Đề Xuất 3/2023 # Giải Tích Hàm – Bách Khoa Toàn Thư Việt Nam # Top 12 Like

Cập nhật nội dung chi tiết về Giải Tích Hàm – Bách Khoa Toàn Thư Việt Nam mới nhất trên website Asianhubjobs.com. Hy vọng thông tin trong bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu ngoài mong đợi của bạn, chúng tôi sẽ làm việc thường xuyên để cập nhật nội dung mới nhằm giúp bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.

Giải tích hàm là một nhánh của giải tích toán học hiện đại nghiên cứu hàm số

y = f ( x )

{displaystyle y=f(x)}

mà ít nhất một trong các biến số

{displaystyle x}

hoặc

{displaystyle y}

biến thiên trong một không gian vô hạn chiều. Nhìn chung, các nghiên cứu trong giải tích hàm có thể chia thành ba phần: 1) Giới thiệu và nghiên cứu các không gian vô hạn chiều; 2) Nghiên cứu về các hàm số đơn giản nhất, tức là, khi

{displaystyle x}

nhận giá trị trong không gian vô hạn chiều và

{displaystyle y}

Khái niệm về không gian

[

sửa

]

Không gian vector tô pô ( xem Không gian vector tô pô) là không gian tổng quát nhất trong giải tích hàm. Đây là các không gian vector (tuyến tính)

{displaystyle X}

trên trường các số phức

{displaystyle mathbb {C} }

(hoặc bất kỳ trường nào khác, ví dụ số thực

{displaystyle mathbb {R} }

) đồng thời là không gian tô pô có cấu trúc tuyến tính và cấu trúc tô pô tương thích với nhau theo nghĩa các phép tính tuyến tính liên tục trong tô pô của không gian này. Nếu

{displaystyle X}

là một không gian số metric, thì khi đó chúng ta một không gian vector metric.

Một trường hợp đặc biệt của không gian vector tô pô nhưng rất quan trọng khi khái niệm về chuẩn

‖ x ‖

{displaystyle lVert xrVert }

(chiều dài) của một vector được định nghĩa bằng tiên đề. Một không gian vector với một chuẩn được gọi là không gian định chuẩn (xem Không gian định chuẩn). Nó có thể được metric hoá băng cách xác định metric dựa trên chuẩn:

ρ ( x , y ) := ‖ x − y ‖

{displaystyle rho (x,y):=lVert x-yrVert }

. Một không gian định chuẩn được gọi là không gian Banach (xem Không gian Banach) nếu nó đầy đối với metric được sinh ra bởi chuẩn.

Trong rất nhiều không gian vector chúng ta có thể định nghĩa tích vô hướng (xem Tich vô hướng)

( x , y )

{displaystyle (x,y)}

đối với hai vector bất kỳ

{displaystyle x}

và

{displaystyle y}

. Tích vô hướng này là tổng quát hóa của tích vô hướng thông thường trong không gian Euclid ba chiều. Một không gian vector với tích vô hướng được gọi là không gian tiền Hilbert. Đây là một trường hợp đặc biệt của không gian chuẩn với chuẩn được định nghĩa là

‖ x ‖ :=

( x , x )

{displaystyle lVert xrVert :={sqrt {(x,x)}}}

. Nếu không gian này đầy, thì nó được gọi là không gian Hilbert (xem Không gian Hilbert).

Các không gian vô hạn chiều được nghiên cứu trong giải tích hàm, tức là các không gian trong đó có một tập hợp vô hạn các vector tuyến tính độc lập.

Trên quan điểm hình học, không gian định chuẩn đơn giản nhất là không gian Hilbert

{displaystyle H}

, có các thuộc tính hầu hết giống với không gian hữu hạn chiều, vì trong không gian Hilbert chúng ta có thể đưa ra một khái niệm tương tự như góc giữa hai vector qua tích vô hướng. Đặc biệt, hai vector

{displaystyle x}

và

{displaystyle y}

được cho là trực giao:

x ⊥ y

{displaystyle xbot y}

, nếu

( x , y ) = 0

{displaystyle (x,y)=0}

. Chúng ta có khẳng định sau: Cho

{displaystyle G}

là một không gian con của

{displaystyle H}

, khi hình chiếu

{displaystyle x_{G}}

của một vector bất kỳ

{displaystyle x}

lên

{displaystyle G}

là một vector sao cho

x −

{displaystyle x-x_{G}}

trực giao với mọi vector trong

{displaystyle G}

. Do tính chất hình học này, một số lượng lớn các cấu trúc hình học có trong không gian hữu hạn chiều có thể được chuyển cho không gian Hilbert là một đối tương nghiên cứu mang đặc tính giải tích.

