Cập nhật nội dung chi tiết về Đạo Hàm Với Vec mới nhất trên website Asianhubjobs.com. Hy vọng thông tin trong bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu ngoài mong đợi của bạn, chúng tôi sẽ làm việc thường xuyên để cập nhật nội dung mới nhằm giúp bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.
begin{aligned} frac{partial{y_3}}{partial{x_7}} &= frac{partial}{partial{x_7}}Big(W_{3,1}x_1+W_{3,2}x_2+ldots+W_{3,7}x_7+ldots+W_{3,m}x_mBig) cr &= 0 + 0 + ldots + W_{3,7} + ldots + 0 cr &= W_{3,7} end{aligned} $$
Tương tự với các thành phần khác của $y$ và $x$ ta sẽ có:
$$dfrac{partial{y_i}}{partial{x_j}}=W_{i,j}$$
1.3. Gộp kết quả lại
Nhóm kết quả lại ta sẽ thu được ma trận Jacobi $mathbf{J}inmathbb{R}^{nm}$:
$$ begin{bmatrix} dfrac{partial{y_1}}{partial{x_1}} & dfrac{partial{y_1}}{partial{x_2}} & dots & dfrac{partial{y_1}}{partial{x_m}} crcr dfrac{partial{y_2}}{partial{x_1}} & dfrac{partial{y_2}}{partial{x_2}} & dots & dfrac{partial{y_2}}{partial{x_m}} crcr vdots & vdots & ddots & vdots crcr dfrac{partial{y_n}}{partial{x_1}} & dfrac{partial{y_n}}{partial{x_2}} & dots & dfrac{partial{y_n}}{partial{x_m}} end{bmatrix} =begin{bmatrix} W_{1,1} & W_{1,2} & dots & W_{1,m} crcr W_{2,1} & W_{1,2} & dots & W_{2,m} crcr vdots & vdots & ddots & vdots crcr W_{n,1} & W_{n,2} & dots & W_{n,m} end{bmatrix} $$
Điều này tương đương với chuyện đạo hàm của $mathbf{y}=mathbf{W}mathbf{x}$ theo $mathbf{x}$ chính là ma trận $mathbf{W}$: $$frac{dmathbf{y}}{dmathbf{x}}=mathbf{W}$$
Bằng phép phân tích như trên, ta có thể thấy việc tính đạo hàm không hề khó khăn nếu ta cứ bóc tách nhỏ tầng thành phần ra để tính riêng biệt rồi gộp kết quả lại.
1.4. Hoán đổi vec-tơ cột với hàng
Tương tự nếu, $mathbf{y}inmathbb{R}^{1n}$ là véc-tơ hàng được tạo bởi tích của vec-tơ hàng $mathbf{x}inmathbb{R}^{1m}$ ma trận $mathbf{W}inmathbb{R}^{mn}$:
$$mathbf{y}=mathbf{x}mathbf{W}$$
Thì đạo hàm riêng:
$$dfrac{partial{y_i}}{partial{x_j}}=W_{j,i}$$
Như vậy, đạo hàm của véc-tơ $mathbf{y}$ theo véc-tơ $mathbf{x}$ là: $$frac{dmathbf{y}}{dmathbf{x}}=mathbf{W}$$
2. Trên 2 chiều thì làm thế nào?
2.1. Ví dụ 1
Giờ ta thử tính đạo hàm của véc-tơ $mathbf{y}$ theo ma trận $mathbf{W}$ xem sao: $$frac{dmathbf{y}}{dmathbf{W}}$$
Lúc này, $mathbf{y}$ là dữ liệu 1 chiều còn $mathbf{W}$ là dữ liệu 2 chiều, nên đạo hàm sẽ ở dạng dữ liệu mảng 3 chiều (ten-xơ 3 chiều).
