Cập nhật nội dung chi tiết về Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đối Xứng mới nhất trên website Asianhubjobs.com. Hy vọng thông tin trong bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu ngoài mong đợi của bạn, chúng tôi sẽ làm việc thường xuyên để cập nhật nội dung mới nhằm giúp bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.
Hệ phương trình đối xứng là dạng toán hay trong chương trình Toán của bậc học Phổ thông. Để giải quyết tốt được bài toán dạng này, học sinh cần vận dụng nhiều kiến thức Toán. Điều đó giúp cho học sinh biết huy động các kĩ năng Toán vào việc giải một bài toán cụ thể và còn rèn luyện cho học sinh kỹ năng về tư duy. Tính cần cù trong học tập, biết vận dụng các kiến thức đã học vào việc giải quyết một bài toán cụ thể. Chính vì lí do đó, nên tôi đã sưu tầm và dạy cho học sinh chuyên đề: “Hệ phương trình đối xứng” Phần b: những nội dung cụ thể I. Hệ phương trình đối xứng loại I: Phần 1- Định nghĩa: Dựa vào lý thuyết đa thức đối xứng – Phương trình n ẩn x1, x2, …, xn gọi là đối xứng với n ẩn nếu thay xi bởi xj; xj bởi xi thì phương trình không thay đổi. – Khi đó phương trình luôn biểu diễn được dưới dạng: x1 + x2 + … + xn x1x2 + x1x3 + … + x1xn + x2x1 + x2x3 + … + xn-1xn …………………………. x1x2 … xn – Hệ phương trình đối xứng loại I là hệ mà trong đó gồm các phương trình đối xứng. – Với học sinh phổ thông ta đưa vào hệ đối xứng loại I với 2 ẩn số, với học sinh chuyên ta nên đưa vào hệ đối xứng loại I với 3 ẩn số. – Để giải được hệ phương trình đối xứng loại I ta phải có định lý Viet. *) Nếu đa thức F(x) = a0xn + a1xn-1 +… an, a0 ≠ 0, ai ẻ P có nghiệm trên P là c1, …, cn thì phần 2 – Hệ phương trình đối xứng loại I, 2 ẩn: A. Lý thuyết: 1.Định lý Vi-et cho phương trình bậc 2 (lớp 10). Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm x1, x2 thì Ngược lại nếu 2 số x1, x2 có thì x1, x2 là nghiệm của phương trình X2 – SX + P = 0. 2.Định nghĩa: Hệ gồm 2 phương trình đối xứng gọi là hệ đối xứng loại I, 2 ẩn. Một phương trình 2 ẩn gọi là đối xứng nếu đổi vị trí hai ẩn thì phương trình không đổi VD: 3.Cách giải: + Biểu diễn từng phương trình của hệ qua x+y và xy + Đặt S = x+y, P = xy, ta có hệ mới chứa ẩn S, P. Giải nó tìm S, P. + Với mỗi cặp S, P ta có x, y là nghiệm của phương trình X2 – SX + P = 0. + Tuỳ theo yêu cầu của bài toán ta giải hoặc biện luận hệ ẩn S, P và phương trình X2 – SX + P = 0. để có kết luận cho bài toán. 4.Bài tập: Loại 1: Giải hệ đơn thuần VD1: Giải hệ (I) Giải: (I) Û Đặt S = x+y, P = xy ta có Û Û Û Với S = 2, P = 0 có x, y là nghiệm của phương trình X2 – 2X = 0 Û ị {(x;y)} = {(0;2); (2;0)} Với S = -3, P = 5 có x, y là nghiệm của phương trình X2 + 3X +5 = 0 vô nghiệm Vậy hệ có tập nghiệm {(x;y)} = {(0;2); (2;0)}. Loại 2: Đối xứng giữa các biểu thức của ẩn VD2: Giải hệ (II) Giải: (II) Û Û Giải ra được nghiệm của hệ {(x;y)} = {(1;1); (-3;9)}. VD3: Giải hệ Giải: Vậy x5, y5 là nghiệm của phương