Cập nhật nội dung chi tiết về Giải Tích – Đại Số mới nhất trên website Asianhubjobs.com. Hy vọng thông tin trong bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu ngoài mong đợi của bạn, chúng tôi sẽ làm việc thường xuyên để cập nhật nội dung mới nhằm giúp bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.
Trong trường hợp, tài liệu nào ở địa chỉ của chúng tôi đã hết băng thông trong tháng, bạn hãy copy đường dẫn đó và paste vào mục Out of bandwidth của trang chúng tôi để tải.
1. Đại số tuyến tính:
Slide bài giảng ĐSTT NEW của ThS. Đoàn Vương Nguyên – trường ĐH Công nghiệp TpHCM.
Giáo trình Đại số và Hình học giải tích do PGS-TS. Tạ Lê Lợi – trường ĐH Đà Lạt biên soạn. Nội dung giáo trình bao gồm các phần không gian vecto, ánh xạ tuyến tính, chéo hóa ma trận, không gian vecto Euclid, dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, đường mặt bậc 2
Toán Đại số tuyến tính Bài giảng phần ma trận và định thức của trường ĐH Tôn Đức Thắng
Sách Đại số tuyến tính: Tập bài giảng Đại số tuyến tính của trường ĐH Thăng Long (Hà Nội).
Giáo trình toán cao cấp B2: Bộ giáo trình của trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TpHCM bao gồm các phần: Đại số tuyến tính, Hàm nhiều biến, tích phân hàm nhiều biến, phương trình vi phân
Bài tập ma trận – Định thức – Hệ phương trình: Bài tập do GV Lê Xuân Trường – Đại học Sư phạm Kỹ thuật TpHCM – biên soạn.
Giáo trình về Giải tích và Đại số tuyến tính (Tập 1): Sách được tác giả Apostol biên soạn, gồm 686 trang, được đóng gói bằng định dạng .DjVu. Nội dung chủ yếu trong tập 1 là hàm 1 biến và giới thiệu sơ lược về Đại số tuyến tính viết khá chuyên sâu và được nhà xuất bản John Wiley & Sons tái bản lần 2 năm 1966.
Media Fire Link 2:
Media Fire Link 2:
Nhóm Ma Trận, và Đại số Lie : Hiện nay, tài liệu về Đại số Lie khá ít. Do đó, tài liệu này dù viết khá chuyên sâu, với ngôn ngữ Toán học thuần túy nên SV chuyên ngành Vật Lý có thể cảm thấy khá nặng. Tuy nhiên, đây cũng là một tài liệu giúp ích cho việc học bộ môn Đại số 2 ở Khoa Vật Lý – ĐHSP. Sách được đóng gói dưới dạng file .DjVu
2. Giải tích:
Tập bài giảng Giải tích 1: Tập hợp các bài giảng (sơ lược) Giải tích 1 của học phần Giải tích 1 được giảng dạy cho Sinh viên Khoa Vật Lý – ĐHSP TpHCM
Giải tích Toán học Hàm số 1 biếnNEW : giáo trình trong bộ sách Toán Cao cấp do Viện Toán học Việt Nam biên soạn. Giáo trình bào gồm các vấn đề lý thuyết và thực hành tính toán bằng chương trình Maple. Bao gồm các vấn đề về vi – tích phân của hàm 1 biến, chuỗi số, chuỗi hàm, chuỗi Fourier và phương trình vi phân.
Slide bài giảng hàm nhiều biến và phương trình vi phân NEW của ThS. Đoàn Vương Nguyên – trường ĐH Công nghiệp TpHCM.
Giải tích Toán học Hàm số nhiều biếnNEW: giáo trình bao gồm các vấn đề lý thuyết và thực hành tính toán các vấn đề về vi tích phân của hàm số nhiều biến. Giáo trình do Viện Toán học Việt Nam biên soạn.
