Cập nhật nội dung chi tiết về Chuyên Đề Hoán Vị, Chỉnh Hợp Và Tổ Hợp mới nhất trên website Asianhubjobs.com. Hy vọng thông tin trong bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu ngoài mong đợi của bạn, chúng tôi sẽ làm việc thường xuyên để cập nhật nội dung mới nhằm giúp bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.
1 Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp PHẦN 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Hoán vị * Cho tập hợp A có n phần tử ( n 1 ). Mỗi cách sắp xếp n phần tử của nó theo một thứ tự được gọi là một hoán vị của n phần tử của A . * Số các hoán vị của tập hợp có n phần tử là nP n! 1.2.3. … .n . Quy ước: 0P 0! 1 . 2. Chỉnh hợp * Cho tập hợp A có n phần tử ( n 1 ) và số nguyên k với 1 k n . Mỗi cách lấy ra k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A . * Số các chỉnh hợp chập k của tập hợp có n phần là kn n!A n n 1 n 2 … n k 1 n k ! . Quy ước: 0nA 1 . 3. Tổ hợp * Cho tập hợp A có n phần tử ( n 1 ) và số nguyên k với 1 k n . Mỗi cách lấy ra k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A . * Số các tổ hợp chập k của tập hợp có n phần tử là: kk n n n n 1 n 2 … n k 1A n!C k ! k ! n k ! k ! . Quy ước: 0nC 0 . * Hai tính chất cơ bản của số tổ hợp: THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: chúng tôi 2 +) k n kn nC C . +) k k k 1n 1 n nC C C (Hằng đẳng thức Pa-xcan). THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: chúng tôi 3 PHẦN 2. CÁC LOẠI BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH Loại 1. Tính toán trên các số hoán vị, số chỉnh hợp, số tổ hợp A. Một số ví dụ Ví dụ 1. Chứng minh các đẳng thức sau 1) n k 2 k 1 11 k! n! với n , n 2 . 2) 3 n n nn n 2n 3nP C C C 3n ! với n . 3) n 2 k 2 k 1 n 1 nA với n ; n 2 . Giải 1) Ta có n k 2 k 1 k ! n k 2 1 1 k 1 ! k ! 1 1 1 1 1 1… 1! 2! 2! 3! n 1 ! n! 11 n! (ĐPCM). 2) Ta có 3 n n nn n 2n 3nP C C C 3 2n ! 3n !n!n! . . n! n n ! n! 2n n ! n! 3n n ! 3 2n ! 3n !n!n! . . n!0! n!n! n! 2n ! 3n ! (ĐPCM). 3) Với mọi k nguyên, 2 k n ta có 2k k !A k k 1 k 2 ! 2k 1 1 1 1 k k 1 k 1 kA . Do đó n 2 k 2 k 1 A n k 2 1 1 k 1 k 1 1 1 1 1 1… 1 2 2 3 n 1 n 11 n THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: chúng tôi 4 n 1 n (ĐPCM). Ví dụ 2. Giải các phương trình, bất phương trình và hệ sau 1) [TN2007] 4 5 6n n n 1C C 3C . 2) [TN2005] n 1 n 2n 2 n 2 n 5C C A 2 . 3) [TN2003] y x 1 y 1 x y 1 x y 1 x C 6 5C C 5 2C . Giải 1) Điều kiện để phương trình có nghĩa: n là số nguyên và n 5 . Áp dụng hằng đẳng thức Pa-xcan ta có 4 5 5n n n 1C C C . Phương trình đã cho tương đương với 5 6 n 1 n 1C 3C n 1 ! n 1 ! 3 5! n 4 ! 6! n 5 ! 1 1 n 4 2 n 6 (TMĐK). 2) Điều kiện để phương trình có nghĩa: n là số nguyên và n 2 . Áp dụng hằng đẳng thức Pa-xcan ta có n 1 n nn 2 n 2 n 3C C C . Bất phương trình đã cho tương đương với n 2 n 3 n 5C A 2 n 3 ! 5 n! n!3! 2 n 2 ! n 1 n 2 n 3 5 3n n 1 n 1 n 2 n 3 15n n 1 3 2n 9n 26n 6 0 . 1 Với mọi n 2 , áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương 3n và 226n , ta có 3 3 2 2 2n 26n 2 n .26n 2 26n 2.5n 10n . Do đó 2 2 2VT 1 10n 9n 6 n 6 0 1 nhận mọi n 2 là nghiệm BPT đã cho nhận mọi n 2 là nghiệm. THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: chúng tôi 5 3) y x 1 y 1 x y 1 x y 1 x C 6 1 5C C 5 2 2C . Điều kiện để hệ có nghĩa: x , y nguyên, 1 y x 1 . Ta có 1 x 1 ! y 1 ! x y 1 ! 6. y ! x y 1 ! x! 5 x 1 y 1 6 x y x y 1 5 . 3 2 y 1 ! x y 1 !x! 5. y 1 ! x y 1 ! x! 2 x y x y 1 5 y y 1 2 . 4 Nhân từng vế 3 và 4 ta có x 1 3 y x 3y 1 . 5 Thay 5 vào 4 ta được 2y 2y 1 5 y y 1 2 2y 2y 1 5 y y 1 2 23y 9y 0 y 3 (chú ý tới điều kiện y 1 ) . 6 Thay y 3 vào 5 ta được x 8 . Ta thấy cặp giá trị x 8 , y 3 thỏa mãn điều kiện để hệ có nghĩa. Vậy hệ có nghiệm duy nhất x;y 8;3 . Ví dụ 3. [ĐHD05] Tính giá trị của biểu thức 4 3 n 1 nA 3AM n 1 ! biết rằng 2 2 2 2 n 1 n 2 n 3 n 4C 2C 2C C 149 . 