trình X2 – 4X -32 = 0 Û Vậy Û Chú ý: Với hệ có dạng + Nâng hai vế của (2) lên luỹ thừa n và coi xn, yn như nghiệm của phương trình X2 – aX + bn = 0. + Giải và biện luận phương trình bậc hai, sau đó lấy căn bậc n của nghiệm thu được. VD4: Giải hệ (1) Giải : Đặt -y= t ta được hệ (2) Đăt S= x+t ,P= xt ta có (3) Giải (3) ta được S = 0, P = 0 và S = 1 và P = -6 Từ đó suy ra nghiệm của (2) . có nghiệm (x; y) là (0; 0), (3; 2) ,(-2; -3). VD 5: Giải hệ: (1) Giải: Đặt ta có hệ (2) Hệ (2) là hệ đối xứng đối với u,v. Giải (2) tìm u, v từ đó suy ra nghiệm của (1). Loại 3: Giải và biện luận hệ theo tham số . VD6: Giải và biện luận hệ: Giải: ĐK: x, y ≠ 0. Khi đó hệ trên tương đương với: Û Û Với m = -2: Hệ vô nghiệm Với m -2: Hệ tương đương với (*) Ta có (*) có nghiệm khác 0 khi 64 – 4. Vậy với m =2 thì hệ là với -2 < m < 2 thì hệ vô nghiệm. VD7: Tìm m để hệ có đúng hai nghiệm Giải: Đặt xy= P ,x+y = S hệ trở thành Vậy (x;y) là nghiệm của: Để hệ có đúng hai nghiệm thì m=0 khi đó 2 nghiệm là {(x;y)} = {(1;1); (-1;-1)}. Loại 4: Một số bài toán giải bằng cách đưa về hệ. VD1: Giải hệ phương trình: (ĐHSP-91) Giải: Đặt . Vậy ta có hệ : Û Û u, v là nghiệm của phương trình ị ị Vậy phương trình có 2 nghiệm {x} = {}. VD2: Cho x, y, z thoả mãn: (I) CMR: . Giải: (I) Û Đặt y + z = S; yz = P ị y, z là ngiệm của phương trình X2 – SX + P = 0 ị S2 – 4P ³ 0 Từ hệ có Vậy (5-x)2 -4(x2-5x+8) Do vai trò của x,y,z là như nhau nên ta có . B. Bài tập: I) Giải hệ phương trình: 1) (ĐHAN -97) 2) (ĐHNT-98) 3) 4) 5) 6) (ĐHNT_99) 7) (ĐHAN-99) 8) (ĐH HH-99) 9) 10) 11) II. giải Hệ phương trình có tham số: 1. Giải và biện luận: a) (QHQT-99) b) (129-III) c) (ĐHT-96) 2. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình a) có nghiệm (ĐHQG-99) b) có nghiệm duy nhất (HVQS-00) c) có đúng hai nghiệm (19-I) d) có nghiệm (x; y) và x.y đạt nhỏ nhất (4I) 3. (1II) a. Giải hệ khi m = 5 b. Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm 4. (7I) a. Giải hệ khi m = 7/2 b. Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm 5. (40II) a. Giải hệ khi m=2 6. Cho x,y,z thoả mãn; CMR: III. PHƯƠNG TRìNH GIảI BằNG CáCH ĐƯA Về Hệ 1. Giải phương trình: (ĐHKT-95) 2. Tìm m để mỗi ptrình sau có nghiệm a. (ĐHQG-98) b. (ĐHNT-95) c. (ĐHNT-98) phần 3 – Hệ phương trình đối xứng loại I, 3 ẩn: a. Định nghĩa: Là hệ ba ẩn với các phương trình trong hệ là đối xứng. b. Định lý Vi-et cho phương trình bậc 3: Cho 3 số x, y, z có: Thì x, y, z ;à nghiệm của phương trình X3 – αX2 + βX – γ = 0. (*) Thậy vậy: (X – x)(X – y)(X – z) = 0 [ X2 – (x + y)X + xy ](X – z) = 0 X3 – X2z – X2(x + y) + (x + y)zX + xyX – xyz = 0 X3 – αX2 + βX – γ = 0. (*) có nghiệm là x, y, z ị phương trình X3 – αX2 + βX – γ = 0 có 3 nghiệm là x, y, z. c.Cách giải: + Do các phương trình trong hệ là đối xứng nên ta luôn viết được dưới dạng α, β, γ Khi đó ta đặt Ta được hệ của α, β, γ. + Giải phương trình X3 – αX2 + βX – γ = 0 (1) tìm được nghiệm (x, y, z) của