Sách hướng dẫn học Giải tích 1: Tài liệu của Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông được TS Vũ Gia Tê và ThS. Đỗ Phi Nga biên soạn nhằm giúp SV tự học các vấn đề về vi phân, tích phân và chuỗi số của hàm số 1 biến. : Tài liệu của Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông được TS Vũ Gia Tê và ThS. Đỗ Phi Nga biên soạn nhằm giúp SV tự học các vấn đề về vi phân, tích phân và chuỗi số của hàm số 1 biến.
Sách hướng dẫn học Giải tích 2: Tài liệu của Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông được TS Vũ Gia Tê và ThS. Đỗ Phi Nga biên soạn nhằm giúp SV tự học các vấn đề về vi phân hàm nhiều biến và phương trình vi phân.
Tổng hợp các hàm và công thức của Giải tích 1 biến: Đây là tài liệu của trường Hanford, Richland, Wasington nhằm giúp học sinh, Sinh viên dễ dàng tra cứu các công thức, hàm số thường sử dụng khi học học phần giải tích 1 biến số. Tài liệu được in ấn dưới dạng file pdf.
Giáo trình Toán Cao Cấp: Hàm nhiều biến và phương trình vi phân. Bộ giáo trình của Trung tâm phát triển công nghệ thông tin – Đại học Quốc Gia TpHCM bao gồm 2 tập thích hợp cho các sinh viên chuyên ngành kỹ thuật.:
Toán A1: bao gồm các nội dung về giải tích hàm số 1 biến.
Toán A2: bao gồm các nội dung về giải tích hàm nhiều biến và phương trình vi phân.
Bài tập chuỗi số.pdf : Bài tập giải sẵn của Khoa Toán – Tin học, trường ĐHSP TpHCM. Có một số bài khó và rất khó. Tuy nhiên, vẫn có thể dùng làm tài liệu phục vụ việc học
Số phức từ A đến Z: bản tiếng Anh của cuốn Complex Numbers from A … to Z của tác giả Titu Andreescu và Dorin Andrica. : bản tiếng Anh của cuốn Complex Numbers from A … to Z của tác giảvà
Thầy Lê Lễ- Giảng viên toán CĐSP Ninh Thuận, trích dịch từ bản tiếng Anh : Complex Numbers from A to Z – của tác giả Titu Andreescu và Dorin Andrica.Bài tập số phức (98 ví dụ và bài tập có lời giải),Giảng viên toán CĐSP Ninh Thuận, trích dịch từ bản tiếng Anh :– của tác giảvà
Bộ sách về các học phần Toán của tác giả Paul Dawkin
– GV của trường Đại học lamar – gồm 6 tập và viết dưới dạng file pdf. Bộ sách có hệ thống ví dụ, và các bài tập rõ ràng, dễ hiểu. Sinh viên có thể dùng làm tài liệu tham khảo khi học về học phần Giải tích 1, Giải tích 2, Giải tích 3 và Đại số 1.
Tập 1: Số phức:Gồm 26 trang, trình bày tổng quát về các khái niệm cơ bản của số phức.
Tập 3: Phép tính vi phân hàm 1 biến (tt) Gồm 332 trang, trình bày các vấn đề tiếp theo của giải tích hàm 1 biến như: Ứng dụng của Tích phân xác định, khảo sát đường cong tham số, khảo sát đường cong trong tọa độ cực và Chuỗi số.
Tập 4: Giải tích hàm nhiều biến Gồm 258 trang tiếng Anh, trình bày tổng quát về các khái niệm cơ bản của phép tính vi phân và tích phân hàm nhiều biến.