Các vấn đề về cấu trúc hình học trở nên phức tạp hơn khi chúng ta đi từ không gian Hilbert đến không gian Banach, và các không gian vector tô pô, vì phép chiếu trực giao không có nghĩa trong các không gian này. Ví dụ, trong không gian

(

, 1 ≤ p ≤ ∞ )

{displaystyle varphi _{p}(mathbb {N} ,1leq pleq infty )}

, các vectơ

:= ( 0 , . . . , 0 , 1 , 0 , . . . )

{displaystyle e_{n}:=(0,…,0,1,0,…)}

tạo thành một cơ sở theo nghĩa mỗi vector

x ∈

(

)

{displaystyle xin varphi _{p}(mathbb {N} )}

có thể biểu diễn “theo toạ độ”:

x =

∑

n = 1

∞

{displaystyle x=sum _{n=1}^{infty }x_{n}e_{n}}

Việc xây dựng cơ sở cho không gian

C [ a , b ]

{displaystyle C[a,b]}

Các không gian hàm cụ thể mà chúng ta biết đén đã được nghiên cứu chi tiết, vì tính chất của các không gian này thường xác định đặc tính của lời giải cho một vấn đề bằng các phương pháp giải tích hàm. Các định lý nhúng đối với các không gian Sobolev (xem Không gian Sobolev), và các tổng quát hóa khác nhau của chúng, có thể là một ví dụ.

Tổng trực giao

H =

⨁

n = 1

∞

{displaystyle H=bigoplus _{n=1}^{infty }H_{n}}

{displaystyle H_{n}}

Thương của một không gian: Cho

( x , y )

{displaystyle (x,y)}

{displaystyle X}

( x , x ) = 0

{displaystyle (x,x)=0}

x ≠ 0

{displaystyle xneq 0}

{displaystyle H}

{displaystyle X}

{displaystyle x}

( x , x ) = 0

{displaystyle (x,x)=0}

0 ∈ H

{displaystyle 0in H}

Tích tensor

H =

⨁

n = 1

∞

{displaystyle H=bigoplus _{n=1}^{infty }H_{n}}

{displaystyle H_{n}}

Phiếm hàm

[

sửa

]

Cho

{displaystyle X}

là một không gian Banach và

∗

{displaystyle X^{*}}

là tập hợp các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên

{displaystyle X}

. Khi đó

∗

{displaystyle X^{*}}

là không gian vector đối với các phép tính cộng và nhan với một số thông thường. Tập hợp

∗

{displaystyle X^{*}}

sẽ trở thành một không gian Banach nếu ta đưa ra định nghĩa chuẩn như sau

‖

∗

‖ :=

sup

x ∈ X , ‖ x ‖ ≤ 1

‖ ⟨

∗

, x ⟩ ‖

{displaystyle lVert x^{*}rVert :=sup _{xin X,lVert xrVert leq 1}lVert langle x^{*},xrangle rVert }

ở đây

⟨

∗

, x ⟩

{displaystyle langle x^{*},xrangle }

là giá trị của phiếm hàm

∗

{displaystyle x^{*}}

tại

{displaystyle x}

. Không gian

∗

{displaystyle X^{*}}

được gọi là không gian liên hợp (không gian đối ngẫu) của

{displaystyle X}

(xem Không gian liên hợp).

Nếu X là hữu hạn chiều, thì mọi phiếm hàm tuyến tính đều có dạng

⟨

∗

, x ⟩ =

∑

n = 1

∗

{displaystyle langle x^{*},xrangle =sum _{n=1}^{d}x_{n}^{*}x_{n}}

với

{displaystyle d}

là số chiều của

{displaystyle X}

{displaystyle x_{n}}

là toạ độ của

{displaystyle x}

và

∗

{displaystyle x_{n}^{*}}

là các số được xác đinh bởi phiếm hàm

∗

{displaystyle X^{*}}

. Công thức này còn đúng trong không gian Hilbert

{displaystyle H}

: Theo định lý Riesz, đối với mọi phiến hàm tuyến tính liên tục

∗

∈

∗

{displaystyle x^{*}in X^{*}}

, tồn tại một phần tử

a ∈ X

{displaystyle ain X}

, sao cho

⟨

∗

, x ⟩ = ( a , x )

{displaystyle langle x^{*},xrangle =(a,x)}

Công thức này cho thấy không gian Hilbert trùng với không gian liên hợp của nó.