1 Giải ĐK: n nguyên, n 3 . Ta có VT 1 n 1 ! n 2 ! n 3 ! n 4 ! 2. 2. 2! n 1 ! 2!n! 2! n 1 ! 2! n 2 ! n n 1 n 3 n 4 n 1 n 2 n 2 n 3 2 2 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: chúng tôi 6 21 6n 24n 282 23n 12n 14 . Do đó 1 23n 12n 14 149 23n 12n 135 0 thoûa maõn loaïi x 5 x 9 . Ví dụ 4. Chứng minh các đẳng thức sau 1) k k 1 k 2 k 3 kn n n n n 3C 3C 3C C C , 1 với k , n là các số nguyên dương thỏa mãn 3 k n . 2) k k 1 k 1 k 1 k 1n n 1 n 2 k k 1C C C … C C , 1 với k , n là các số nguyên dương thỏa mãn k n . Giải 1) Áp dụng liên tiếp hằng đẳng thức Pa-xcan, ta có VP 1 k k 1n 2 n 2C C k k 1 k 1 k 2n 1 n 1 n 1 n 1C C C C k k 1 k 2 n 1 n 1 n 1C 2C C k k 1 k 1 k 2 k 2 k 3n n n n n nC C 2 C C C C k k 1 k 2 k 3 n n n nC 3C 3C C VT 1 (ĐPCM). 2) Áp dụng hằng đẳng thức Pa-xcan, ta có k k k 1 n n 1 n 1C C C k k k 1 n 1 n 2 n 2C C C k k k 1 k 1 k kC C C . Cộng từng vế các đẳng thức trên, giản ước k kn 1 k 1C … C ở hai vế, ta được knC k 1 k 1 k 1 k n 1 n 2 k kC C … C C k 1 k 1 k 1 k 1n 1 n 2 n 2 k 1C C … C C (chú ý: k k 1 k k 1C 1 C ). THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: chúng tôi 7 Ví dụ 5. Chứng minh 1 1 1 1 2 1! 2! 3! n! , 1 với *n . Giải Ta có 1 1 1 1 1 2! 3! n! . 2 Lại có 1 1 2 1 1 1 2! 1.2 1.2 1 2 , 1 1 3 2 1 1 3! 2.3 2.3 2 3 , 1 1 4 3 1 1 4! 3.4 3.4 3 4 , n n 11 1 1 1 n! n 1 n n 1 n n 1 n . Cộng từng vế n 1 đẳng thức, bất đẳng thức nói trên, ta thu được VT 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 n 1 n 11 1 n (ĐPCM). Ví dụ 6. Cho *n . Tìm k2n k 0;2n max C . Giải 1) Với k 0;2n 1 , xét tỷ số k 1 2n k 2n 2n ! k ! 2n k !C 2n kT . k 1 ! 2n k 1 ! 2n ! k 1C . Ta có T 1 2n k 1 k 1 12k n k 0;n 1 , chú ý rằng dấu “ ” không xảy ra. Thay từng giá trị của k vào T ta được THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: chúng tôi 8 1 0 n 1 n n 1 2n 1 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2nC C C C C C C . Vậy k n2n 2n k 0;2n max C C . Ví dụ 7. [ĐHB06] Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n 4 ). Biết rằng số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A . Tìm k 1;2;…;n sao cho số tập con gồm k phần tử của A lớn nhất. Giải Mỗi một cách chọn k phần tử từ tập A cho ta một tập con gồm gồm k phần tử của A số tập con gồm k phần tử của A là knC . Số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A nghĩa là 4 2 n nC 20C n! n!20 4! n 4 ! 2! n 2 ! 1 20 12 n 3 n 2 2n 5n 234 0 thoûa maõn loaïi n 18 n 13 . Vậy số phần tử của A là 18 . Với k 1;17 , xét tỷ số k 118 k 18 k ! 18 k !C 18! 18 kT . k 1 ! 17 k ! 18! k 1C . Ta có T 1 18 k 1 k 1 17k 2 k 1;8 , chú ý rằng dấu “ ” không xảy ra. Thay từng giá trị của k vào T ta được 1 2 8 9 10 17 18 18 18 18 18 18 18 18C C … C C C … C C . Do đó k k18 18 k 1;18 C max C k 9 . Vậy số tập con gồm 9 phần tử của A là tập con có số tập con lớn nhất. THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: chúng tôi 9 B. Bài tập Bài 1. Chứng minh 1) n n 1 n 1P P n 1 P với *n . 2) k 1 k n 1 n nC C k với k , *n , k n . 3) 2n 1 1 n! n 1 ! n 2 ! với *n , n 2 . 4) [ĐHB08] k k 1 k n 1 n 1 n n 1 1 1 1 n 2 C C C với k,n , 0 k n . 5) n 2 n 1 2 nn k n k n kA A k A với n , *k , k 2 . 6) 2 2 2 5k n 1 n 3 n 5 n 5P A A A nk !A với *n . 7) n 1 2 3 n 1P 1 P 2P 3P … n 1 P với n ; n 2 . 8) 2 3 n1 n n n n 2 2 n 1 n n n n n 1C C C C 2 3 n 2C C C với *n . 9) 2 3 n 1 2n n n n n 11 2 n 1 n n n C C C C 2 3 … n C C C C với *n . 10) 1.1! 2.2! 3.3! … n.n! n 1 ! với *n . 11) n kk 1 k 1 1 P với *n . Bài 2. Chứng minh 1) k 4 k k 1 k 2 k 3 k 4n 4 n n n n nC C 4C 6C 4C C , với k , n , 0 k n 4 ; 2) n 1 n 1 n 1 n 1 nn n 1 n 2 2n 1 2nC C C C C với *n . Bài 3. Giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình sau: 1) n! n 1 ! 