Tập 5: Đại số tuyến tính
Tập 6: Phương trình vi phân
Bình chọn
Share this:
Thư điện tử
In
Like this:
Số lượt thích
Đang tải…
Đại Số Và Vi Tích Phân Refresher
Một số phép toán khác
CS 229 – Học máy
Đại số tuyến tính và Giải tích cơ bản Star
Bởi Afshine Amidi và Shervine Amidi
Dịch bởi Hoàng Minh Tuấn và Phạm Hồng Vinh
Kí hiệu chung
Định nghĩa
Vectơ Chúng ta kí hiệu $xinmathbb{R}^n$ là một vectơ với $n$ phần tử, với $x_iinmathbb{R}$ là phần tử thứ $i$:
[x=left(begin{array}{c}x_1\x_2\vdots\x_nend{array}right)inmathbb{R}^n]
Ma trận Kí hiệu $Ainmathbb{R}^{mtimes n}$ là một ma trận với $m$ hàng và $n$ cột, $A_{i,j}inmathbb{R}$ là phần tử nằm ở hàng thứ $i$, cột $j$:
[A=left(begin{array}{ccc}A_{1,1}& cdots&A_{1,n}\vdots&& vdots\A_{m,1}& cdots&A_{m,n}end{array}right)inmathbb{R}^{mtimes n}]
Ghi chú: vectơ $x$ được xác định ở trên có thể coi như một ma trận $ntimes1$ và được gọi là vectơ cột.
Ma trận chính
Ma trận đơn vị Ma trận đơn vị $Iinmathbb{R}^{ntimes n}$ là một ma trận vuông với các phần tử trên đường chéo chính bằng 1 và các phần tử còn lại bằng 0:
[I=left(begin{array}{cccc}1&0& cdots&0\0& ddots& ddots& vdots\vdots& ddots& ddots&0\0& cdots&0&1end{array}right)]
Ghi chú: với mọi ma trận vuông $Ainmathbb{R}^{ntimes n}$, ta có $Atimes I=Itimes A=A$.
Ma trận đường chéo Ma trận đường chéo $Dinmathbb{R}^{ntimes n}$ là một ma trận vuông với các phần tử trên đường chéo chính khác 0 và các phần tử còn lại bằng 0:
[D=left(begin{array}{cccc}d_1&0& cdots&0\0& ddots& ddots& vdots\vdots& ddots& ddots&0\0& cdots&0&d_nend{array}right)]
Ghi chú: chúng ta kí hiệu $D$ là $textrm{diag}(d_1,…,d_n)$.
Các phép toán ma trận
Phép nhân
Vectơ/vectơ Có hai loại phép nhân vectơ/vectơ:
– phép nhân inner: với $x,yinmathbb{R}^n$, ta có:
[boxed{x^Ty=sum_{i=1}^nx_iy_iinmathbb{R}}]
– phép nhân outer: với $xinmathbb{R}^m, yinmathbb{R}^n$, ta có:
[boxed{xy^T=left(begin{array}{ccc}x_1y_1& cdots&x_1y_n\vdots&& vdots\x_my_1& cdots&x_my_nend{array}right)inmathbb{R}^{mtimes n}}]
Ma trận/vectơ Phép nhân giữa ma trận $Ainmathbb{R}^{mtimes n}$ và vectơ $xinmathbb{R}^{n}$ là một vectơ có kích thước $mathbb{R}^{m}$:
[boxed{Ax=left(begin{array}{c}a_{r,1}^Tx\vdots\a_{r,m}^Txend{array}right)=sum_{i=1}^na_{c,i}x_{i}inmathbb{R}^{m}}]
với $a_{r,i}^T$ là các vectơ hàng và $a_{c,j}$ là các vectơ cột của $A$, và $x_i$ là các phần tử của $x$.
Ma trận/ma trận Phép nhân giữa ma trận $Ainmathbb{R}^{mtimes n}$ và $Binmathbb{R}^{ntimes p}$ là một ma trận kích thước $mathbb{R}^{mtimes p}$:
[boxed{AB=left(begin{array}{ccc}a_{r,1}^Tb_{c,1}& cdots&a_{r,1}^Tb_{c,p}\vdots&& vdots\a_{r,m}^Tb_{c,1}& cdots&a_{r,m}^Tb_{c,p}end{array}right)=sum_{i=1}^na_{c,i}b_{r,i}^Tinmathbb{R}^{ntimes p}}]
với $a_{r,i}^T, b_{r,i}^T$ là các vectơ hàng và $a_{c,j}, b_{c,j}$ lần lượt là các vectơ cột của $A$ và $B$.