Tương tự như phép phân tích ở trên, ta thí dụ tính đạo hàm riêng của $y_3$ là phần tử thứ 3 của véc-tơ $mathbf{y}$ theo $W_{7,8}$ là phần tử ở hàng 7, cột 8 của ma trận $mathbf{W}$:
$$y_3=x_1W_{1,3}+x_2W_{2,3}+dots+x_mW_{m,3}$$
Ở đây, rõ ràng là $y_3$ khônng hề phụ thuộc vào $W_{7,8}$ nên đạo hàm riêng tương ứng là $0$:
$$frac{partial{y_3}}{partial{W_{7,8}}}=0$$
Tuy vậy, $y_3$ lại phụ thuộc vào cột thứ 3 của ma trận $mathbf{W}$ nên đạo hàm riêng của nó theo các phần tử cột này là khác không, ví dụ đạo hàm riêng của $y_3$ theo $W_{2,3}$ là:
$$frac{partial{y_3}}{partial{W_{2,3}}}=x_2$$
Một cách tổng quát, ta có: $$ frac{partial{y_i}}{partial{W_{j,k}}} = begin{cases} x_j ~~~ text{if } i=k cr 0 ~~~ text{otherwise} end{cases} $$
Nếu ta gọi $mathsf{F}inmathbb{R}^{mnn}$ là ten-xơ 3 chiều biểu diễn cho đạo hàm của vec-tơ $mathbf{y}inmathbb{R}^{1n}$ theo ma trận $mathbf{W}inmathbb{R}^{mn}$: $$F_{i,j,k}=frac{partial{y_i}}{partial{W_{j,k}}}$$
Khi đó, ta có: $$ F_{i,j,k} = begin{cases} x_j ~~~ text{if } i=k cr 0 ~~~ text{otherwise} end{cases} $$
Nếu sử dụng ma trận $mathbf{G}inmathbb{R}^{mn}$, sao cho: $$G_{i,j}=F_{i,j,i}$$
thì ta có thể thấy rằng $mathbf{G}$ có thể lưu trữ đầy đủ thông tin đạo hàm riêng, hay nói cách khác ta có thể sử dụng dữ liệu 2 chiều để biểu diễn đạo hàm của thay vì dữ liệu 3 chiều như ten-xơ $mathsf{F}$ ở trên.
Lưu ý tới điểm này bởi nó rất hay được sử dụng khi tính đạo hàm trong mạng NN để tận dụng khả năng tính toán của các thư viện.
2.2. Ví dụ 2
Ở ví dụ này, thay vì véc-tơ $mathbf{x}inmathbb{R}^{1,m}$ ta tổng quát hoá thành ma trận $mathbf{X}inmathbb{R}^{nm}$, ta có:
$$mathbf{Y}=mathbf{X}mathbf{W}$$
Lúc đó, mỗi thành phần của $mathbf{Y}$ sẽ được biểu diễn như sau: $$Y_{i,j}=sum_{k=1}^mX_{i,k}W_{k,j}$$
Dễ dàng có thể thấy đạo hàm riêng của $Y_{a,b}$ theo $X_{c,d}$ là: $$ frac{partial{Y_{a,b}}}{partial{X_{c,d}}} = begin{cases} W_{d,b} ~~~ text{if } a=c cr 0 ~~~ text{otherwise} end{cases} $$
Nếu lấy $mathbf{Y}_{i,:}$ là hàng thứ $i$ của $mathbf{Y}$ và $mathbf{X}_{i,:}$ là hàng thứ $i$ của $mathbf{X}$ thì rõ ràng: $$frac{partial{mathbf{Y}_{i,:}}}{partial{mathbf{X}_{i,:}}}=W$$
Đây cũng chính là trường hợp tổng quát của công thức tính đạo hàm ở phần 1.
3. Quy tắc chuỗi
Quy tắc chuỗi dùng để tính đạo hàm của hàm hợp sẽ được áp dụng thế nào cho các phép kết hợp của véc-tơ, ma trận?