hệ. Chú ý: (1) có nghiệm duy nhất ị hệ vô nghiệm. có 1 nghiệm kép duy nhất ị hệ có nghiệm. có 2 nghiệm : 1 nghiệm kép, 1 nghiệm đơn ị hệ có 3 nghiệm. (1) có 3 ngiệm ị hệ có 6 nghiệm. d. Bài tập: VD1: Giải hệ: Giải: áp dụng hằng đẳng thức ta có: x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 – 2(xy + yz + zx). x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 – 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz. Vậy 6 = 22 – 2(xy + yz + zx) ị xy + yz + zx = -1. 8 = 23 – 3.2.(-1) + 3xyz ị xyz = -2. ị x, y, z là nghiệm của phương trình:t3 – 2t2 – t + 2 = 0 Û Vậy hệ có 6 cặp nghiệm (1;-1;2); (-1;1;2); (1;2;-1); (-1;2;1); (2;1;-1); (2;-1;1). VD2: Giải hệ Giải: ĐK: x, y, z ≠ 0. Từ (3) Û Do (2) ị xyz = 27 Vậy hệ Û Do đó (x; y; z) là nghiệm của phương trình: X3 – 9X2 + 27X – 27 = 0 Û (X – 3)3 = 0 Û X = 3. Vậy hệ có nghiệm là (3; 3; 3). VD3: Giải hệ Giải: x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 – 2(xy + yz + zx) ị xy + yz + zx = 0. x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 – 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz ị xyz = 0. Vậy có: ị (x; y; z) là nghiệm của phương trình: X3 – aX2 = 0 ị Vậy hệ có nghiệm là {(a; 0; 0); (0; a; 0); (0; 0; a)} e.Chú ý: Có nhiều vấn đề cần lưu ý khi giải hệ loại này + Với cách giải theo định lý Vi-et từ hệ ta phải đưa ra được x + y + z; xy + yz + zx; xyz có thể nó là hệ quả của hệ nên khi tìm được nghiệm nên thử lại. + Vì là hệ đối xứng giữa các ẩn nên trong nghiệm có ít nhất 2 cặp nghiệm có cùng x, cùng y hoặc cùng z nên có thể giải hệ theo phương trình cộng, thế. VD: Giải: Rõ ràng x = 0, y = 0, z = 0 không là nghiệm của hệ Với x ≠ 0, y ≠ 0, z ≠ 0, nhân hai vế của (3) với xyz ta có xy + yz + zx = xyz (4). Từ (2) và (4) ị xyz = 27 (5) Từ (2) ị x2(y + z) + xyz = 27x (6) Từ (1), (5), (6) ta có: x2(9 – x) + 27 – 27x = 0 x3 – 9×2 + 27x – 27 = 0 (x – 3)3 = 0 Û x = 3 Thay x = 3 vào (1), (5) ta có: ị y = z = 3. Vậy hệ có nghiệm là x = y = z = 3. Ii. Hệ phương trình đối xứng loại iI: 1.Hệ đối xứng loại 2, 2 ẩn: A. Định nghĩa: – Hệ phương trình 2 ẩn mà khi đổi vị trí hai ẩn trong hệ ta có phương trình này trở thành phương trình kia gọi là hệ đối xứng loại 2, 2ẩn. B. Bài tập ví dụ: VD1: Giải hệ Giải: (I) Vậy hệ có tập nghiệm: VD2: Giải hệ: Giải: Đặt Hệ trở thành (Do u, v ≥ 0) Vậy hệ có nghiệm (1,1) VD3: Cho hệ (I) a.Tìm m để hệ có nghiệm b. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất Giải:(I) a)Hệ có nghiệm Û b) C1: Hệ có nghiệm duy nhất Û Û Û m = 1. Vậy m = 1. C2: Giả sử hệ có nghiệm (x0, y0) thì hệ cũng có nghiệm (y0, x0). Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là x0 = y0. Thay x = y = x0 vào ta có x0 = x02 – x0 + m. Û x02 – 2×0 + m = 0. Do x0 cũng là duy nhất ị ∆’xo = 0 Û 1 – m = 0 Û m = 1 Điều kiện đủ: Thay m = 1 vào hệ ta có: Û Û Vậy với m = 1 thì hệ có nghiệm duy nhất (1;1). VD1: Giải phương trình: (73II) Giải: Đặt ị 2x – 1 = t3. Ta có hệ Û Û Û ị Vậy phương trình có 3 nghiệm 1; . C. Bài tập: 1.Giải hệ phương trình: a. (ĐHQG – 99) b. (ĐHTL- 01) c. (ĐHTN – 01) d. (TH – 94) e. (TH – 96) g. (ĐHNG – 00) h. 2. (ĐHCĐ – 99) a. Giải hệ với m = 0. b. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất. 3. Tìm m để hệ: có nghiệm duy nhất. 4. Giải phương trình: a. (112III) b. (TH – 94). 2. Hệ phương trình đối xứng loại 2, 3 ẩn: A. Dùng chủ yếu là phương pháp biến đổi tương đương bằng phép cộng và thế. Ngoài ra sử dụng sự đặc biệt trong hệ bằng cách đánh giá nghiệm, hàm số để giải. B. Ví dụ: Giải hệ (ĐHSP-91) Giả bằng cách cộng (1), (2), (3) và lấy (1) trừ đi (2) ta có hệ đã cho tương đương với hệ Hệ này đương tương với 4 hệ sau: Giải (I): (I) Û Û Û Û Vậy (I) có 2 nghiệm (0;0;0); () Làm tương tự (II) có nghiệm ();() Hệ (III) có nghiệm (0;0;1); () Hệ (IV) có nghiệm (0;1;0); (1;0;0). Vậy hệ đã cho có 8 nghiệm kể trên. VD2: Giải hệ phương trình: Giải: Hệ Û Û Giải các hệ bằng phương pháp thế được 5 nghiệm (-1;-1;-1); (0;0;1); (0;1;0); (0;0;1); (). VD4: Giải hệ: Giải: Xét hai trường hợp sau: TH1: Trong 3 số ít nhất có 2 nghiệm số bằng nhau: Giả sử x=y có hệ Từ đó có nghiệm của hệ (x;y;z) là : Tương tự y=z, z=x ta cũng được nghiệm như trên. TH2 : 3 số x, y, z đôi một khác nhau . z<y<xịf(x)<f(y)<f(z)ịy+1<z+1<x+1ịy<z<x(vô lý). Vậy điều giả sử là sai. TH2 vô nghiệm. VD5: (Vô địch Đức) Giải: TH1: Trong x, y, z ít nhất có 2 nghiệm số bằng nhau Giả sử x = y ta có hệ Từ (1) ị x = 0, x = -1. x = 0. Thay vào (2), (3) ị z=0. x = -1. Thay vào (2), (3) ị vô lý Vậy hệ có nghiệm (0,0,0) Nếu y = z hay x = z cũng chỉ có nghiệm (0,0,0). TH2: 3 số đôi 1 khác nhau. Từ 2x + x2y = y thấy nếu x2 = 1 ị ± 2 = 0 (vô lý) Vậy x2 ≠ 1 ị 2x + x2y = y Û Hai phương trình còn lại tương tự ta có hệ phương trình tương đương với: f(t) = xác định trên D = R {±1} f’(t) = với mọi tẻD ị hàm số đồng biến trên D Vậy điều giả sử sai. Do vai trò x, y, z như nhau. Vậy TH2 – hệ vô nghiệm Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là (0; 0; 0) C. Bài tập 1. 2. Hướng dẫn: Đặt . Đưa về giải hệ 3. 4. 5. Phần C: kết luận Trong thực tế giảng dạy, tôi đã làm rõ cho học sinh các dạng bài về “Hệ phương trình đối xứng”. Tuy nhiên, chuyên đề của tôi còn hạn chế về số lượng các bài tập cũng như về phương pháp giảng dạy. Tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô trong tổ bộ môn Toán và của các đồng nghiệp. Xin trân trọng cám ơn ! Yên Lạc, tháng 01 năm 2006 Người viết Doãn Hoài Nam
Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 2
Hệ phương trình đối xứng loại 2 là một dạng hệ phương trình các bạn được học trong chương trình Toán lớp 11. Để giải được bài tập của dạng toán này. C ác bạn cần hiểu được định nghĩa và các dạng của hệ PT đối xứng loại 2 như thế nào? Do đó, để bổ trợ cho các bạn trong quá trình học tập và ôn tập. Chúng tôi có tổng hợp đầy đủ kiến thức lý thuyết cần nhớ và bài tập vận dụng. Mời các bạn tham khảo tài liệu bên dưới.