Một số phép toán khác
Chuyển vị Chuyển vị của một ma trận $Ainmathbb{R}^{mtimes n}$, kí hiệu $A^T$, khi các phần tử hàng cột hoán đổi vị trí cho nhau:
[boxed{forall i,j,quadquad A_{i,j}^T=A_{j,i}}]
Ghi chú: với ma trận $A$,$B$, ta có $(AB)^T=B^TA^T$
Nghịch đảo Nghịch đảo của ma trận vuông khả đảo $A$ được kí hiệu là $A-1$ và chỉ tồn tại duy nhất:
[boxed{AA^{-1}=A^{-1}A=I}]
Ghi chú: không phải tất cả các ma trận vuông đều khả đảo. Ngoài ra, với ma trận $A$,$B$, ta có $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
Truy vết Truy vết của ma trận vuông $A$, kí hiệu $textrm{tr}(A)$, là tổng của các phần tử trên đường chéo chính của nó:
[boxed{textrm{tr}(A)=sum_{i=1}^nA_{i,i}}]
Ghi chú: với ma trận $A$,$B$, chúng ta có $textrm{tr}(A^T)=textrm{tr}(A)$ và $textrm{tr}(AB)=textrm{tr}(BA)$
Những tính chất của ma trận
Định nghĩa
Phân rã đối xứng Một ma trận $A$ đã cho có thể được biểu diễn dưới dạng các phần đối xứng và phản đối xứng của nó như sau:
[boxed{A=underbrace{frac{A+A^T}{2}}_{textrm{Symmetric}}+underbrace{frac{A-A^T}{2}}_{textrm{Antisymmetric}}}]
Chuẩn Một chuẩn (norm) là một hàm $N:Vlongrightarrow[0,+infty[$ mà $V$ là một không gian vectơ, và với mọi $x,yin V$, ta có:
– $N(x+y)leqslant N(x)+N(y)$ – nếu $N(x)=0$, thì $x=0$
Chuẩn Kí hiệu Định nghĩa Trường hợp dùng
Manhattan, $L^1$ LASSO regularization
Euclidean, $L^2$ $displaystylesqrt{sum_{i=1}^nx_i^2}$ Ridge regularization
$p$-norm, $L^p$ $displaystyleleft(sum_{i=1}^nx_i^pright)^{frac{1}{p}}$ Hölder inequality
Infinity, $L^{infty}$ Uniform convergence
Sự phụ thuộc tuyến tính – Một tập hợp các vectơ được cho là phụ thuộc tuyến tính nếu một trong các vectơ trong tập hợp có thể được biểu diễn bởi một tổ hợp tuyến tính của các vectơ khác.
Ghi chú: nếu không có vectơ nào có thể được viết theo cách này, thì các vectơ được cho là độc lập tuyến tính
Hạng ma trận (rank) Hạng của một ma trận $A$ kí hiệu $textrm{rank}(A)$ và là số chiều của không gian vectơ được tạo bởi các cột của nó. Điều này tương đương với số cột độc lập tuyến tính tối đa của $A$.
Ma trận bán xác định dương Ma trận $Ainmathbb{R}^{ntimes n}$ là bán xác định dương (PSD) kí hiệu $Asucceq 0$ nếu chúng ta có:
[boxed{A=A^T}quadtextrm{ và }quadboxed{forall xinmathbb{R}^n,quad x^TAxgeqslant0}]
Giá trị riêng, vectơ riêng Cho ma trận $Ainmathbb{R}^{ntimes n}$, $lambda$ được gọi là giá trị riêng của $A$ nếu tồn tại một vectơ $zinmathbb{R}^nbackslash{0}$, được gọi là vectơ riêng, sao cho:
[boxed{Az=lambda z}]
Định lý phổ Cho $Ainmathbb{R}^{ntimes n}$. Nếu $A$ đối xứng, thì $A$ có thể chéo hóa bởi một ma trận trực giao thực $Uinmathbb{R}^{ntimes n}$. Bằng cách kí hiệu $Lambda=textrm{diag}(lambda_1,…,lambda_n)$, chúng ta có:
[boxed{existsLambdatextrm{ đường chéo},quad A=ULambda U^T}]
Phân tích giá trị suy biến Đối với một ma trận $A$ có kích thước $mtimes n$, Phân tích giá trị suy biến (SVD) là một kỹ thuật phân tích nhân tố nhằm đảm bảo sự tồn tại của đơn vị $U$ $mtimes m$, đường chéo $Sigma$m×n và đơn vị $V$ $ntimes n$ ma trận, sao cho:
[boxed{A=USigma V^T}]
Giải tích ma trận
Gradien Cho $f:mathbb{R}^{mtimes n}rightarrowmathbb{R}$ là một hàm và $Ainmathbb{R}^{mtimes n}$ là một ma trận. Gradien của $f$ đối với $A$ là ma trận $mtimes n$, được kí hiệu là $nabla_A f(A)$, sao cho:
[boxed{Big(nabla_A f(A)Big)_{i,j}=frac{partial f(A)}{partial A_{i,j}}}]
Ghi chú: gradien của $f$ chỉ được xác định khi $f$ là hàm trả về một số.
