x    2 3 2 3tan 1 tan 4tan 4 1 tan 0      x x x x

16. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 16  3 2 tan 1 4 tan tan 3tan 3 0 , . tan 3 3                      x kx x x x k Z x x k     Ví dụ 27. Giải phương trình:  3 2 sin cos 3sin xcos 0 27  x x x . Giải TH1: Xétcos 0 sin 1.   x x Khi đó phương trình  27 vô nghiệm. TH2: Do  cos 0 , 2       x x k k Z không là nghiệm của phương trình 27 nên ta chia hai vế của phương trình  27 cho 3 cos x được:     3 2 2 2 2 3 3 sin 1 cos sin xcos 27 . 3 0 tan tan 1 1 3tan 0 cos cos cos cos          x x x x x x x x x x    3 2 tan 1 4tan 3tan tan 1 0 , . tan 1 2 arctan 1 2                     x kx x x x k Z x x k    Ví dụ 28. Giải phương trình:      2 29 cos 3 2 3cos 4 1 sin 2 , ;2 28 2 3                     x x x x      . Giải    2 2 28 cos 2 3sin4 1 sin 2    x x x TH1: Xétcos 0 sin 1.   x x Khi đó phương trình   vô nghiệm. TH2: Do  cos 0 , 2       x x k k Z không là nghiệm của phương trình  nên ta chia hai vế của phương trình   cho 2 cos 2x được:   2 2 2 2 2 2 cos 2 sin 2 cos2 1 sin 2 2 3 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2      x x x x x x x x  2 tan 2 0 2 2tan 2 2 3 tan 2 0 , . tan 3 6 2                x kx x x k Z x x k    C. Bài tập rèn luyện Bài 24.Giải các phương trình sau: a)  2 2 sin 2cos 3sin cosx x x x b)   2 sin 3sin cos 1x x x c)    2 2 2sin 3cos cos2 5sin2 0x x x x d)   2 2 5sin 2 6sin4 2cos 2 0x x x e)   2 2 5sin 5sin2 4cos 0x x x f)    2 2 2sin 3 10sin6 cos 3 2x x x g)   4 4 sin cos 3sin cos 0x x x x Bài 25.Giải các phương trình sau:

17. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 17 a)   1 3sin cos cos x x x b) 2 2 sin 3cos sin2 2  x x x c)   sin3 cos3 sin cosx x x x d)  3 sin3 2cosx x e)    2 sin tan 1 3sin cos sin 3   x x x x x f) 3 sin 4sin cos 0  x x x g)  2 2 tan sin 2sin 3 cos2 sin .cos  x x x x x x h) sin3 cos3 2cos 0  x x x i) 3 5sin 4 .cos 6sin 2cos 2cos2   x x x x x j) 2cos2 1 cot 1 sin sin 2 tan 1 2      x x x x x V. Phương trình dạng đối xứng: A. Lý thuyết cần nhớ Dạng 1:  a sin cos sin cos 0   x x b x x c Cách giải: Đặt   2 22 1 sin cos , 2 sin cos sin cos 2          t t x x t t x x x x thay vào phương trình ta sẽ đưa về phương trình đa thức. Dạng 2:  a sin cos sin cos 0   x x b x x c Cách giải: Đặt   2 22 1 sin cos , 2 sin cos sin cos 2          t t x x t t x x x x . Dạng 3:    2 2 a tan cot tan cot 0    x x b x x c Cách giải: Điều kiện: sin2 0x Đặt   22 2 2 2 tan cot , 2 tan cot tan cot 2         t x x t t x x x x t . Dạng 4:    2 2 a tan cot tan cot 0    x x b x x c Cách giải: Điều kiện: sin2 0x Đặt   22 2 2 2 tan cot tan cot tan cot 2        t x x t x x x x t . Dạng 5:  4 4 a sin cos sin2 0   x x b x c Cách giải: Đặt 4 4 2 21 1 sin 2 , 1 sin cos 1 sin 2 1 2 2        t x t x x x t . Dạng 6:  4 4 a sin cos cos2 0   x x b x c Cách giải: Đặt  4 4 2 2 21 1 1 1 cos2 , 1 sin cos 1 sin 2 1 1 cos 2 2 2 2 2           t x t x x x x t . Dạng 7:  6 6 a sin cos sin2 0   x x b x c Cách giải: Đặt 6 6 2 23 3 sin 2 , 1 sin cos 1 sin 2 1 4 4        t x t x x x t . Dạng 8:  6 6 a sin cos cos2 0   x x b x c Cách giải: Đặt  6 6 2 2 23 3 1 3 cos2 , 1 sin cos 1 sin 2 1 1 cos 2 4 4 4 4           t x t x x x x t . Dạng 9: 4 4 asin cos cos2 0   x b x c x d

26. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 26 a)    3 2 cos cos 2sin 2 0x x x b)  2 2 tan sin 2sin 3 cos2 sin cos  x x x x x x c)   3 sin 4sin cos 0x x x d)     2sin 1 cos2 sin2 1 2cosx x x x e)   2sin cot 2sin2 1x x x f) 2 2 2sin 2sin tan 4         x x x  g)  2 cos sin1 tan cot 2 cot 1     x x x x x h) 3 8sin cos 6        x x  i)  2cos5 cos3 sin cos8x x x x j) 2 2sin sin2 sin cos 1 0    x x x x k) 2cos6 2cos4 3cos2 sin2 3   x x x x l)   2 2cos3 cos 3 1 sin 2 2 2 cos 2 4          x x x x  Bài 32.Giải các phương trình sau: a)   tan3 2tan4 tan5 0x x x b)   2 sin 2 1 cos3 sin 2sin 2 0 4           x x x x  c)      2 1 sin cos 1 sin cosx x x x d)      3 sin cos sin2 3 cos3 2 cos4 sinx x x x x x e)   3 cos5 2sin3 cos2 sin 0x x x x f) cos3 cos 1x x g) 2 2 sin sin cos 2cos 0  x x x x h) cos3 sin6 cos9 0  x x x i)   cos sin2 sin sin2 cotx x x x x j) 3 sin4 2sin sin 3cos cos2  x x x x x Bài 33. Giải các phương trình sau: a)                 4cos cos cos sin3 3 3 x x x x b) sin2 3cos 0 x x c)   2 sin2 2sin sin cosx x x x d)       2 sin tan 1 3sin cos sin 3x x x x x e)   cos cos2 sin 0x x x f) 4sin cos 2 sin2  x x x g)   cos2 1 2cos cos sin 0   x x x x h) 2sin2 6 cos 2sin 3 0   x x x i)    3sin2 2cos2 cos4 1 0x x x j)  sin2 2cos 5 cos2 4sin 5cos 3 0     x x x x x ……………………………………………………………………………………………………… Phần 3.Đề Thi Đại Học Cao Đẳng Qua Các Năm Bài 34. (ĐH Khối A – 2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng  0;2 của phương trình: cos3 sin3 5 sin 2cos2 3 1 sin 2         x x x x x Bài 35. (ĐH Khối B – 2002) Giải phương trình: 2 2 2 2 sin 3 cos 4 sin 5 cos 6  x x x x Bài 36. (ĐH Khối D – 2002) Giải phương trình: cos3 4cos2 3cos 4 0   x x x Bài 37. (Dự bị 1 -Khối A – 2002) Cho phương trình: 2sin cos 1 sin 2cos 3      x x a x x (a là tham số) a)Giải phương trình khi 1 3 a .

27. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 27 b) Tìm a để phương trình có nghiệm. Bài 38. (Db 2 -Khối A – 2002) Giải phương trình: 2 tan cos cos sin 1 tan tan 2          x x x x x x Bài 39. (Db 1 -Khối B- 2002) Giải phương trình:  2 4 4 2 sin 2 sin3 tan 1 cos    x x x x Bài 40. (Db 2 -Khối B – 2002) Giải phương trình: 4 4 sin cos 1 1 cot 2 5sin 2 2 8sin 2    x x x x x Bài 41. (Db 1 -Khối D – 2002) Giải phương trình: 2 1 sin 8cos  x x Bài 42. (Db 2 -Khối D – 2002) Tìm m để phương trình:    4 4 2 sin cos cos4 2sin2 0     x x x x m Có ít nhất một nghiệm thuộc 0;2 . Bài 43. (ĐH Khối A – 2003) Giải phương trình: 2cos2 1 cot 1 sin sin 2 1 tan 2      x x x x x Bài 44. (ĐH Khối B – 2003) Giải phương trình: 2 cot tan 4sin 2 sin 2   x x x x Bài 45. (ĐH Khối D – 2003) Giải phương trình: 2 2 2 sin tan cos 0 2 4 2         x x x  Bài 46. (Db 1-Khối A – 2003) Giải phương trình:  2 cos2 cos 2tan 1 2  x x x Bài 47. (Db 2-Khối A – 2003) Giải phương trình:  3 tan tan 2sin 6cos 0   x x x x Bài 48. (Db 1-Khối B – 2003) Giải phương trình: 6 2 3cos4 8cos 2cos 3 0   x x x Bài 49. (Db 2-Khối B – 2003) Giải phương trình:   2 1 3 cos 2sin 2 4 1 2cos 1           x x x  Bài 50. (Db 1-Khối D – 2003) Giải phương trình:     2 cos cos 1 2 1 sin sin cos     x x x x x Bài 51. (Db 2-Khối D – 2003) Giải phương trình: 2cos4 cot tan sin 2   x x x x Bài 52. (ĐH Khối B – 2004) Giải phương trình:   2 5sin 2 3 1 sin tan  x x x Bài 53. (ĐH Khối D – 2004) Giải phương trình:   2cos 1 2sin cos sin2 sin   x x x x x Bài 54. (Db 1-Khối A – 2004) Giải phương trình:  3 3 4 sin cos cos 3sin  x x x x Bài 55. (Db2-Khối A – 2004) Giải phương trình: 1 sin 1 cos 1   x x Bài 56. (Db1-Khối B – 2004) Giải phương trình: 1 1 2 2 cos 4 sin cos         x x x  Bài 57. (Db2-Khối B – 2004) Giải phương trình: sin4 sin7 cos3 cos6x x x x Bài 58. (Db1-Khối D – 2004) Giải phương trình: 2sin cos2 sin2 cos sin4 cos x x x x x x Bài 59. (Db2-Khối D – 2004) Giải phương trình:  sin sin2 3 cos cos2  x x x x Bài 60. (ĐH Khối A – 2005) Giải phương trình: 2 cos 3 cos2 cos2 0 x x x Bài 61. (ĐH Khối B- 2005) Giải phương trình: 1 sin cos sin2 os2 0    x x x c x

28. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 28 Bài 62. (ĐH Khối D- 2005) Giải phương trình: 4 4 3 os sin cos sin 3 0 4 4 2                  c x x x x   Bài 63. (Db1-Khối A – 2005) Tìm nghiệm thuộc khoảng  0; của phương trình: 2 2 3 4sin 3cos2 1 2 os 2 4          x x c x  Bài 64. (Db2-Khối A – 2005) Giải phương trình: 3 2 2 cos 3cos sin 0 4          x x x  Bài 65. (Db1-KhốiB – 2005) Giải phương trình:  2 2 3 sin cos2 cos tan 1 2sin 0   x x x x x Bài 66. (Db2-KhốiB – 2005) Giải phương trình: 2 2 cos2 1 tan 3tan 2 cos         x x x x  Bài 67. (Db1-KhốiD – 2005) Giải phương trình: 3 sin tan 2 2 1 cos         x x x  Bài 68. (Db2-KhốiD – 2005) Giải phương trình: sin2 cos2 3sin cos 2 0    x x x x Bài 69. (ĐH Khối A – 2006) Giải phương trình:  6 6 2 cos sin sin cos 0 2 2sin     x x x x x Bài 70. (ĐH Khối B – 2006) Giải phương trình: cot sin 1 tan tan 4 2 x x x x         Bài 71. (ĐH Khối D – 2006) Giải phương trình: os3 os2 cos 1 0c x c x x    Bài 72. (Db1-Khối A – 2006) Giải phương trình: 3 3 2 3 2 cos3 cos sin3 sin 8   x x x x Bài 73. (Db2-Khối A – 2006) Giải phương trình: 2sin 2 4sin 1 0 6          x x  Bài 74. (Db1-Khối B – 2006) Giải phương trình:    2 2 2 2sin 1 tan 2 3 2cos 1 0   x x x Bài 75. (Db2-Khối B – 2006) Giải phương trình:   cos2 1 2cos sin cos 0   x x x x Bài 76. (Db1-Khối D – 2006) Giải phương trình: 3 3 2 cos sin 2sin 1  x x x Bài 76. (Db2-Khối D – 2006) Giải phương trình: 3 2 4sin 4sin 3sin2 6cos 0   x x x x Bài 78. (ĐH Khối A – 2007) Giải phương trình:    2 2 1 sin cos 1 os sin 1 sin2x x c x x x     Bài 79. (ĐH Khối B – 2007) Giải phương trình: 2 2sin 2 sin7 1 sinx x x   Bài 80. (ĐH Khối D – 2007) Giải phương trình: 2 sin os 3cos 2 2 2 x x c x         Bài 81. (Db1-Khối A – 2007) Giải phương trình: 1 1 sin 2 sin 2cot 2 2sin sin 2    x x x x x Bài 82. (Db2-Khối A – 2007) Giải phương trình:  2 2cos 2 3sin cos 1 3 sin 3cos   x x x x x Bài 83. (Db1-Khối B – 2007) Giải phương trình: 5 3 sin cos 2cos 2 4 2 4 2                x x x  Bài 84. (Db2-Khối B – 2007) Giải phương trình: sin 2 cos2 tan cot cos sin    x x x x x x

29. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 29 Bài 85. (Db1-Khối D – 2007) Giải phương trình: 2 2 sin cos 1 12        x x  Bài 86. (Db2-Khối D – 2007) Giải phương trình:   1 tan 1 sin2 1 tan   x x x Bài 87. (ĐH Khối A – 2008) Giải phương trình: 1 1 7 4sin 3sin 4 sin 2 x x x                Bài 88. (ĐH KhốiB – 2008) Giải phương trình: 3 3 2 2 sin 3cos sin os 3sin osx x xc x xc x   Bài 89. (ĐH KhốiB – 2008) Giải phương trình:  2sin 1 os2 sin2 1 2cosx c x x x    Bài 90. (Db1-Khối A – 2008) Giải phương trình: 2 2 3 4sin 3cos2 1 2cos 2 4          x x x  Bài 91. (Db2-Khối A – 2008) Giải phương trình: 3 2 2 cos 3cos sin 0 4          x x x  Bài 92. (Db1-Khối B – 2008) Giải phương trình:  2 3 sin cos2 cos tan 1 2sin 0   x x x x x Bài 93. (Db2-Khối B – 2008) Giải phương trình: 2 2 cos2 1 tan 3tan 0 2 cos         x x x x  Bài 94. (Db1-KhốiD – 2008) Giải phương trình: 3 sin tan 2 2 cos 1         x x x  Bài 95. (Db2-KhốiD – 2008) Giải phương trình: sin2 cos2 3sin cos 2 0    x x x x Bài 96. (ĐH Khối A – 2009) Giải phương trình:    1 2sin cos 3 1 2sin 1 sin x x x x     Bài 97. (ĐH Khối B – 2009) Giải phương trình:  3 sin cos sin2 3cos3 2 cos4 sinx x x x x x    Bài 98. (ĐH Khối D – 2009) Giải phương trình: 3cos5 2sin3 cos2 sin 0x x x x   Bài 99. (Db1-KhốiA – 2009) Giải phương trình: 2 2sin cos 3sin 2 cos sin 4 0 2sin 3     x x x x x x Bài 100. (Db2-KhốiA – 2009) Giải phương trình:    2 3 2cos cos 2 3 2cos sin 0    x x x x Bài 101. (ĐH Khối A – 2010) Giải phương trình: 1 sin os2 sin 14 cos 1 tan 2 x c x x x x           Bài 102. (ĐH Khối B – 2010) Giải phương trình:  sin2 cos2 cos 2cos2 sin 0x x x x x    Bài 103. (ĐH Khối D – 2010) Giải phương trình: sin2 os2 3sin cos 1 0x c x x x     Bài 104. (ĐH Khối A – 2011) Giải phương trình: 2 1 sin 2 os2 2sin .sin 2 1 cot x c x x x x     Bài 105. (ĐH Khối B – 2011) Giải phương trình: sin2 cos sin cos os2 sin cosx x x x c x x x    Bài 106. (ĐH Khối D – 2011) Giải phương trình: sin 2 2cos sin 1 0 tan 3 x x x x      Bài 107. (ĐH Khối A và A1- 2012) Giải phương trình: 3sin2 os2 2cos 1x c x x   Bài 108. (ĐH Khối B – 2012) Giải phương trình:  2 cos 3sin cos cos 3sin 1x x x x x    Bài 109. (ĐH Khối D – 2012) Giải phương trình: sin3 os3 sin cos 2 cos2x c x x x x   

30. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 30 Bài 110. (ĐH Khối A và A1- 2013) Giải phương trình: 1 tan 2 2 sin 4         x x  Bài 111. (ĐH KhốiB- 2013) Giải phương trình: 2 sin5 2cos 1 x x Bài 112. (ĐH KhốiD- 2013) Giải phương trình: sin3 cos2 sin 0  x x x Bài 113. (ĐH Khối A và A1- 2014) Giải phương trình: sin 4cos 2 sin2  x x x Bài 114. (ĐH KhốiB- 2014) Giải phương trình:  2 sin 2cos 2 sin 2  x x x Bài 115. (THPT Quốc Gia -2015) Tính giá trị của biểu thức   1 3cos2 2 3cos2  P x x ,biết 2 sin 3 x Hướng dẫn các đề thi đại học Bài 34. (ĐH Khối A – 2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng  0;2 của phương trình: cos3 sin3 5 sin 2cos2 3 1 sin 2         x x x x x Hd: Điều kiện: sin2 1 0 x               3 3 3 3 sin3 cos3 3sin 4sin 4cos 3cos 3 sin cos 4 sin cos sin cos 3 4 1 sin cos sin cos 1 2sin 2 cos sin 1 2sin 2                        x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 5 5cos 2cos2 3 3 3       pt x x x x   . Bài 35. (ĐH Khối B – 2002) Giải phương trình: 2 2 2 2 sin 3 cos 4 sin 5 cos 6  x x x x Hd :     1 cos6 1 cos8 1 cos10 1 cos12 2 2 2 2 cos12 cos10 cos8 cos6 0 sin9 sin 2 0 , . 9 2                     x x x x pt x x x x k k x x x x k Z   Bài 36. (ĐH Khối D – 2002) Giải phương trình: cos3 4cos2 3cos 4 0   x x x Hd :  3 2 3 2 4cos 3cos 4 2cos 1 3cos 4 0 4cos 8cos 0 k , . 2               pt x x x x x x x k Z   Bài 37. (Dự bị 1 -Khối A – 2002) Cho phương trình: 2sin cos 1 sin 2cos 3      x x a x x (a là tham số) a)Giải phương trình khi 1 3 a . b) Tìm a để phương trình có nghiệm. Hd : a) Với a=1/3, sin 2cos 3 0, .    x x x R 2sin cos 1 1 sin cos 0 k , . sin 2cos 3 3 4               x x pt x x x k Z x x   b)       2sin cos 1 2 sin 1 2 cos 3 1 sin 2cos 3              x x pt a a x a x a x x

31. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 31 pt   có nghiệm       2 2 2 1 2 1 2 3 1 2 2         a a a a Bài 38. (Db 2 -Khối A – 2002) Giải phương trình: 2 tan cos cos sin 1 tan tan 2          x x x x x x Hd : Điều kiện: cos 0 cos 0 2    x x . Chú ý: cos cos sin sin 12 2sin 1 tan tan sin sin tan 2 coscos cos 2           x x x x x x x x x x x xx Đs: k2 , . x k Z Bài 39. (Db 1 -Khối B- 2002) Giải phương trình:  2 4 4 2 sin 2 sin3 tan 1 cos    x x x x Hd : Điều kiện: cos 0x .        4 4 2 2 2 2 1 pt sin cos 2 sin 2 sin3 1 sin 2 2 sin 2 sin3 2 2 5 2 2 sin 2 1 2sin3 0 18 3 18 3                   x x x x x x x x x x k x k     Bài 40. (Db 2 -Khối B – 2002) Giải phương trình: 4 4 sin cos 1 1 cot 2 5sin 2 2 8sin 2    x x x x x Hd : Điều kiện: sin2 0x . 2 9 pt cos 2 5cos2 0 4 6        x x x k   Bài 41: (Db 1 -Khối D – 2002) Giải phương trình: 2 1 sin 8cos  x x Hd : Điều kiện: sin 0 cos 0  x x . 2 2 2 3 5 pt 8sin cos 1 2sin 2 1 0 cos4 0 2 ; 2 ; 2 8 8 8              x x x x x k x k x k       Bài 42. (Db 2 -Khối D – 2002) Tìm m để phương trình:    4 4 2 sin cos cos4 2sin2 0     x x x x m Có ít nhất một nghiệm thuộc 0;2 . Hd : Đặt  sin 2 , 0; 0;1 2          t x x t  .  có nghiệm 2 0; 3 2 3 2           x t t m  có nghiệm  0;1t . Đs: 10 2 3    m . Bài 43. (ĐH Khối A – 2003) Giải phương trình: 2cos2 1 cot 1 sin sin 2 1 tan 2      x x x x x Hd : Điều kiện: sin 0 cos 0 tan 1     x x x .        2 cos cos sin cos sincos sin pt sin sin cos sin cos sin cos sin 1 cos sin sin 0 4                x x x x xx x x x x x x x x x x x x x k  

32. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 32 Bài 44. (ĐH Khối B – 2003) Giải phương trình: 2 cot tan 4sin 2 sin 2   x x x x Hd : Điều kiện: sin2 0x . 2 pt 2cos 2 cos2 1 0 3        x x x k   . Bài 45. (ĐH Khối D – 2003) Giải phương trình: 2 2 2 sin tan cos 0 2 4 2         x x x  Hd : Điều kiện: cos 0x .    pt 1 sin 1 cos sin cos 0 2 4            x x x x x k x k     . Bài 46. (Db 1-Khối A – 2003) Giải phương trình:  2 cos2 cos 2tan 1 2  x x x Hd : Điều kiện: cos 0x .      2 2 2 1 pt 2cos cos 2 1 1 2 1 cos 2cos 5cos 2 0 cos 2 1 2 3                          x x x x x x x k x k    . Bài 47. (Db 2-Khối A – 2003) Giải phương trình:  3 tan tan 2sin 6cos 0   x x x x Hd : Điều kiện: cos 0x . 3 2 pt 8cos 4cos 2 1 0 3         x x x k   . Bài 48. (Db 1-Khối B – 2003) Giải phương trình: 6 2 3cos4 8cos 2cos 3 0   x x x Hd :    2 4 pt 3 1 cos4 2cos 4cos 1 0    x x x  4 2 cos2 2cos 5cos 3 0 ; 4 2          k x x x x x k    . Bài 49. (Db 2-Khối B – 2003) Giải phương trình:   2 1 3 cos 2sin 2 4 1 2cos 1           x x x  Hd : Điều kiện: 2cos 1 0 x .  pt sin 3cos 0 2 1 3       x x x k   . Bài 50. (Db 1-Khối D – 2003) Giải phương trình:     2 cos cos 1 2 1 sin sin cos     x x x x x Hd : Điều kiện: sin cos 0 x x .     2 pt 1 sin 1 cos 0 ; 2 2          x x x k x k     . Bài 51. (Db 2-Khối D – 2003) Giải phương trình: 2cos4 cot tan sin 2   x x x x Hd : Điều kiện: sin2 0x . 2 pt 2cos 2 cos2 1 0 3        x x x k   . Bài 52. (ĐH Khối B – 2004) Giải phương trình:   2 5sin 2 3 1 sin tan  x x x Hd : Điều kiện: cos 0x .

33. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 33      2 sin pt 5sin 2 3 1 sin 1 sin 1 sin       x x x x x 2 5 2sin 3sin 2 0 2 ; 2 6 6         x x x k x k     . Bài 53. (ĐH Khối D – 2004) Giải phương trình:   2cos 1 2sin cos sin2 sin   x x x x x Hd :   pt 2cos 1 sin cos 0 2 ; 3 4           x x x x k x k     2 5 2sin 3sin 2 0 2 ; 2 6 6         x x x k x k     . Bài 54. (Db 1-Khối A – 2004) Giải phương trình:  3 3 4 sin cos cos 3sin  x x x x Hd : +cos 0x không là nghiệm của phương trình. +cos 0x , Chia hai vế của phương trình cho 3 cos x   2 pt tan 1 tan 3 0 ; 3 4          x x x k x k     Bài 55. (Db2-Khối A – 2004) Giải phương trình: 1 sin 1 cos 1   x x Hd : Bình phương hai vế đưa về phương trình đối xứng sinx và cosx. Bài 56. (Db1-Khối B – 2004) Giải phương trình: 1 1 2 2 cos 4 sin cos         x x x  Hd : Nhân tử chung sinx + cosx. Bài 57. (Db2-Khối B – 2004) Giải phương trình: sin4 sin7 cos3 cos6x x x x Hd : Sử dụng công thức chúng tôi và cosa.cosb. Bài 58. (Db1-Khối D – 2004) Giải phương trình: 2sin cos2 sin2 cos sin4 cos x x x x x x Hd: 1 1 1 1 pt 2sin cos2 sin3 sin sin5 sin3 2 2 2 2     x x x x x x   1 2sin cos2 sin5 sin 0 2sin cos2 cos2 sin3 0 2       x x x x x x x x Bài 59. (Db2-Khối D – 2004) Giải phương trình:  sin sin2 3 cos cos2  x x x x Hd : Mở rộng 2 phương trình bậc nhất theo sin và cos Bài 60. (ĐH Khối A – 2005) Giải phương trình: 2 cos 3 cos2 cos2 0 x x x Hd:     1 1 pt 1 cos6 cos2 1 cos2 0 cos6 cos2 1 0 2 2        x x x x x 2 2cos 2 cos2 3 0 2      x x x k  Bài 62. (ĐH Khối B- 2005) Giải phương trình: 1 sin cos sin2 os2 0    x x x c x Hd:    2 pt sin cos 2cos 1 0 ; k 2 4 3           x x x x k x     Bài 62. (ĐH Khối D- 2005) Giải phương trình: 4 4 3 os sin cos sin 3 0 4 4 2                  c x x x x   Hd: 2 2 1 3 pt 1 2sin cos sin 4 sin 2 0 2 2 2                x x x x  2 2sin 2 sin 2 2 0 4       x x x k  

34. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 34 Bài 63. (Db1-Khối A – 2005) Tìm nghiệm thuộc khoảng  0; của phương trình: 2 2 3 4sin 3cos2 1 2 os 2 4          x x c x  Hd:   5 17 5 pt cos 2 cos ; ; 6 18 18 6              x x x x x      Bài 64. (Db2-Khối A – 2005) Giải phương trình: 3 2 2 cos 3cos sin 0 4          x x x  Hd : +cos 0x là nghiệm của phương trình, ta có nhận nghiệm 2  x k   . +cos 0x , chia hai vế của phương trình cho 3 cos x pt tan 1 0 4      x x k   Bài 65. (Db1-KhốiB – 2005) Giải phương trình:  2 2 3 sin cos2 cos tan 1 2sin 0   x x x x x Hd : Điều kiện: cos 0x . 2 5 pt 2sin sin 1 0 2 ; 2 6 6         x x x k x k     . Bài 66. (Db2-KhốiB – 2005) Giải phương trình: 2 2 cos2 1 tan 3tan 2 cos         x x x x  Hd : Điều kiện: cos 0x . 3 pt tan 1 0 4       x x k   . Bài 67. (Db1-KhốiD – 2005) Giải phương trình: 3 sin tan 2 2 1 cos         x x x  Hd : Điều kiện: sin 0x . 5 pt 2sin 1 0 2 ; 2 6 6        x x k x k     . Bài 68. (Db2-KhốiD – 2005) Giải phương trình: sin2 cos2 3sin cos 2 0    x x x x Hd:   pt 2sin 1 sin cos 1 0    x x x Bài 69. (ĐH Khối A – 2006) Giải phương trình:  6 6 2 cos sin sin cos 0 2 2sin     x x x x x Hd : Điều kiện: 2 sin 2 x . 2 pt 3sin 2 sin2 4 0   x x . Bài 70. (ĐH Khối B – 2006) Giải phương trình: cot sin 1 tan tan 4 2 x x x x         Hd : Điều kiện: sin 0 cos 0 cos 0 2      x x x . cos sin 1 pt 4 sin 2 sin cos 2      x x x x x . Bài 71. (ĐH Khối D – 2006) Giải phương trình: os3 os2 cos 1 0c x c x x    Hd : Cơ bản

35. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 35 Bài 72. (Db1-Khối A – 2006) Giải phương trình: 3 3 2 3 2 cos3 cos sin3 sin 8   x x x x Hd : 2 pt cos4 2  x . Bài 73. (Db2-Khối A – 2006) Giải phương trình: 2sin 2 4sin 1 0 6          x x  Hd :  pt sin 3cos sin 2 0   x x x . Bài 74. (Db1-Khối B – 2006) Giải phương trình:    2 2 2 2sin 1 tan 2 3 2cos 1 0   x x x Hd : Điều kiện: cos 0x .  2 pt cos2 tan 2 3 0  x x . Bài 75. (Db2-Khối B – 2006) Giải phương trình:   cos2 1 2cos sin cos 0   x x x x Hd : Nhân tử chung cosx – sinx. Bài 76. (Db1-Khối D – 2006) Giải phương trình: 3 3 2 cos sin 2sin 1  x x x Hd : Nhân tử chung cosx – sinx. Bài 77. (Db2-Khối D – 2006) Giải phương trình: 3 2 4sin 4sin 3sin2 6cos 0   x x x x Hd : Nhân tử chung sinx+1. Bài 78. (ĐH Khối A – 2007) Giải phương trình:    2 2 1 sin cos 1 os sin 1 sin2x x c x x x     Hd : Nhân tử chung cosx + sinx. Bài 79. (ĐH Khối B – 2007) Giải phương trình: 2 2sin 2 sin7 1 sinx x x   Hd :  cos4 sin7 sin 0 cos4 2sin3 1 0       pt x x x x x Bài 80. (ĐH Khối D – 2007) Giải phương trình: 2 sin os 3cos 2 2 2 x x c x         Hd : Bậc nhất theo sin và cos. Bài 81. (Db1-Khối A – 2007) Giải phương trình: 1 1 sin 2 sin 2cot 2 2sin sin 2    x x x x x Hd : Điều kiện: sin2 0x .  2 pt cos2 2cos cos 1 0   x x x . Bài 82. (Db2-Khối A – 2007) Giải phương trình:  2 2cos 2 3sin cos 1 3 sin 3cos   x x x x x Hd : 2 2cos 3cos 0 6 6                 pt x x   Bài 83. (Db1-Khối B – 2007) Giải phương trình: 5 3 sin cos 2cos 2 4 2 4 2                x x x  Hd : 3 cos 2cos 2 0 2 4             x pt x  Bài 84. (Db2-Khối B – 2007) Giải phương trình: sin 2 cos2 tan cot cos sin    x x x x x x Hd : Điều kiện: sin2 0x . pt cos2 cos  x x . Bài 85. (Db1-Khối D – 2007) Giải phương trình: 2 2 sin cos 1 12        x x 

36. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 36 Hd : áp dung công thức chúng tôi Bài 86. (Db2-Khối D – 2007) Giải phương trình:   1 tan 1 sin2 1 tan   x x x Hd : Nhân tử chung là sinx + cosx. Bài 87. (ĐH Khối A – 2008) Giải phương trình: 1 1 7 4sin 3sin 4 sin 2 x x x                Hd : Nhân tử chung là sinx + cosx. Bài 88. (ĐH KhốiB – 2008) Giải phương trình: 3 3 2 2 sin 3cos sin os 3sin osx x xc x xc x   Hd : Cách 1: chia 3 cos x . Cách 2: Nhân tử chung là cos2x. Bài 89. (ĐH KhốiB – 2008) Giải phương trình:  2sin 1 os2 sin2 1 2cosx c x x x    Hd : Nhân tử chung là 2cosx+1. Bài 90. (Db1-Khối A – 2008) Giải phương trình: 2 2 3 4sin 3cos2 1 2cos 2 4          x x x  Hd : Mở rộng 1 bậc nhất theo sin và cos. Bài 91. (Db2-Khối A – 2008) Giải phương trình: 3 2 2 cos 3cos sin 0 4          x x x  Hd : chia 3 cos x . Bài 92. (Db1-Khối B – 2008) Giải phương trình:  2 3 sin cos2 cos tan 1 2sin 0   x x x x x Hd : Đưa về phương trình bậc cao theo sin. Bài 93. (Db2-Khối B – 2008) Giải phương trình: 2 2 cos2 1 tan 3tan 2 cos         x x x x  Hd : 3 pt tan 1  x . Bài 94. (Db1-KhốiD – 2008) Giải phương trình: 3 sin tan 2 2 cos 1         x x x  Hd : Qui đồng và đặt nhân tử chung Bài 95. (Db2-KhốiD – 2008) Giải phương trình: sin2 cos2 3sin cos 2 0    x x x x Hd : Nhân tử chung là 2sinx -1. Bài 96. (ĐH Khối A – 2009) Giải phương trình:    1 2sin cos 3 1 2sin 1 sin x x x x     Hd : Mở rộng 2 bậc nhất theo sin và cos. Bài 97. (ĐH Khối B – 2009) Giải phương trình:  3 sin cos sin2 3cos3 2 cos4 sinx x x x x x    Hd :  3 3 1 sin3 3sin 4sin sin 3sin sin3 4     x x x x x x . Bài 98. (ĐH Khối D – 2009) Giải phương trình: 3cos5 2sin3 cos2 sin 0x x x x   Hd : Sử dụng công thức chúng tôi Bài 99. (Db1-KhốiA – 2009) Giải phương trình: 2 2sin cos 3sin 2 cos sin 4 0 2sin 3     x x x x x x Hd : Nhân tử chung là sin2x Bài 100. (Db2-KhốiA – 2009) Giải phương trình:    2 3 2cos cos 2 3 2cos sin 0    x x x x Hd : Nhân tử chung là 3-2cosx

37. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 37 Bài 101. (ĐH Khối A – 2010) Giải phương trình: 1 sin os2 sin 14 cos 1 tan 2 x c x x x x           Hd : Vế trái rút gọn được mẫu. Bài 102. (ĐH Khối B – 2010) Giải phương trình:  sin2 cos2 cos 2cos2 sin 0x x x x x    Hd:     2 2sin cos sin cos2 cos 2cos2 0 1 cos2 2sin sin cos2 cos 2 0 2 cos2 sin cos 2 0                pt x x x x x x x x x x x x x x Vế trái rút gọn được mẫu. Bài 103. (ĐH Khối D – 2010) Giải phương trình: sin2 os2 3sin cos 1 0x c x x x     Hd : Nhân tử chung là 2sinx-1. Bài 104. (ĐH Khối A – 2011) Giải phương trình: 2 1 sin 2 os2 2sin .sin 2 1 cot x c x x x x     Hd : Nhân tử chung là cosx. Bài 105. (ĐH Khối B – 2011) Giải phương trình: sin2 cos sin cos os2 sin cosx x x x c x x x    Hd : Nhân tử chung là cosx. Bài 106. (ĐH Khối D – 2011) Giải phương trình: sin 2 2cos sin 1 0 tan 3 x x x x      Hd : Nhân tử chung là sinx + 1. Bài 107. (ĐH Khối A và A1- 2012) Giải phương trình: 3sin2 os2 2cos 1x c x x   Hd : Nhân tử chung là cosx. Bài 108. (ĐH Khối B – 2012) Giải phương trình:  2 cos 3sin cos cos 3sin 1x x x x x    Hd : Mở rộng 2 bậc nhất theo sin và cos. Bài 109. (ĐH Khối D – 2012) Giải phương trình: sin3 os3 sin cos 2 cos2x c x x x x    Hd : Nhân tử chung là cos2x. Bài 110. (ĐH Khối A và A1- 2013) Giải phương trình: 1 tan 2 2 sin 4         x x  Hd : Nhân tử chung là sinx+cosx. Bài 111. (ĐH KhốiB- 2013) Giải phương trình: 2 sin5 2cos 1 x x Hd : pt sin5 cos2  x x Bài 112. (ĐH KhốiD- 2013) Giải phương trình: sin3 cos2 sin 0  x x x Hd : Nhân tử chung là cos2x. Bài 113. (ĐH Khối A và A1- 2014) Giải phương trình: sin 4cos 2 sin2  x x x Hd : Nhân tử chung là 2cosx -1. Bài 114. (ĐH KhốiB- 2014) Giải phương trình:  2 sin 2cos 2 sin 2  x x x Hd : Nhân tử chung là sin 2x sinx+cosx. Bài 115. (THPT Quốc Gia -2015) Tính giá trị của biểu thức   1 3cos2 2 3cos2  P x x ,biết 2 sin 3 x

38. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 38 ……………………………………………………………………………………………………… Phần 4.Đề Thi Trung Học Phổ Thông Quốc Gia Bài 116. (Quảng Nam) Cho góc  thỏa mản 5sin2 6cos 0   và 0 2     . Tính giá trị của biểu thức:    cos sin 2015 cot 2016 2                 A . Bài 117. (THPT Khoái Châu) Giải phương trình: 2 2 sin sin cos 2cos 0  x x x x . Bài 118. (THPT Trần Hưng Đạo) Giải phương trình: 2cos5 cos3 sin cos8 x x x x . Bài 119. (Chuyên Vinh) Giải phương trình: cos sin2 sin sin2 cot  x x x x x . Bài 120. (Chuyên Lê Hồng Phong lần 1) Giải phương trình: 2 2 3 4sin 3cos2 1 cos 2 4          x x x . Bài 121. (Chuyên Lê Hồng Phong lần 2) Giải phương trình: 2 sin sin 2 2 sin 0 4           x x x . Bài 122. (Chuyên Lê Hồng Phong lần 3) Giải phương trình: cos2 7cos 4 0  x x . Bài 123. (Lê Quý Đôn – Tây Ninh) Cho góc x thỏa mản tan 2x . Tính giá trị của biểu thức: 3 3 3 8cos 2sin cos 2cos sin     x x x P x x . Bài 124. (THPT Mạc Đỉnh Chi) Giải phương trình: sin2 cos sin 1  x x x . Bài 125. (THPT Nguyễn Huệ lần1) Giải phương trình: 2 sin2 2cos 3sin cos  x x x x. Bài 126. (THPT Nguyễn Huệ lần2) Giải phương trình: 4sin5 sin 2cos4 3 x x x . Bài 127. (THPT Nguyễn Hữu Huân) Giải phương trình: 2 2 cos 3cos 3sin 3sin 0   x x x x . Bài 128. (THPT Nguyễn Thị Minh Khai) Giải phương trình:   sin2 sin cos 1 2sin cos 3 0     x x x x x . Bài 129.(THPT Nguyễn Thị Minh Khai) Giải phương trình: sin2 2sin 2cos 2 0   x x x . Bài 130. (THPT Nguyễn Trãi) Giải phương trình: cos2 sin3 2cos2 sin 0  x x x x . Bài 131. (THPT Phan Bội Châu) Giải phương trình:  2cos 1 sin 3cos 0  x x x . Bài 132. (THPT Phan Bội Châu) Giải phương trình: 3 4 sin cos 1 x x . Bài 133. (TTLT Diệu Hiền lần1) Giải phương trình: sin2 3sin cos2 cos 1   x x x x . Bài 134. (TTLT Diệu Hiền lần2) Giải phương trình:  cos2 4sin 1 3sin2 1  x x x . Bài 135. (TTLT Diệu Hiền lần3) Giải phương trình: 2 sin2 2 3cos 2cos 0  x x x . Bài 136. (TTLT Diệu Hiền lần4) Giải phương trình: sin2 2sin 1 cos2  x x x. Bài 137. (TTLT Diệu Hiền lần5) Giải phương trình: 3sin2 cos2 2cos 1  x x x . Bài 138. (TTLT Diệu Hiền lần6) Giải phương trình:  2sin 2 3 2 3cos sin  x x x . Bài 139. (TTLT Diệu Hiền lần7) Giải phương trình: sin2 sin 2 4cos  x x x . Bài 140. (TTLT Diệu Hiền lần8) Cho 1 cos , ; 3 2          x x . Tính 1 2tan 1 tan    x P x . Bài 141. (TTLT Diệu Hiền lần9) Giải phương trình:   2 cos 2sin 1 cos 2 2sin   x x x x . Bài 143. (Chuyên -Sư Phạm Hà Nội lần 1) Cho 3 2     x .Chứng minh đẳng thức:

39. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 39 1 cos 1 cos cot 2 41 cos 1 cos              x x x x x . Bài 144. (Chuyên Vĩnh Phúc lần 2) Giải phương trình:   3 tan 2 cot 1 sin 4 sin 2cos sin 3 2 2           x x x x x x . Bài 145. (Chuyên Vĩnh Phúc lần 3) Giải phương trình: 2cos6 2cos4 3cos2 sin2 3   x x x x . Bài 146. (THPT-Đặng Thúc Hứa- Nghệ An) Giải phương trình: cos2 sin 1 3sin2  x x x . Bài 147. (Toán học và Tuổi Trẻ) Giải phương trình:   2 tan cot 2 1 sin 4cos 4sin 5   x x x x x . Bài 148. (Chuyên -Sư Phạm Hà Nội lần 2) Giải phương trình: 2 2 2 cos sin 2 sin sin cos 6 6                 x x x x x . Bài 149. (THPT Đông Sơn) Giải phương trình:   cos2 1 2cos sin cos 0   x x x x . Bài 150. (THPT Gang Thép) Giải phương trình: cos sin sin2 cos2 1   x x x x . Bài 151. (THPT Gia Viễn) Giải phương trình:    cos 1 cos sin sin 1  x x x x . Bài 152. (THPT Hàn Thuyên lần1) Giải phương trình: 4sin 2sin 2 3cos cos2 2sin 2 3 3                     x x x x x . Bài 153. (THPT Hàn Thuyên lần2) Giải phương trình: 2 sin2 2 3cos 2cos 0  x x x . Bài 154. (THPT Hàn Thuyên lần3) Giải phương trình: 2 cos2 sin cos 0  x x x . Bài 155. (THPT Hùng Vương) Giải phương trình:   2 cos sin 3cos 1 2cos   x x x x . Bài 156. (THPT Chu Văn An) Giải phương trình: 21 sin sin 2 1 cos cos 2    x x x x. Bài 157. (THPT Cẩm Bình) Giải phương trình: 2 1 cos2 cot 2 1 sin    x x x . Bài 158. (THPT Thanh Chương-Nghệ An) Giải phương trình:  sin2 cos2 1 3 sin cos   x x x x . Bài 159. (Bình Dương) Giải phương trình: 2 sin 3cos 2 4cos  x x x . Bài 160. (Lâm Đồng) Giải phương trình: 2 sin cos 1 sin 2 2 2         x x x . Không có việc gì khó Chỉ sợ lòng không bền Đào núi và lấp biển Quyết chí ắt làm nên! Chủ Tịch Hồ Chí Minh

Bạn đang đọc nội dung bài viết Chuyên Đề: Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên trên website Asianhubjobs.com. Hy vọng một phần nào đó những thông tin mà chúng tôi đã cung cấp là rất hữu ích với bạn. Nếu nội dung bài viết hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!