Đối với không gian Banach, tình hình trở nên phức tạp hơn: Có thể xây dựng

∗ ∗

:= (

∗

)

∗

∗ ∗ ∗

:= ( (

∗

)

∗

)

∗

, . . .

{displaystyle X^{**}:=(X^{*})^{*},X^{***}:=((X^{*})^{*})^{*},…}

nhưng những không gian này có thể rất khác biệt. Mặt khác, luôn tồn tại một phép nhúng chính tắc từ

{displaystyle X}

vào

∗ ∗

{displaystyle X^{**}}

đặt tướng ứng phần tử

∗ ∗

∈

∗ ∗

{displaystyle x^{**}in X^{**}}

x∗∗ ∈ X∗∗ với mọi phần tử

x ∈ X

{displaystyle xin X}

theo công thức

⟨

∗ ∗

∗

⟩ = ⟨

∗

, x ⟩

{displaystyle langle x^{**},x^{*}rangle =langle x^{*},xrangle }

. Các không gian

{displaystyle X}

có

∗ ∗

= X

{displaystyle X^{**}=X}

được gọi là không gian phản xạ. Nói chung, trong trường hợp không gian Banach, ngay cả sự tồn tại của các phiếm hàm tuyến tính không tầm thường (nghĩa là, không đồng nhất bằng 0) cũng không phải là một vấn đề đơn giản. Vấn đề này dễ dàng được giải quyết một cách khẳng định nhờ có định lý Hahn-Banach (xem Định lý Hahn-Banach).

Đối với một số không gian cụ thể, không gian liên hợp có thể được mô tả một cách tường minh. Tuy nhiên, đối với phần lớn các không gian Banach, và đặc biệt là đối với không gian véc tơ tôpô, các phiếm hàm là các phần tử kiểu mới không thể biểu diễn đơn giản bằng ngôn ngữ của giải tích cổ điển. Các phần tử của không gian liên hợp còn được gọi là hàm suy rộng (xem Hàm suy rộng).

Toán tử

[

sửa

]

Một trong những đối tượng chính của các nghiên cứu trong giải tích hàm là toán tử

{displaystyle A}

từ không gian vector tô pô

{displaystyle X}

vào không gian vector tô pô

{displaystyle Y}

(phần lớn,

{displaystyle X}

và

{displaystyle Y}

là định chuẩn hay Hilbert), trước tiên là cả các toán tử tuyến tính (xem Toán tử tuyến tính).

Khi

{displaystyle X}

và

{displaystyle Y}

có

{displaystyle d}

chiều hữu hạn, toán tử tuyến tính

{displaystyle A}

có dạng

( A x

)

∑

n = 1

j n

{displaystyle (Ax)_{j}=sum _{n=1}^{d}a_{jn}x_{n},}

ở đây

, . . .

{displaystyle x_{1},…x_{d}}

là toạ độ của vector

{displaystyle x}

đối với một cơ sở nhất định, và

A ( x

)

, . . . , ( A x

)

{displaystyle A(x)_{1},…,(Ax)_{d}}

là toạ độ của vector

y = A x

{displaystyle y=Ax}

. Như vậy, trong trường hợp hữu hạn chiều, mỗi toán tử tuyến tính đối với các cơ sở xác định trong

{displaystyle X}

và

{displaystyle Y}

, có một ma trận tương ứng

(

i j

)

i , j = 1

{displaystyle (a_{ij})_{i,j=1}^{d}}

. Việc nghiên cứu những toán tử tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều thuộc về đại số tuyến tinh (xem Đại số tuyến tính).

Tình hình trở nên phức tạp hơn khi

{displaystyle X}

và

{displaystyle Y}

là không gian vô hạn chiều (thậm chí cả khi là không gian Hilbert). Trước hết, hai lớp toán tử xuất hiện ở đây: các toán tử liên tục hay toán tử bị chặn) và toán tử không liên tục. Các toán tử loại đầu tiên là đơn giản hơn, nhưng loại thứ hai lại hay gặp hơn, ví dụ: các toán tử vi phân là toán tử không liên tục.

Lớp quan trọng (nhất là đối với cơ học lượng tử) của các toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert đã được nghiên cứu hầu như triệt để (xem Toán tử tự liên hợp).