Hessian Cho $f:mathbb{R}^{n}rightarrowmathbb{R}$ là một hàm và $xinmathbb{R}^{n}$ là một vectơ. Hessian của $f$ đối với $x$ là một ma trận đối xứng $ntimes n$, ghi chú $nabla_x^2 f(x)$, sao cho:
[boxed{Big(nabla_x^2 f(x)Big)_{i,j}=frac{partial^2 f(x)}{partial x_ipartial x_j}}]
Ghi chú: hessian của $f$ chỉ được xác định khi $f$ là hàm trả về một số.
Các phép toán của gradien Đối với ma trận $A$,$B$,$C$, các thuộc tính gradien sau cần để lưu ý:
[boxed{nabla_Atextrm{tr}(AB)=B^T}quadquadboxed{nabla_{A^T}f(A)=left(nabla_Af(A)right)^T}]
Đại Số Ma Trận Ứng Dụng Trong Giải Tích Mạng
Hệ thống điện bao gồm các khâu sản xuất, truyền tải và phân phối điện năng. Kết cấu một hệ thống điện có thể rất phức tạp, muốn nghiên cứu nó đòi hỏi phải có một kiến thức tổng hợp và có những phương pháp tinh toán phù hợp.
Giải tích mạng là một môn học còn có tên gọi “Các phương pháp tin học ứng dụng trong tính toán hệ thống điện”. Trong đó, đề cập đến những bài toán mà tất cả sinh viên ngành hệ thống nào cũng cần phải nắm vững. Vì vậy, để có một cách nhìn cụ thể về các bài toán này, giáo trình đi từ kiến thức cơ sở đã học nghiên cứu lý thuyết các bài toán cũng như việc ứng dụng chúng thông qua công cụ máy vi tính. Phần cuối, bằng ngôn ngữ lập trình Pascal, công việc mô phỏng các phần mục của bài toán đã được minh hoạ.
Nội dung giáo trình gồm 2 phần chính:
Phần lý thuyết gồm có 8 chương.
1. Đại số ma trận ứng dụng trong giải tích mạng.
2. Phương pháp số dùng để giải các phương trình vi phân trong giải tích mạng.
3. Mô hình hóa hệ thống điện.
4. Graph và các ma trận mạng điện.
5. Thuật toán dùng để tính ma trận mạng.
6. Tính toán trào lưu công suất.
7. Tính toán ngắn mạch.
8. Xét quá trình quá độ của máy phát khi có sự cố trong mạng.
Phần lập trình: gồm có bốn phần mục:
1. Xây dựng các ma trận của 1 mạng cụ thể
2. Tính toán ngắn mạch.
3. Tính toán trào lưu công suất lúc bình thường và khi sự cố.
4. Xét quá trình quá độ của các máy phát khi có sự cố trong mạng điện.
GV: Lê Kim Hùng
CHƯƠNG 1
ĐẠI SỐ MA TRẬN ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TÍCH MẠNG
Trong chương này ta nhắc lại một số kiến thức về đại số ma trận thông thường được ứng dụng trong giải tích mạng.
ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN:
Kí hiệu ma trận:
Ma trận chữ nhật A kích thước m x n là 1 bảng gồm m hàng và n cột có dạng sau:
Các dạng ma trận:
Ma trận vuông: Là ma trận có số hàng bằng số cột (m = n).
Ví dụ:
Ma trận tam giác dưới: Là ma trận vuông mà các phần tử trên đường chéo chính a ịj của ma trận bằng 0 với i < j.
Ma trận đường chéo: Là ma trận vuông nếu tất cả các phần tử trên đường chéo chính khác 0, còn các phần tử khác ngoài đường chéo chính của ma trận bằng 0 (a ịj = 0 với ).
Ma trận đơn vị: Là ma trận vuông mà tất cả các phần tử trên đường chéo chính của ma trận bằng 1 còn tất cả các phần tử khác bằng 0 (a ij = 1 với i = j và a ịj = 0 với ).
Ma trận không: Là ma trận mà tất cả các phần tử của ma trận bằng 0.
Ma trận chuyển vị: Là ma trận mà các phần tử a ịj = a ji (đổi hàng thành cột và ngược lại).
và
Cho ma trận A thì ma trận chuyển vị kí hiệu là A t, A T hoặc A’
Ma trận đối xứng: Là ma trận vuông có các cặp phần tử đối xứng qua đường chéo chính bằng nhau a ịj = a ji.
Ví dụ:
Chuyển vị ma trận đối xứng thì A T = A, nghĩa là ma trận không thay đổi.
Ma trận xiên – phản đối xứng: Là ma trận vuông có A = – A T. Các phần tử ngoài đường chéo chính tương ứng bằng giá trị đối của nó (a ịj = – a ji) và các phần tử trên đường chéo chính bằng 0.
Ví dụ:
Ma trận trực giao: Là ma trận có ma trận chuyển vị chính là nghịch đảo của nó. (A T .A = U = A .A T với A là ma trận vuông và các phần tử là số thực).
Ma trận phức liên hợp: Là ma trận nếu thế phần tử a + jb bởi a – jb thì ma trận mới A* là ma trận phức liên hợp.
Cho ma trận A thì ma trận phức liên hợp là A*
-Nếu tất cả các phần tử của A là thực, thì A = A*
-Nếu tất cả các phần tử của A là ảo, thì A = – A*.
Ma trận Hermitian (ma trận phức đối): Là ma trận vuông với các phần tử trên đường chéo chính là số thực còn các cặp phần tử đối xứng qua đường chéo chính là những số phức liên hợp, nghĩa là A = (A*) t.
Ma trận xiên – Hermitian (ma trận xiên – phức đối): Là ma trận vuông với các phần tử trên đường chéo chính bằng 0 hoặc toàn ảo còn các cặp phần tử đối xứng qua đường chéo chính là những số phức, tức A = – (A*) t.
Nếu ma trận vuông phức liên hợp có (A*) t. A = U = A. (A*) t thì ma trận A được gọi là ma trận đơn vị. Nếu ma trận đơn vị A với các phần tử là số thực được gọi là ma trận trực giao.
CÁC ĐỊNH THỨC:
Định nghĩa và các tính chất của định thức:
Cho hệ 2 phương trình tuyến tính
Rút x 2 từ phương trình (2) thế vào phương trình (1), giải được:
Suy ra:
Giải phương trình (1.1) bằng phương pháp định thức ta có:
Giá trị của định thức bằng 0 nếu:
– Tất cả các phần tử của hàng hoặc cột bằng 0.
– Các phần tử của 2 hàng (cột) tương ứng bằng nhau.
– Một hàng (cột) là tương ứng tỉ lệ của 1 hoặc nhiều hàng (cột).
Nếu ta đổi chổ 2 hàng của ma trận vuông A cho nhau ta được ma trận vuông B và có det(B) = – det(A).
Giá trị của định thức không thay đổi nếu:
– Tất cả các hàng và cột tương ứng đổi chổ cho nhau.
– Cộng thêm k vào 1 hàng (cột) thứ tự tương ứng với các phần tử của hàng (cột) đó.
Nếu tất cả các phần tử của hàng (cột) nhân với thừa số k, thì giá trị của định thức là được nhân bởi k.