Giả sử, ta có các véc-tơ cột $mathbf{y}$ và $mathbf{x}$: $$mathbf{y} = mathbf{V}mathbf{W}mathbf{x}$$
Thử tính đạo hàm của $mathbf{y}$ theo $mathbf{x}$ xem sao. Đầu tiên ta nhận xét rằng, tích của 2 ma trận $mathbf{V}$ và $mathbf{W}$ chỉ đơn giản là một ma trận khác $mathbf{U}$, vì thế ta có: $$frac{dmathbf{y}}{dmathbf{x}}=mathbf{V}mathbf{W}=mathbf{U}$$
Tuy nhiên, để hiểu được quy tắc chuỗi áp dụng ra sao thì ta sẽ đưa vào các kết quả trung gian để sử dụng được quy tắc chuỗi trong trường hợp này. Giả sử véc-tơ $mathbf{z}$ được định nghĩa như sau: $$mathbf{z}=mathbf{W}mathbf{x}$$
Thì: $$mathbf{y}=mathbf{V}mathbf{z}$$
Từ đây, ta có thể sử dụng quy tắc chuỗi như sau: $$frac{dmathbf{y}}{dmathbf{x}}=frac{dmathbf{y}}{dmathbf{z}}frac{dmathbf{z}}{dmathbf{x}}$$
Để chắc chắn rằng ta thực sự hiểu ý nghĩa của nó là gì, ta lại vận dụng chiến lược phân tách ở trên để phân tích các thành phần ra, bắt đầu với mỗi thành phần của véc-tơ $mathbf{y}$ với mỗi thành phần của véc-tơ $mathbf{x}$:
$$frac{dy_i}{dx_j}=frac{dy_i}{dmathbf{z}}frac{dmathbf{z}}{dx_j}$$
Áp dụng tiếp quy tắc chuỗi của hàm nhiều biến, giả sử rằng $mathbf{z}$ có $K$ thành phần thì ta có: $$frac{dy_i}{dx_j}=sum_{k=1}^Kfrac{dy_i}{dz_k}frac{dz_k}{dx_j}$$
Như đã chứng minh ở trên (đạo hàm của véc-tơ theo véc-tơ) thì ta có: $$ begin{aligned} frac{dy_i}{dz_k} &= V_{i,k} cr frac{dz_k}{dx_j} &= W_{k,j} end{aligned} $$
Nên ta có:
$$frac{dy_i}{dx_j}=sum_{k=1}^KV_{i,k}W_{k,j}=mathbf{V}_{i,:}mathbf{W}_{:,j}$$
Tới đây, ta được điều phải chứng minh.
Như vậy, ta có thể sử dụng quy tắc chuỗi trong nhóm của các véc-tơ và ma trận bằng cách:
Bóc tách các kết quả và biến trung gian để biểu diễn
Biểu diễn quy tắc chuỗi cho từng thành phân riêng của đạo hàm đích
Lấy tổng lại các kết quả trung gian với quy tắc chuỗi.
Giới Hạn, Đạo Hàm Của Hàm Số Mũ, Lũy Thừa, Lôgarit
Toán lớp 12: Hàm số mũ, Hàm số lũy thừa, Hàm số Lôgarit
Giới hạn, đạo hàm của hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit
A. Phương pháp giải & Ví dụ
Bài toán 1: Giới hạn của hàm số mũ, hàm số Logarit
Phương pháp
Chúng ta có các dạng giới hạn đặc biệt sau:
Mở rộng: Ta có
Quy tắc Lopitan: Nếu f(x), g(x) khả vi ở lân cận x 0 trừ tại điểm x 0 thì:
Đồng thời
Quy tắc vẫn đúng với x → ∞
Bài toán 2: Đạo hàm của các hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit
Phương pháp:
– Hàm số lũy thừa:
– Hàm số mũ:
– Hàm số Logarit:
Ví dụ minh họa
Bài 1: Tìm các giới hạn sau:
Hướng dẫn:
a) Ta biến đổi
b) Ta biến đổi
c) Ta biến đổi
Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
Hướng dẫn:
Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
Hướng dẫn:
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Tìm giới hạn sau
Hiển thị đáp án
Bài 2: Tìm giới hạn sau
Hiển thị đáp án
Bài 3: Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x = 2
Hiển thị đáp án
Bài 4: Tính đạo hàm của hàm số y = log(ln2x).
Hiển thị đáp án
Bài 5: Tính đạo hàm của hàm số
Hiển thị đáp án
Bài 6: Tính đạo hàm của hàm số
Hiển thị đáp án
Bài 7: Tính đạo đạo hàm của hàm số y=log 3(x+1)-2ln(x-1)+2x tại điểm x = 2
Hiển thị đáp án
Bài 8: Cho hàm số . Tính tổng T
Bài 9: Cho . Tính giá trị biểu thức S
Bài 10: Cho hàm số y = ln(2x 2 + e 2). Nếu thì giá trị m bằng bao nhiêu?