Trọng tâm kiến thức về hệ phương trình đối xứng loại 2.
Hệ PT đối xứng loại 2 là hệ PT chứa hai ẩn x và y mà khi ta thay đổi vai trò x, y cho nhau thì PT này trở thành PT kia của hệ. Hay được tổng quát dưới dạng: f(x, y) = a và f(y, x) = a.
Hệ PT đối xứng loại 2 có 2 dạng toán. Đó là:
Dạng 1: f(x,y) = 0 và f(y, x) = 0 (đổi vị trí x và y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia)
Phương pháp giải: Lấy hai phương trình trừ vế với vế và biến đổi về dạng tích số. Sau đó, kết hợp một PT tích số với một PT của hệ để suy ra nghiệm của hệ PT
Phương pháp giải: Đưa phương trình đối xứng về dạng tích, giải y theo x rồi thế vào phương trình còn lại để tìm nghiệm.
Hệ PT đối xứng loại 2 sẽ có 2 chú ý các bạn cần nhớ. Hãy tham khảo bài học bên dưới để nắm rõ các chú ý.
Bí quyết đạt điểm cao với bài toán hệ phương trình.
Để làm tốt bài tập về hệ PT hay hệ PT đối xứng loại 2, các bạn cần làm tốt bài tập PT. Vì hệ phương trình là dạng toán kết hợp từ các phương trình với nhau.
Do đó, bằng cách rèn luyện nhiều bài tập về phương trình và hệ PT sẽ giúp học tốt hơn. Hãy tham khảo tài liệu bên dưới để có thêm nhiều bài tập ôn luyện.
Tải tài liệu miễn phí ở đây
Cách Giải Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 1 Cực Hay
Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1 cực hay
A. Phương pháp giải
Hệ phương trình đối xứng loại I theo ẩn x và y làHệ phương trình mà khi ta đổi vai trò của các ẩn x và y thìHệ phương trình vẫn không thay đổi.
Hệ phương trình đối xứng loại I có dạng
Biến đổi Hệ phương trình có hai ẩn S, P giải ra S và P (sử dụng phương pháp thế hoặc cộng đại số).
Giải phương trình bậc hai theo ẩn X.
Bước 4: Kết luận nghiệm của hệ phương trình.
Nếu (x 0;y 0) là nghiệm củaHệ phương trình thì (y 0;x 0) cũng là nghiệm của hệ phương trình.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình .
Hướng dẫn:
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình .
Hướng dẫn:
Vậy hệ phương trình có nghiệm là (1;3), (3;1).
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình .
Hướng dẫn:
Điều kiện xác định: x ≥ 0; y ≥ 0.
C. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Câu 2: Hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Câu 3: Hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Câu 4: Hệ phương trình sau: . Chọn nghiệm đúng của hệ phương trình.
A. (4;7) và (7;4)
B. (-1;-8) và (-8;-1)
C. (1;2) và (2;1)
D. A và B
Câu 5: Hệ phương trình sau: . Đâu không phải là nghiệm đúng của hệ phương trình.
A. (1;6) và (6;1)
B. (2;3) và (3;2)
C. (-3;-7)
D. (-7;-3)
Câu 6: Hệ phương trình sau: . Khẳng định nào sau đây không đúng?
A. Hệ phương trình có 2 nghiệm.
B. Hệ phương trình vô số nghiệm.
C. Một nghiệm của hệ là: (-2;3).
D. Nghiệm của hệ là: (-2;3); ((3;-2).
Câu 7: Hệ phương trình sau: . Khẳng định nào sau đây không sai?
A. Hệ phương trình có 1 nghiệm.
B. Hệ phương trình vô số nghiệm.
C. Một nghiệm của hệ là: (-2; 0).
D. Nghiệm của hệ là: (2; 0);(0; 2).
Câu 8: Hệ phương trình sau: . Khẳng định nào sau đây sai ?
A. Hệ phương trình có 4 nghiệm.
B. Hai nghiệm (1;2) và (2;1) là nghiệm của hệ phương trình.
C. Hệ phương trình có 2 nghiệm.
D. A, B đúng.
Câu 9: Hệ phương trình sau: . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hệ phương trình có 2 nghiệm.
B. Hệ phương trình 4 nghiệm.
C. Một nghiệm của hệ là: (2; 4).
D. Hai nghiệm của hệ là (2;4); (4;2)
Câu 10: Cho hệ phương trình: . Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm thực?