1 n 1 ! 6 . 2) n 1 ! 72 n 1 ! . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: chúng tôi 10 3) n 1 ! n n 1 !1 5 . 5 n 2 n 1 n 3 !4! 12 n 3 n 4 !2! . 4) 3nA 20n . 5) 5 4n n 2A 18A . 6) 5n 3 n n 5P 72A P . 7) 4 n 4A 15 n 2 ! n 1 ! . 8) y yy 1x x 1 x 1A : A : C 21: 60 :10 . 9) x x y y x x y y 2A 5C 90 5A 2C 80 . Bài 4. Cho *n . Tìm k2n 1 k 0;2n 1 max C . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: chúng tôi 11 C. Đáp số Bài 3 1) 2 , 3 . 2) 8 . 3) 5 , 6 . 4) 6 . 5) 10 . 6) 7 . 7) 3 , 4 , 5 . 8) x;y 7;3 . 9) x;y 2;5 . Bài 4 k n n 12n 1 2n 1 2n 1 k 0;2n 1 max C C C . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: chúng tôi 12 Loại 2. Ứng dụng ba khái niệm cơ bản vào bài toán … Vậy theo quy tắc nhân thì số cách phân công là 4 1 4 11 2 12 3 8 2n n C C C C 207900 . Ví dụ 7. [ĐHD06] Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp T, 4 học sinh lớp L và 3 học sinh lớp H. Cần chọn ra 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh đó thuộc không quá 2 trong 3 lớp nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy? Giải Nếu bỏ qua điều kiện 4 học sinh thuộc không quá 2 trong 3 lớp thì số cách chọn là 41 12n C . Bây giờ ta đếm số cách chọn mà 4 học sinh đó bao gồm học sinh của cả 3 lớp. Để làm như vậy ta có sau phương án sau. +) Phương án 1: Chọn 2 học sinh lớp T, 1 học sinh lớp L, 1 học sinh lớp H. Theo quy tắc nhân, số cách thực hiện phương án này là 2 1 12 5 4 4n C C C . +) Phương án 2: Chọn 1 học sinh lớp T, 2 học sinh lớp L, 1 học sinh lớp H. Theo quy tắc nhân, số cách thực hiện phương án này là 1 2 13 5 4 4n C C C . +) Phương án 3: Chọn 1 học sinh lớp T, 1 học sinh lớp L, 2 học sinh lớp H. Theo quy tắc nhân, số cách thực hiện phương án này là 1 1 23 5 4 4n C C C . Số cách chọn 4 học sinh thỏa mãn yêu cầu bài toán là 4 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 3 4 12 5 4 4 5 4 4 5 4 4n n n n C C C C C C C C C C 225 . Ví dụ 8. Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 5 cuốn sách văn học, 4 cuốn sách âm nhạc và 3 cuốn sách hội họa. Ông muốn lấy ra 6 cuốn và đem tặng cho 6 em học sinh A , B , C , D , E , F , mỗi em một cuốn. Hỏi thầy có bao nhiêu cách tặng sách sao cho sau khi tặng, mỗi loại sách : văn học, âm nhạc, hội hoạ, thầy vẫn còn ít nhất một cuốn. Giải Ta thấy tổng hai loại sách bất kỳ đều lớn hơn 6 nên không thể chọn sao cho cùng hết 2 loại sách. THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: chúng tôi 16 Số cách chọn 6 cuốn sách từ 12 cuốn sách là 612A 665280 . Số cách chọn sao cho không còn sách văn là 56A .7 5040 . Số cách chọn sao cho không còn sách nhạc là 4 26 8A .A 20160 . Số cách chọn sao cho không còn sách hoạ là 3 36 9A .A 60408 . Số cách chọn cần tìm là 665280 – 5040 20160 60480 579600 . Ví dụ 9. Hỏi từ 10 chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau, sao cho trong các chữ số đó có mặt số 0 và 1 . Giải Giả sử 1 2 3 4 5 6A a a a a a a là số cần lập. Để lập số A , ta lần lượt làm như sau *) Bước 1: Chọn vị trí cho chữ số 0 . Vì 1a 0 nên bước này có số cách thực hiện là 1n 5 cách. *) Bước 2: Chọn vị trí cho chữ số 1 . Ta có hai phương án thực hiện bước này. +) Phương án 1: 1a 1 . Số cách chọn 4 vị trí còn lại là 4 2 8n A . +) Phương án 2: 1a 1 . Vì 1a 1 và chữ số 0 đã chiếm một vị trí nên để chọn vị trí cho chữ số 1 có 3n 4 cách. Vì 1a 0;1 nên có 4n 8 cách chọn 1a . Số cách chọn 3 chữ số cho 3 vị trí còn lại là 35 7n A . Theo quy tắc nhân thì số cách thực hiện phương án 2 là 36 3 4 5 7n n n n 32A . Theo quy tắc cộng, số cách thực hiện bước 2 là 4 37 2 6 8 7n n n A 32A . Theo quy tắc nhân, số cách lập số A là 4 31 7 8 7n .n 5 A 32A 42000 . Ví dụ 10. Tính tổng các số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Giải * Giả sử 1 2 3 4 5A a a a a a