Trong số các lớp đặc biệt của các toán tử trên một không gian Banach, các toán tử liên tục hoàn toàn hoặc toán tử compact (xem Toán tử liên tục hoàn toàn, Toán tử compact) có vai trò quan trọng nhất. Nếu

{displaystyle A}

là một toán tử compact, thì phương trình

x − A x = y

{displaystyle x-Ax=y}

(với

{displaystyle y}

là một vector cho trước và

{displaystyle x}

là vector cần tìm) đã được nghiên cứu kỹ. Các khẳng định tương tự đối với phương trình tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều cũng đúng đối với phương trình này (còn được gọi là lý thuyết Fredholm). Đối với toán tử compact

{displaystyle A}

, người ta nghiên cứu điều kiện để các vector vector riêng của

{displaystyle A}

{displaystyle X}

Các kết quả cơ bản

[

sửa

]

Bây giờ chúng ta sẽ điểm qua một số kết quả cơ bản quan trọng nhất của giải tích hàm. Đó là định lý Hahn-Banach, nguyên lý bị chặn đều Banach-Steinhaus, định lý ánh xạ mở Banach-Schauder và đinh lý đồ thị đóng.

Trước tiên là định lý Hahn-Banach (xem Định lý Hahn-Banach). Định lý HahnBanach là một công cụ trung tâm trong giải tích hàm. Nó cho phép mở rộng các phiếm hàm tuyến tính bị chặn, được xác định trên một không gian con của không gian vector ra toàn bộ không gian, và nó cũng cho thấy rằng có “đủ” phiếm hàm tuyến tính liên tục được xác định trên mỗi không gian định chuẩn để nghiên cứu không gian liên hợp của nó trở nên đáng được quan tâm. Chúng ta có định lý sau đây.

Định lý Hahn-Banach. Nếu

p : X →

{displaystyle p:Xto mathbb {R} }

là một hàm dưới tuyến tính xác định trên không gian vector thực

{displaystyle X}

, và

{displaystyle varphi }

là một phiếm hàm tuyến tính xác định trên một không gian con

{displaystyle Y}

của

{displaystyle X}

sao cho

φ ( x ) ≤ p ( x ) ∀ x ∈ X ,

{displaystyle varphi (x)leq p(x)forall xin X,}

thì tồn tại một hàm tuyến tính

l a m b d a

{displaystyle /lambda}

xác đinh trên toàn bộ không gian

{displaystyle X}

sao cho

λ ( x ) = φ ( x ) ∀ x ∈ Y , λ ( x ) ≤ p ( x ) ∀ x ∈ X

{displaystyle lambda (x)=varphi (x)forall xin Y,lambda (x)leq p(x)forall xin X}

Nguyên lý bị chặn đều Banach-Steinhaus, hay còn được gọi là Định lý BanachSteinhaus (xem Định lý Banach-Steinhaus). Nguyên lý này khẳng định rằng đối với một họ các toán tử tuyến tính liên tục (và do đó bị chặn) có miền xác định là một không gian Banach, sự bị chặn theo từng điểm tương đương với sự bị chặn đều theo chuẩn. Định lý này được công bố lần đầu tiên vào năm 1927 bởi Stefan Banach và Hugo Steinhaus, nhưng nó cũng đã được Hans Hahn chứng minh một cách độc lập. Cụ thể hơn, chúng ta có định lý sau đây.

Định lý Banach-Steinhaus. Cho

{displaystyle X}

là không gian Banach và

{displaystyle Y}

là một không gian véc tơ định chuẩn. Giả sử

{displaystyle F}

là tập hợp các toán tử tuyến tính liên tục từ

{displaystyle X}

đến

{displaystyle Y}

. Nếu với mọi

x i n X

{displaystyle x inX}

ta có

sup

T ∈ F

‖ T ( x )

‖

< ∞

{displaystyle {text{sup}}_{Tin F}lVert T(x)rVert _{Y}<infty }

khi đó

sup

T ∈ F

‖ T ( x )

‖

B ( X , Y )

< ∞

{displaystyle {text{sup}}_{Tin F}lVert T(x)rVert _{B(X,Y)}<infty }

Định lý lập ánh xạ mở [sửa] Bài chi tiết: Định lý lập ánh xạ mở. Định lý lập ánh xạ mở, hay còn được gọi là định lý Banach-Schauder (được đặt tên theo Stefan Banach và Juliusz Schauder), là một kết quả cơ bản cho biết nếu một toán tử tuyến tính liên tục giữa các không gian Banach là một phép tính thì đó là một ánh xạ mở. Cụ thể hơn,: [2]