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: chúng tôi
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:
Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết – Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.
Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 1, Loại 2 Có Hai Ẩn
Cách nhận biết, phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 1, loại 2 có hai ẩn x, y qua các ví dụ và bài tập có lời giải.
Dựa vào lý thuyết đa thức đối xứng ta định nghĩa về PT đối xứng như sau:
Phương trình ẩn gọi là đối xứng với ẩn nếu thay bởi bởi thì phương trình không thay đổi.
– Khi đó phương trình luôn được biểu diễn dưới dạng:
………………………….
I. Hệ phương trình đối xứng loại 1
– Hệ phương trình đối xứng loại một là hệ mà trong đó gồm các phương trình đối xứng.
– Để giải được hệ phương trình đối xứng loại 1 ta phải dùng định lý Viét.
* Nếu đa thức có nghiệm trên là thì:
(Định lý Viét tổng quát)
1. Định lý Viét cho phương trình bậc 2
Ngược lại, nếu 2 số x1, x2 có thì là nghiệm của phương trình
2. Định nghĩa
Hệ phương trình đối xứng loại 1 hai ẩn có dạng:
, trong đó .
3. Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1 có 2 ẩn
Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và .
Bước 3: Thay bởi vào hệ phương trình. Giải hệ tìm rồi dùng Viét đảo tìm .
Chú ý:
+ Cần nhớ:
+ Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ và
+ Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại 1 sau khi đặt ẩn phụ.
4. Bài tập giải hệ PT đối xứng loại 1
– Loại 1: Giải hệ phương trình
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình .
Đặt , điều kiện . Hệ phương trình trở thành:
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình .
Đặt , điều kiện . Hệ phương trình trở thành:
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình .
Điều kiện .
Hệ phương trình tương đương với:
Đặt ta có:
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình .
Điều kiện . Đặt , ta có:
và .
Thế vào (1), ta được:
Suy ra:
– Loại 2: Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) 1 có nghiệm
Phương pháp giải chung:
+ Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
+ Bước 2: Đặt với điều kiện của và (*)
+ Bước 3: Thay bởi vào hệ phương trình.
Giải hệ tìm theo rồi từ điều kiện (*) tìm .
Chú ý:
Khi ta đặt ẩn phụ và thì nhớ tìm chính xác điều kiện của .
Ví dụ 1 (trích đề thi ĐH khối D – 2004). Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:
Điều kiện ta có:
Đặt , Hệ phương trình trở thành:
.
Từ điều kiện ta có .
Ví dụ 2. Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm thực.
.
Đặt Hệ phương trình trở thành: .
Suy ra và là nghiệm của phương trình .
Từ điều kiện ta suy ra hệ có nghiệm .
Loại 3: Một số bài toán giải bằng cách đưa về hệ phương trình.
Ví dụ. Giải phương trình: .
Đặt: . Vậy ta có hệ:
⇔
⇔
u, v là hai nghiệm của phương trình:
⇒ ⇒
Vậy phương trình có hai nghiệm: = .
II. Hệ phương trình đối xứng loại 2 có 2 ẩn
A. Định nghĩa
Hệ phương trình đối xứng loại 2 hai ẩn có dạng:
B. Cách giải hệ PT đối xứng loại 2 có 2 ẩn
Lấy (1) – (2) hoặc (2) – (1) ta được: .
Khi đó hoặc
+ Trường hợp 1: kết hợp với phương trình hoặc suy ra được nghiệm.
+ Trường hợp 2: kết hợp với phương trình suy ra nghiệm (trong trường hợp này hệ phương trình mới trở về hệ đối xứng loại 1) và thông thường vô nghiệm.
C. Ví dụ giải hệ PT đối xứng loại 2 có lời giải
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình (I)
Lấy (1) – (2) ta được:
Trường hợp 1: (I)
⇔ .
Trường hợp 2: (I) (hệ này vô nghiệm)
Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm:
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình
Đặt:
Hệ phương trình trở thành:
⇔
(Do u, v ≥ 0) .
Vậy hệ có nghiệm (1,1)
Bạn đang đọc nội dung bài viết Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đối Xứng trên website Asianhubjobs.com. Hy vọng một phần nào đó những thông tin mà chúng tôi đã cung cấp là rất hữu ích với bạn. Nếu nội dung bài viết hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!