là số thỏa mãn yêu cầu bài toán. Do đó để lập số A ta lần lượt làm như sau THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: chúng tôi 17 +) Bước 1: Chọn 5a . A chẵn 5a chia hết cho 2 a 2;4;6;8 . Như vậy, bước này có 1n 4 cách thực hiện. +) Bước 2: Chọn các chữ số còn lại. Mỗi một cách chọn các chữ số 1a , 2a , 3a , 4a là một chỉnh hợp chập 4 của 8 phần tử 51;2;3;4;5;6;7;8;9 a nên số cách chọn các chữ số này là 4 2 8n A . Theo quy tắc nhân thì số cách lập số A là 41 2 8n n n 4.A 6720 . * Để tính tổng các số lập được, ta tính tổng từng vị trí. +) Vì vai trò của các chữ số 2 , 4 , 6 , 8 là giống nhau nên số lần xuất hiện của mỗi chữ số này ở hàng đơn vị là n 1680 4 . Từ đây suy ra tổng các chữ số ở hàng đơn vị là 1680 2 4 6 8 33600 . +) Nếu cố định 4a 1 thì có 4 cách chọn 5a , 3 7A cách chọn các vị trí còn lại. Như vậy số lần chữ số 1 xuất hiện ở vị trí hàng chục là 374.A 840 . Vì vai trò của các chữ số 1 , 3 , 5 , 7 , 9 là như nhau nên số lần xuất hiện mỗi chữ số này ở vị trí hàng chục cũng là 840 . Tổng số lần xuất hiện các chữ cố 2 , 4 , 6 , 8 ở vị trí hàng chục là 6720 5.840 2520 . Vì vai trò của các chữ số 2 , 4 , 6 , 8 là như nhau nên số lần xuất hiện mỗi chữ số này ở vị trí hàng chục cũng là 2520 630 4 . Như vậy, tổng các chữ số hàng đơn vị là 840 1 3 5 7 9 630 2 4 6 8 33600 . Tương tự, tổng các chữ số hàng trăm, hàng nghìn và hàng vạn bằng nhau và bằng 33600 . Vậy tổng các số lập được là 33600 1 10 100 1000 10000 33600.11111 373329600 . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: chúng tôi 18 B. Bài tập Bài 1. Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số đôi một khác nhau thỏa mãn thêm điều kiện 1) là số chẵn. 2) chia hết cho 5 . Bài 2. Tính tổng các số có 5 chữ số đôi một khác nhau thõa mãn điều kiện chia hết cho 5 được lập từ các chữ số 1 , 2 , 3 , 4 , 5 . Bài 3. Tính tổng các số có 5 chữ số đôi một khác nhau thõa mãn điều kiện chia hết cho 5 được lập từ các chữ số 0, 1 , 2 , 3 , 4 , 5 . Bài 4. Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số. Biết chữ số 1 xuất hiện đúng hai lần, còn các chữ số còn lại đôi một khác nhau. Bài 5. Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số. Biết chữ số 1 có thể không xuất hiện hoặc xuất hiện một số chẵn lần, còn các chữ số còn lại đôi một khác nhau. Bài 6. Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 4 , 5 , 6 , 9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số chia hết cho 2 . Biết chữ số 2 xuất hiện hai lần, còn các chữ số còn lại đôi một khác nhau. Bài 7. Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 4 , 5 , 6 , 9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số đôi một khác nhau và trong các chữ số có chữ số 2 và chữ số 4 . Bài 8. Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số biết rằng trong hai chữ số liên tiếp bất kỳ thì chữ số đứng trước lớn hơn chữ số đứng sau nó. Bài 9. Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số thỏa mãn một trong hai điều kiện: trong hai chữ số liên tiếp bất kỳ thì chữ số đứng trước lớn hơn chữ số đứng sau nó hoặc trong hai chữ số liên tiếp bất kỳ thì chữ số đứng trước nhỏ hơn chữ số đứng sau nó. Bài 10. Một trường Phổ thông trung học có 280 nam sinh và 325 nữ sinh. 1) Có bao nhiêu cách chọn ra 11 học sinh. 2) Có bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh có cả nam và nữ. 3) Giả sử trong các học sinh nam có một bạn bạn tên là Long và trong các nữ sinh có một bạn tên là Ngọc. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh có cả nam và nữ nhưng không đồng thời có hai bạn Long và Ngọc. Bài 11. Trong một lớp học có 7 nam sinh và 4 nữ sinh ưu tú (trong số đó có nam sinh Hưng và nữ sinh Hoa). Cần lập một ban cán sự lớp gồm 6 người từ những học sinh ưu tú với yêu cầu có THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: chúng tôi 19 ít nhất hai nữ sinh, ngoài ra ban cán sự không đồng thời có cả Hưng và Hoa. Hỏi có bao nhiêu cách lập ban cán sự này. Bài 12. Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam. Hỏi có bao nhiêu cách lập một đoàn công tác 3 người từ các nhà khoa học nói trên sao cho trong đoàn có cả nam và nữ, có cả nhà toán học và nhà vật lý. Bài 13. Một trường trung học có 8 thầy dạy toán, 5 thầy dạy lý và 3 thầy dậy hóa học. Hỏi có bao nhiêu cách cử 3 thầy thuộc đủ cả 3 bộ môn đó đi đại hội. Bài 14. Hội đồng quản trị của một xí nghiệp gồm 11 người, trong đó có 7 nam và 4 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập ra một hội đồng thường trực gồm 3 người từ những thành viên nói trên sao cho trong đó có ít nhất 1 nam. Bài 15. Có bao nhiêu cách xếp 3 người bạn nam và 2 bạn nữ vào một cái ghế dài sao cho bất kỳ ai đều ngồi bên cạnh ít nhất một người cùng giới. Bài 16. Một nhóm gồm 10 học sinh, trong đó có 7 nam và 3 nữ. Có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh trên thành một hàng dọc sao cho 7 học sinh nam đừng liền nhau. Bài 17. Có 10 câu hỏi trong đó có 4 câu lý thuyết và 6 câu bài tập. Thầy giáo có bao nhiêu cách để lập ra một đề thi gồm 3 câu, trong đó có cả lý thuyết và bài tập từ 10 câu hỏi nói trên. Bài 18. Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Hỏi có bao nhiêu cách phân công 3 cảnh sát làm nhiệm vụ ở khu vực A, 4 cảnh sát làm nhiệm vụ ở khu vực B và 2 người còn lại trực tại đồn. Bài 19. Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư khác nhau. Có bao nhiêu cách chọn và dán 3 tem thư lên 3 bì thư. Bài 20. Có 7 nghệ sĩ, trong đó có 4 nam và 3 nữ, tham gia một buổi biểu diễn mà mỗi người phải biểu diễn đúng một tiết mục. 1) có bao nhiêu cách sắp xếp chương trình sao cho trong chương trình ấy xen kẽ hết nam lại đến nữ nghệ sĩ biểu diễn. 2) có bao nhiêu cách sắp xếp chương trình sao cho 2 tiết mục đầu và tiết mục sau cùng là do nam biểu diễn. Bài 21. Có bao nhiêu cách xếp 10 vật phân biệt vào 4 hộp phân biệt sao cho hộp thứ nhất chứa 3 vật, hộp thứ hai chứa 2 vật, hộp thứ ba chứa 2 vật, hộp thứ tư chứa 3 vật. Bài 22. Đội dự tuyển bóng bàn có 10 nữ, 7 nam, trong đó có danh thủ nam là Đường Ngọc Hưng và danh thủ nữ là Lý Thu Thủy. Người ta cần lập một đội tuyển bóng bàn quốc gia gồm 3 nữ và 4 nam từ đội dự tuyển nói trên sao cho trong đội phải có cả nam lẫn nữ và có mặt hai danh thủ. THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: chúng tôi 20 Bài 23. Chia nhóm 16 học sinh gồm 3 học sinh giỏi, 5 học sinh khá và 8 học sinh trung bình thành hai tổ có số học sinh bằng nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chia mà mỗi tổ đều có học sinh giỏi và có ít nhất là 2 học sinh khá. Bài 24. Tổ I gồm 10 người và tổ II gồm 9 người. Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm câu lạc bộ bóng bàn gồm 8 thành viên sao cho mỗi tổ có ít nhất hai người thuộc câu lạc bộ này. Bài 25. Trong một lớp có 33 người trong đó có 7 nữ và 26 nam. Có bao nhiêu cách chia lớp thành ba tổ sao cho: tổ 1 gồm 10 người, tổ 2 gồm 11 người, tổ 3 gồm 12 người và mỗi tổ có ít nhất hai nữ. Bài 26. Một trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu Cháu ngoan Bác Hồ, trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một nhóm 3 học sinh trong số 50 học sinh trên đi dự đại hội Cháu ngoan Bác Hồ sao cho trong nhóm không có cặp anh em sinh đôi nào. Bài 27. Một đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh khối 12 , 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10 . Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất một em được chọn đi. Bài 28. Từ một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 em trong đó số học sinh nữ phải nhỏ hơn 4 .