Hiển thị đáp án
Ta có
Dạng 1: Lũy thừa: lý thuyết, tính chất, phương pháp giải
Dạng 2: Lôgarit: lý thuyết, tính chất, phương pháp giải
Dạng 3: Tìm tập xác định của hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit
Trắc nghiệm tìm tập xác định của hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit
Dạng 4: Các dạng bài tập về hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit
Trắc nghiệm về hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit
Trắc nghiệm giới hạn, đạo hàm của hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit
Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại chúng tôi
ham-so-mu-ham-so-luy-thua-ham-so-logarit.jsp
Toán 12 Ôn Tập Chương 1 Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số
Tóm tắt lý thuyết
Sự đơn điệu của hàm số.
Cực trị của hàm số.
Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Tiệm cận của đồ thị hàm số.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số
Dạng 2: Định giá trị của tham số m để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên TXĐ.
Dạng 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số: Dùng quy tắc 1 hoặc quy tắc 2.
Dạng 2: Định giá trị tham số m để hàm số đạt cực trị tại (x_0.)
Phương pháp:
Tìm tập xác định.
Tính (y’ Rightarrow y’left( {{x_0}} right).)
Lập luận: Hàm số đạt cực đại tại ({x_0} Rightarrow y’left( {{x_0}} right) = 0), giải phương trình tìm được m.
Với từng giá trị m vừa tìm được ta dùng quy tắc 1 hoặc quy tắc 2 kiểm tra lại xem có thỏa điều kiện đề bài không.
Kết luận giá trị m thỏa điều kiện.
Dạng 3:Định giá trị của tham số m để các hàm số (y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d,,(a ne 0)) và (y = frac{{a{x^2} + bx + c}}{{mx + n}},,(a,m ne 0))cực đại, cực tiểu:
Phương pháp:
Tìm tập xác định D.
Tính (y’).
Tính (Delta _{y’}).
Dạng 4: Định giá trị của tham số m để các hàm số (y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d,,(a ne 0)) và (y = frac{{a{x^2} + bx + c}}{{mx + n}},,(a,m ne 0)) không có cực đại, cực tiểu:
Phương pháp:
Tìm tập xác định D.
Tính (y’).
Tính (Delta _{y’}).
Lập luận: Hàm số không có CĐ, CT khi và chỉ khi phương trình (y’=0) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép. Phương trình (y’=0) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (Delta _{y’}leq 0) giải tìm m.
Dạng 5: Chứng minh với mọi giá trị của tham số m hàm số (y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d,,(a ne 0)) luôn luôn có cực đại, cực tiểu.
Phương pháp:
Tìm tập xác đinh D.
Tính (y’).
Tính (Delta _{y’}) (nếu y’ là tam thức bậc 2 theo x).
Tìm GTLN – GTNN của hàm sô trên một khoảng, nửa khoảng.
Tìm GTLN – GTNN của hàm số trên một đoạn.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc ba.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc bốn (trùng phương)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số phân thức bậc nhất/bậc nhất (hàm nhất biến).
Tìm số giao điểm của hai đường ((C_1):y=f(x)) và ((C_2):y=g(x).)
Biện luận theo m nghiệm của phương trình (f(x)=m.)
Phương Trình Bậc Nhất Đối Với Hàm Số Lượng Giác
Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác
A. Phương pháp giải
+ Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là có dạng:
a. sinx + b= 0 ( trong đó a ≠ 0) hoặc ( a.cosx+b= 0; chúng tôi x+ b= 0; a.cotx+ b= 0)
+ Để giải được phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác ta làm như sau:
* Bước 1: Đưa phương trình về dạng: sinx= m ( hoặc cosx =m; tanx= m; cotx= m).
* Bước 2. Giải phương trình lượng giác cơ bản.
* Bước 3. Kết luận nghiệm của phương trình đã cho.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Nghiệm của phương trình √12+2tanx=0 là:
A. π/6+kπ
B. (-π)/3+kπ
C. (-π)/6+kπ
D. (-π)/6+k2π
Lời giải
Chọn C
Ta có: √12+2tanx=0 ⇔ 2√3+2tanx=0
⇔ tan x= – √3 ⇔ tanx= tan (- π)/3
⇔ x= (-π)/3+kπ
Ví dụ 2. Tìm nghiệm của phương trình:
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn A.
Ta có:
Ví dụ 3. Cho phương trình . Tìm m để phương trình có nghiệm?
A. Không tồn tại m.
B.m ϵ[-1;3] .
C. m ϵ[-3;-1]
D. mọi giá trị của m.
Lời giải
Chọn C.