Định thức con và các phần phụ đại số.
Xét định thức:
Chọn trong định thức này k hàng, k cột bất kỳ với 1 k n. Các phần tử nằm phía trên kể từ giao của hàng và cột đã chọn tạo thành một định thức cấp k, gọi là định thức con cấp k của A. Bỏ k hàng và k cột đã chọn, các phần tử còn lại tạo thành 1 định thức con bù của định thức A.
Phần phụ đại số ứng với phần tử a ij của định thức A là định thức con bù có kèm theo dấu (-1) i+j.
Mối liên hệ giữa các định thức và phần phụ:
– Tổng các tích của các phần tử theo hàng (cột) với phần phụ tương ứng trong hàng (cột) khác bằng 0.
Các ma trận bằng nhau:
Hai ma trận A và B được gọi là bằng nhau nếu tất cả các phần tử của ma trận A bằng tất cả các phần tử của ma trận B (a ij = b ịj i, j; i, j = 1, 2, .. n).
Phép cộng (trừ) ma trận.
Cộng (trừ) các ma trận phái có cùng kích thước m x n. Ví dụ: Có hai ma trận A[a ij ] mn và B[b ij ] mn thì tổng và hiệu của hai ma trận này là ma trận C[c ij ] mn với c ij = a ij b ij
Phép cộng (trừ) ma trận có tính chất giao hoán: A + B = B + A.
Phép cộng (trừ) ma trận có tính chất kết hợp: A + (B + C) = (A + B) + C.
Tích vô hướng của ma trận:
Tính giao hoán: k.A = A.k..
Tính phân phối: k (A + B) = k.A + k..B = (A + B) k.
(với A và B là các ma trận có cùng kích thước, k là 1 hằng số ).
Nhân các ma trận:
Phép nhân hai ma trận A.B = C. Nếu ma trận A có kích thước m x q và ma trận B có kích thước q x n thì ma trận tích C có kích thước m x n. Các phần tử c ij của ma trận C là tổng các tích của các phần tử tương ứng với i hàng của ma trận A và j cột của ma trận B là:
Ví dụ:
Phép nhân ma trận không có tính chất hoán vị: A.B B.A
Phép nhân ma trận có tính chất phân phối đối với phép cộng:
A (B + C) = A.B + A.C.
Phép nhân ma trận có tính chất kết hợp: A (B.C) = (A.B) C = A.B.C.
Tích 2 ma trận A.B = 0 khi A = 0 hoặc B = 0.
Tích C.A = C.B khi A = B.
Nghịch đảo ma trận:
Cho hệ phương trình:
Viết dưới dạng ma trận A.X = Y
Nếu nghiệm của hệ trên là duy nhất thì tồn tại một ma trận B là nghịch đảo của ma trận A.
Do đó: X = B.Y (1.3)
Nếu định thức của ma trận A 0 thì có thể xác định x i như sau:
Nhân ma trận A với nghịch đảo của nó ta có A.A-1 = A-1.A = U
Rút X từ phương trình (1.3) sau khi đã nhân cả hai vế cho A-1.
A.X = Y
Nếu định thức của ma trận bằng 0, thì ma trận nghịch đảo không xác định (ma trận suy biến).
Nếu định thức khác 0 gọi là ma trận không suy biến và là ma trận nghịch đảo duy nhất.
Giả sử 2 ma trận A và B cùng cấp và là khả đảo lúc đó:
Ma trận phân chia:
Tổng các ma trận đã phân chia được biểu diễn bởi ma trận nhỏ bằng tổng các ma trận nhỏ tương ứng.
Phép nhân được biểu diễn như sau:
Trong đó:
Tách ma trận chuyển vị như sau:
Tách ma trận nghịch đảo như sau:
Trong đó:
(với A 1 và A 4 phải là các ma trận vuông).
SỰ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH VÀ HẠNG CỦA MA TRẬN:
Sự phụ thuộc tuyến tính:
Số cột của ma trận A(m x n) có thể viết theo n vectơ cột hoặc m vectơ hàng.
Phương trình vectơ cột thuần nhất.