Các Dạng Bài Tập Toán Về Hoán Vị, Chỉnh Hợp Và Tổ Hợp
Vì vậy, ở bài viết này chúng ta cùng phân loại các dạng toán về hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp để các em hiểu rõ hơn và dễ dàng vận dụng giải các bài tập dạng này.
I. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp một số kiến thức cần nhớ
Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phương án B . Có n cách thực hiện phương án A và mcách thực hiện phương án B. Khi đó công việc có thể thực hiện bởi n+m cách.
Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể làm theo n cách. Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể làm theo m cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo n. m cách.
* Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử (n≥1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
– Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là: P n=n!=n(n-1)(n-2)…1.
– Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1≤k≤n) là:
+ Số các tổ hợp chập k của n phần tử (1≤k≤n) là:
II. Các dạng bài tập toán về hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
° Dạng 1: Bài toán đếm theo hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
1) Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng hoán vị của n phần tử, chúng ta thường dựa trên các dấu hiệu sau:
– Tất cả n phần tử đều có mặt
– Mỗi phần tử chỉ xuất hiện một lần
– Có phân biệt thứ tự giữa các phần tử
2) Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng chỉnh hợp chập k của n phần tử, chúng ta thường dựa trên các dấu hiệu sau:
– Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước
– Có phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn.
3) Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng TỔ HỢP chập k của n phần tủ, chúng ta thường dựa trên các dấu hiệu sau:
– Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước.
– Không phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn
a) Có tất cả bao nhiêu số?
b) Có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ?
c) Có bao nhiêu số bé hơn 432.000?
Θ Đặt A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. n(A) = 6.
a) Việc lập các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau là việc sắp xếp thứ tự 6 chữ số của tập A. Mỗi số là một hoán vị của 6 phần tử đó
⇒ Có P 6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 số thỏa mãn
Vậy có 720 số thỏa mãn đầu bài.
b) Việc lập các số chẵn là việc chọn các số có tận cùng bằng 2, 4 hoặc 6.
+ Chọn f : Có 3 cách chọn (2 ; 4 hoặc 6)
+ Chọn e : Có 5 cách chọn (khác f).
+ Chọn d : Có 4 cách chọn (khác e và f).
+ Chọn c : Có 3 cách chọn (khác d, e và f).
+ Chọn b : Có 2 cách chọn (khác c, d, e và f).
+ Chọn a : Có 1 cách chọn (Chữ số còn lại).
⇒ Theo quy tắc nhân: Có 3.5.4.3.2.1 = 360 (cách chọn).
Vậy có 360 số chẵn, còn lại 720 – 360 = 360 số lẻ.
c) Chọn một số nhỏ hơn 432.000 ta có hai cách chọn :
+ Chọn chữ số hàng trăm nghìn : Có 3 cách (1, 2 hoặc 3).
+ Sắp xếp 5 chữ số còn lại : Có P 5 = 120 cách.
⇒ Theo quy tắc nhân: Có 3.120 = 360 số thỏa mãn.
– Chọn chữ số hàng chục nghìn nhỏ hơn 3 :
+ Chọn chữ số hàng chục nghìn : Có 2 cách (Chọn 1 hoặc 2).
+ Sắp xếp 4 chữ số còn lại : Có P 4 = 24 cách.
⇒ Theo quy tắc nhân: Có 2.24 = 48 số thỏa mãn.
– Chọn chữ số hàng chục nghìn bằng 3, khi đó :
+ Chữ số hàng nghìn : Có 1 cách chọn (Phải bằng 1).
+ Sắp xếp 3 chữ số còn lại : Có P 3 = 6 cách chọn
⇒ Theo quy tắc nhân: Có 1.6 = 6 số thỏa mãn.
⇒ Theo quy tắc cộng: Có 48 + 6 = 54 số thỏa mãn có chữ số hàng trăm nghìn bằng 4.
⇒ Có: 360 + 54 = 414 số nhỏ hơn 432 000.
– Mỗi cách sắp xếp chỗ ngồi cho mười người vào mười ghế là một hoán vị của một tập hợp có 10 phần tử.
Vậy có P 10 = 10! = 3.628.800 cách sắp xếp.
– Việc cắm ba bông hoa vào ba lọ đã cho chính là việc chọn 3 bông hoa trong số 7 bông hoa rồi sắp xếp chúng vào các lọ.
* Ví dụ 4 (Bài 4 trang 55 SGK Đại số 11): Có bao nhiêu cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau?