Ta có:
Với mọi x ta luôn có: – 1 ≤ cos( 2x- π/3) ≤ 1
Do đó phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
-1 ≤ m+2 ≤ 1 hay-3 ≤ m ≤ -1
Ví dụ 4: Họ nghiệm của phương trình cot(x+π/3)+1=0 là
A. .
B.
C. .
D.
Lời giải
Chọn B.
Ví dụ 5: Nghiệm của phương trình 3cot x+ √3=0là:
A.
B.
C.
D. x= (-π)/3+kπ.
Lời giải
Chọn D.
Ví dụ 6: Phương trình có nghiệm là
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Ta có: √3+tanx=0
Chọn B.
Ví dụ 7: Giải phương trình : 2tanx+ 10= 0
A. x= arctan 5+ k.π
B. x = arctan -5+ kπ
C. x= – 5+kπ
D. x= 1/5+kπ
Lời giải
Ta có: 2tanx + 10 = 0 ⇒ 2tanx= – 10
⇒ tanx= – 5.
Sử dụng công thức nghiệm tổng quát của phương trình
Suy ra:Nghiệm của phương trình đã cho là: x= arctan-5+ kπ; k∈Z
Ví dụ 8: Giải phương trình : 1/2.cot( x+3π/4)=0.
A. (-π)/4+kπ.
B. π/4+kπ.
C. π/2+kπ.
D. π/3+kπ
Lời giải
Ta có: 1/2.cot( x+3π/4)=0 ⇒ cot( x+3π/4)=0.
⇒ cot(x+ 3π/4)=cot π/2
⇒ x+ 3π/4= π/2+kπ ⇒ x= (-π)/4+kπ
Chon A.
Ví dụ 9: Nghiệm của phương trình
A. .
B. .
C. .
D. .
Lời giải
Chọn D.
Ví dụ 10. Giải phương trình : 2cos(x+ 30 0) + 1= 0
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Ta có: 2cos(x+30 0)+ 1= 0 ⇒ 2cos(x+ 30 0) = – 1
Chọn B.
Ví dụ 11: Giải phương trình : 2sin( x – 10 0) – sin90 0 = 0
A.
B.
C.
D. Một đáp án khác
Lời giải
Chọn C.
Ví dụ 12.Giải phương trình 2cos(x+ 10 0) + 10= 0
Lời giải
Ta có : 2cos(x+ 10 0) + 10= 0
⇒ 2cos(x+ 10 0) = – 10
Do với mọi x ta luôn có: – 1 ≤ cos(x+ 10 0 ) ≤ 1 nên từ (*) suy ra phương trình (*) vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1:Giải phương trình 2cos( 120 0 – x)+ 1= 0
A.
B.
C.
D.
Hiển thị lời giải
⇒ 2cos(120 0 – x) = – 1
⇒ cos(120 0-x) = (- 1)/2=cos120 0
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là:
Câu 2: Giải phương trình: 3sin(x- π/5)+3=0
Câu 3:Giải phương trình: √2 tan( x- 15 0 )- √2=0
Lời giải
Câu 4: Giải phương trình 3 cot(x+ 2π/5)- √3=0
A.
B.
C.
D.
Hiển thị lời giải
Ta có:
Chọn B.
Câu 5: Giải phương trình 2tanx – 6= 0
A. x= 3+ k. π
B. x = – 3+ kπ
C.x= arctan 3+ kπ
D. Phương trình vô nghiệm
Câu 6:Giải phương trình
A.
B.
C.
D.Phương trình vô nghiệm
Câu 7:Giải phương trình 3sin(x+ 10 0) – 1=0
A.
B.
C.
D.
Hiển thị lời giải
Chọn D.
Câu 8: Giải phương trình √3 sin( x+π/10)+3=0
A. x= π/10+k2π
B. x= -π/10+k2π
C. Phương trình vô nghiệm
D. Đáp án khác
Hiển thị lời giải
Chọn D.
Câu 9: Giải phương trình: 2sin( x+π/6) – cos 3π/2=0
Câu 10: Giải phương trình : 2sin(x+ π/8)-10=0
A.
B.
C.
D.
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k4: chúng tôi
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:
Bạn đang đọc nội dung bài viết Đạo Hàm Với Vec trên website Asianhubjobs.com. Hy vọng một phần nào đó những thông tin mà chúng tôi đã cung cấp là rất hữu ích với bạn. Nếu nội dung bài viết hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!