Khi tất cả P k = 0 (k = 1, 2, …., n).
Tương tự vectơ hàng là không phụ thuộc tuyến tính nếu.
Nếu p k 0 thỏa mãn phương trình (1.4), thì vectơ cột là tuyến tính.
Nếu q r 0 thỏa mãn phương trình (1.5), thì vectơ hàng là tuyến tính.
Nếu vectơ cột (hàng) của ma trận A là tuyến tính, thì định thức của A = 0.
Hạng của ma trận:
Hạng của ma trận là cấp cao nhất mà tất cả các định thức con khác 0.
0 r(A) min(m, n) với A là ma trận kích thước m x n.
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH:
Hệ phương trình tuyến tính của m phương trình trong n hệ số được viết:
…………………………………… (1.6)
Trong đó:
a i j: Là hệ số thực hoặc phức ; x j: Là biến số ; y j: Là hằng số của hệ.
Hệ phương trình được biểu diễn ở dạng ma trận như sau:
A. X = Y (1.7)
Ma trận mở rộng:
Nếu y i = 0 thì hệ phương trình gọi là hệ thuần nhất, nghĩa là: A.X = 0.
Nếu một hoặc nhiều phần tử của vectơ y i 0 thì hệ gọi là hệ không thuần nhất.
Định lý:
Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm là hạng của ma trận hệ số bằng hạng của ma trận mở rộng.
Hệ phương trình tuyến tính vô nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số nhỏ hơn hạng của ma trận mở rộng.
Nếu hạng của ma trận r(A) = r(Â) = r = n (số ẩn) của hệ phương trình tuyến tính (1.6) thì hệ có nghiệm duy nhất (hệ xác định).
Nếu r(A) = r(Â) = r < n thì hệ phương trình tuyến tính có vô số nghiệm và các thành phần của nghiệm phụ thuộc (n – r) tham số tùy ý.
Sách Giáo Khoa Đại Số Và Giải Tích 11 Nâng Cao
Cuốn Sách Giáo Khoa Đại Số Và Giải Tích 11 Nâng Cao do Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam ấn hành, được soạn thảo theo chương trình của Bộ giáo dục Đào tạo . Sách được sử dụng cho giáo viên giảng dạy và học sinh học tập tại các trường THPT và cơ sở giáo dục trên toàn quốc với các kiến thức Toán căn bản và nâng cao mà mọi học sinh lớp 11 cần có.
Cuốn sách gồm năm chương:
CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài 1. Hàm số lượng giác
Bài 2. Phương trình lượng giác cơ bản
Bài 3. Một số phương trình lượng giác thường gặp
Ôn tập chương I – Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 1 – Đại số và Giải tích 11
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Chương 1 – Đại số và giải tích 11
CHƯƠNG II. TỔ HỢP – XÁC SUẤT
Bài 1. Quy tắc đếm
Bài 2. Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp
Bài 3. Nhị thức Niu – Tơn
Bài 4. Phép thử và biến cố
Bài 5. Xác suất và biến cố
Ôn tập chương II – Tổ hợp – Xác suất
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 2 – Đại số và giải tích 11
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Chương 2 – Đại số và giải tích 11
CHƯƠNG III. DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
Bài 1. Giới hạn của dãy số
Bài 2. Giới hạn của hàm số
Bài 3. Hàm số liên tục
Ôn tập chương IV – Giới hạn
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 4 – Đại số và Giải tích 11
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Chương 4 – Đại số và Giải tích 11
Bài 1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Bài 2. Quy tắc tính đạo hàm
Bài 3. Đạo hàm của hàm số lượng giác
Bài 4. Vi phân
Bài 5. Đạo hàm cấp hai
Ôn tập chương V – Đạo hàm
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 5 – Đại số và Giải tích 11
ÔN TẬP CUỐI NĂM – ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11
Bạn đang đọc nội dung bài viết Giải Tích – Đại Số trên website Asianhubjobs.com. Hy vọng một phần nào đó những thông tin mà chúng tôi đã cung cấp là rất hữu ích với bạn. Nếu nội dung bài viết hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!