– Việc chọn 4 bóng đèn mắc nối tiếp chính là việc chọn lấy 4 bóng đèn khác nhau trong tập hợp 6 bóng đèn và sắp xếp chúng theo thứ tự và chính là chỉnh hợp chập 4 của 6.
a) Các bông hoa khác nhau?
b) Các bông hoa như nhau?
a) Việc cắm 3 bông hoa vào 3 lọ chính là việc chọn 3 lọ hoa khác nhau từ tập hợp 5 lọ hoa rồi sắp xếp chúng với các bông hoa tương ứng và chính là kết quả của chỉnh hợp chập 3 của 5.
(Vì các bông hoa khác nhau nên mỗi cách sắp xếp cho ta 1 kết quả khác nhau).
b) Việc cắm 3 bông hoa giống nhau vào 3 lọ chính là việc chọn 3 lọ hoa khác nhau từ tập hợp 5 lọ hoa để cắm và chính là kết quả của tổ hợp chập 3 của 5.
(Vì các bông hoa giống nhau nên sắp xếp các lọ theo cách nào cũng đều cho cùng một kết quả).
° Dạng 2: Rút gọn và tính các giá trị biểu thức có chứa hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
– Để thực hiện việc rút gọn các biểu thức chứa hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp chúng ta biến đổi linh hoạt dựa trên các công thức để đưa về dạng đơn giản dần.
° Dạng 3: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức có chứa hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
– Sử dụng các tính chất (công thức) của tổ hợp:
– Ta thường sử dụng 1 trong các cách sau:
* Cách 1: Dùng các phép biến đổi
* Cách 2: Đánh giá vế của bất đẳng thức
* Cách 3: Chứng minh quy nạp
* Cách 4: Dùng phương pháp đếm.
Theo BĐT Cô-si (Cauchy) ta có:
Cho i = 1,2,…,n ta được BĐT (**)
Vậy BĐT (*) đúng (ĐPCM).
° Dạng 4: Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình có chứa hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
– Ta thương sử dụng 1 trong 2 cách sau:
* Cách 1: Thực hiện việc đơn giản biếu thức hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp để chuyểnphương trình về dạng đại số quen thuộc.
* Cách 2: Đánh giá thông qua giá trị cận trên hoặc cận dưới.
Giải Tích Tổ Hợp To Hop Doc
CHƯƠNG II : TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT §1 . QUI TẮC ĐẾM
TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1) Số phần tử của tập hợp hữu hạn A kí hiệu N(A) 2) Nếu A, B là các tập hợp hữu hạn thì N(A ( B) = N(A) + N(B) – N(A ( B) 3) QUI TẮC CỘNG : Nếu A, B là các tập hữu hạn không giao nhau thì N(A ( B) = N(A) + N(B) 4) Nếu X là tập hợp hữu hạn và A là tập hợp con của X thì N(X A) = N(X) – N(A) 5) Nếu A1, A2, …, An là các tập hợp hữu hạn đôi một không giao nhau thì N(A1 ( A2 (… ( An) = N(A1) + N(A2) +… + N(An) 6) QUI TẮC NHÂN : Gỉa sử ta phải thực hiện hai hành động liên tiếp. Nếu hành động thứ nhất có m kết quả và ứng với mỗi kết quả đó hành động thứ 2 có n kết quả, thì có mn kết quả của 2 hành động liên tiếp ấy QUI TẮC NHÂN MỞ RỘNG Gỉa sử phải thực hiện r hành động liên tiếp. Nếu hành động thứ nhất có n1 kết quả, ứng với mỗi kết quả của hành động thứ nhất lại có n2 kết quả của hành động thứ 2,…, ứng với mỗi kết quả của hành động thứ r – 1 lại có nr kết quả của hành động thứ r. Khi đó ta có chúng tôi kết quả của r hành động liên tiếp đó
BT1 : Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm : a) Một chữ số b) Hai chữ số c) Ba chữ số khác nhau d) Không quá 3 chữ số
HD a) Gọi A là tập hợp các số tự nhiên cần tìm Rõ ràng số các số tự nhiên cần tìm là N(A) = 5 b) Gọi B là tập hợp cacù số tự nhiên cần tìm Có 5 cách chọn a, và 5 cách chọn b. Theo qui tắc nhân, số các số tự nhiên cần tìm là N(B) = 5.5 = 25 c) Gọi C là tập hợp các số tự nhiên cần tìm Có 5 cách chọn a, sau khi chọn a thì còn lại 4 chữ số (do a, b, c khác nhau từng đôi) nên có 4 cách chọn b, và cuối cùng có 3 cách chọn c. Theo qui tắc nhân, số các số cần tìm là N(C) = 5.4.3 = 60 d) Gọi D là tập hợp các số tự nhiên có 3 chứ số được tạo từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 Mỗi chữ số có 5 cách chọn vậy theo qui tắc nhân có N(D) = 53 = 125 Gọi E là số các số tự nhiên không quá 3 chữ số cần tìm ta có: E = A ( B ( D và A, B, C đôi một không giao nhau Theo qui tắc cộâng số các số cần tìm là N(E) = N(A) + N(B) + N(D) = 5 + 25 + 125 = 155 BL : Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên a) Chẵn gồm 4 chữ số b) Lẻ gồm 4 chữ số c) Chẵn không ít hơn 4 chữ số và không vượt quá 6 chữ số HD Một số tự nhiên được gọi là số tự nhiên chẵn (tương ứng lẻ) nếu và chỉ nếu chữ số tận cùng của nó là các số 0, 2, 4, 6, 8 (tương ứng 1, 3, 5, 7, 9) a) ĐS : 3.63 b) ĐS : 3.63 c) Xét 3 trường hợp TH1 : Gồm 4 chữ số .TH2 : Gồm 5 chữ số. TH3 : Gồm 6 chữ số ĐS : 3(63 + 64 + 65)
BT2 : Sử dụng qui tắc cộng, hãy cho biết số tam giác trong hình vẽ bên
P HD Gọi A là tập hợp các tam giác trong tam giác MQR B là tập hợp các tam giác trong tam giác PQR không M có sự tham gia của đoạn MR C là tập hợp các tam giác trong tam giác PMR Q
Giai Thừa Với Bài Toán Tổ Hợp
(HNM) – Số đếm được hình thành từ xa xưa trong lịch sử. Khi toán học phát triển, một số nhà toán học khi làm toán lại quan tâm đến tích của những số đếm đầu tiên như 1 x 2, 1 x 2 x 3… Người ta gọi tích của n số đếm đầu tiên là n giai thừa, kí hiệu là n!. Chẳng hạn, 2! = 1 x 2 = 2, 3! = 1 x 2 x 3 = 6. Những nhà toán học nổi tiếng như Legendre, Gauss, James Stirling, Vandermonde… sử dụng cách viết 1 x 2 x 3 x 4… trong các định lí hay công thức toán học của mình. Người đầu tiên dùng kí hiệu n! là nhà toán học người Pháp Christian Kramp (1760-1826) vào năm 1808. Ông tốt nghiệp ngành y khoa nhưng lại quan tâm nhiều đến toán học. Ông đã viết một số sách về y khoa và đến năm 1793 thì xuất bản sách viết về tinh thể học. Năm 1794, Kramp trở thành giảng viên dạy toán, lý, hóa. Năm 1809, ông được bổ nhiệm làm giáo sư. 8 năm sau, ông được bầu vào Viện Hàn lâm khoa học Pháp. Việc đưa kí hiệu n! vào giúp cho mọi người giảm đáng kể thời gian công sức, góp phần đáng kể vào sự phát triển của toán học.
Dựa vào khái niệm giai thừa, ta thấy (n + 1)! = (n + 1) x n!. Chẳng hạn với n = 4 thì 5! = 5 x 4!. Thật vậy, 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5, còn 5 x 4! = 5 x (1 x 2 x 3 x 4). Do đó 5! = 5 x 4!. Người ta gọi (n + 1)! = (n + 1) x n! là một công thức truy hồi. Muốn tính giai thừa của một số, ta tính theo giai thừa của số bé hơn. Biết 4! = 24, muốn tính 6!, ta có thể làm như sau: 5! = 5 x 4! = 5 x 24 = 120, 6! = 6 x 5! = 6 x 120 = 720.
Bây giờ ta giải thích tại sao phải có kí hiệu 0! và 1!. Theo khái niệm ở trên thì n! chỉ tích của n số đếm đầu tiên. Theo công thức truy hồi thì 2! = 2 x 1! hay 2 = 2 x 1!, từ đó 1! = 1. Đến bài toán tổ hợp, chẳng hạn tính số đoạn thẳng nối 2 điểm. Đáp số rõ ràng là 1. Tức là 2C2 = 1 hay 2! : (2! x (2 – 2)!) = 1. Từ đó 2 : (2 x 0!) = 1, 2 x 0! = 2, 0! = 1. Vậy để đầy đủ các khái niệm giai thừa cho các số tự nhiên, người ta quy ước 0! = 1! = 1.
Kết quả kỳ trước. Trong hình vuông 3 x 3 có tất cả 36 hình chữ nhật. Phần thưởng trao cho các bạn: Phương Minh Tuấn (7B, THCS Tân Mai); Trần Nhật Huy (7A7, THCS Ngô Sĩ Liên); Phạm Trần Duy Hưng, Phạm Trần Quang Nguyên (P506, C2, TT Quỳnh Mai).
Câu hỏi kỳ này: Nối các đỉnh của hình vuông được 6 đoạn thẳng. Theo em thì dùng công thức nào để tính? Câu trả lời gửi về chuyên mục “Toán học, học mà chơi”, Tòa soạn Báo Hànộimới, 44 Lê Thái Tổ, Hoàn Kiếm, Hà Nội.
Bạn đang đọc nội dung bài viết Chuyên Đề Hoán Vị, Chỉnh Hợp Và Tổ Hợp trên website Asianhubjobs.com. Hy vọng một phần nào đó những thông tin mà chúng tôi đã cung cấp là rất hữu ích với bạn. Nếu nội dung bài viết hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!