Định lý ánh xạ mở. Nếu

{displaystyle X}

và

{displaystyle Y}

là không gian Banach và

A : X → Y

{displaystyle A:Xto Y}

là toán tử tuyến tính liên tục từ

{displaystyle X}

lên

{displaystyle Y}

, thì

{displaystyle A}

là một ánh xạ mở, tức là, nếu

{displaystyle U}

là tập hợp mở trong

{displaystyle X}

, thì

A ( U )

{displaystyle A(U)}

là tập hợp mở trong

{displaystyle Y}

Định lý đồ thị đóng. Bài chi tiết: Định lý đồ thị đóng Định lý đồ thị khép kín nói lên điều sau: Nếu

{displaystyle X}

là không gian tô pô và

{displaystyle Y}

là một không gian compact Hausdorff, thì đồ thị của một ánh xạ tuyến tính

{displaystyle A}

từ

{displaystyle X}

đến

{displaystyle Y}

đóng khi và chỉ khi

{displaystyle A}

là liên tục [3].

Tài liệu tham khảo

[

sửa

]

N. I. [N. I. Akhiezer] Ahiezer, Theory of linear operators in Hilbert space, 1–2 , Pitman, 1984 (Translated from Russian).

S. S. Banach, Théorie des opérations linéaires, Hafner, 1932.

S. S. Banach, A course of functional analysis, Kiev, 1948 (In Ukrainian).

N. Bourbaki, Elements of mathematics. Topological vector spaces, Springer, 1987 (Translated from French).

J. B. Conway, A course in functional analysis, Springer, 1985.

N. Dunford and J. T. Schwartz, Linear operators, 1–3 , Interscience, 1958–1971.

P. Enflo,¨ A counterexample to the approximation problem in Banach spaces, Acta. Math. , 130 (1973) pp. 309–317.

A. Grothendieck, Résumé de la théorie métrique des produits tensoriels topologiques, Bol. Soc. Mat. São Paulo , 8 (1956) pp. 1–79.

E. Hille and R.S. Phillips, Functional analysis and semi-groups, Amer. Math. Soc., 1957.

L. V. Kantorovich, Functional analysis and applied mathematics, Uspekhi Mat. Nauk , 3 : 6 (1948) pp. 89–185 (In Russian).

L. V. Kantorovich, G.P. Akilov, Functionalanalysis in normierten Raumen ¨ , Akademie Verlag, 1964 (Translated from Russian).

A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin, Elements of the theory of functions and functional analysis, 1–2 , Graylock, 1957–1961 (Translated from Russian).

J. Lindenstrauss, L. Tzafriri, Classical Banach spaces , 1–2 , Springer, 1977–1979.

M. Reed and B. Simon, Methods of modern mathematical physics, 1–4 , Acad. Press, 1972–1978.

F. Riesz and B. Szokefalvi-Nagy, ¨ Functional analysis, F. Ungar, 1955 (Translated from French).

W. Rudin, Functional analysis, McGraw-Hill, 1973.

H. H. Schaefer, Topological vector spaces, Macmillan, 1966.

S. L. Sobolev, Applications of functional analysis in mathematical physics, Amer. Math. Soc., 1963 (Translated from Russian).

W. I. [V.I. Sobolev] Sobolew, Elemente der Funktionalanalysis, H.Deutsch , Frankfurt a.M., 1979 (Translated from Russian).

K. Yosida, Functional analysis, Springer, 1980, pp. Chapt. 8, Sect. 4; 5.

Giải Bài Tập Xác Suất Thống Kê Bách Khoa

Giải Bài Tập Xác Suất Thống Kê Đại Học Bách Khoa Hà Nội, Giải Bài Tập Xác Suất Thống Kê Bách Khoa, Giải Bài Tập Xác Suất Thống Kê Đại Học Bách Khoa, Đề Thi Xác Suất Thống Kê Đại Học Bách Khoa, Bài Giảng Xác Suất Thống Kê Bách Khoa Hà Nội, Bài Giảng Xác Suất Thống Kê Đại Học Bách Khoa Hà Nội, Giải Bài Tập Cơ Lưu Chất Đại Học Bách Khoa, Bài Giải Xác Suất Thống Kê, Giải Bài Tập Xác Suất Thống Kê Đại Học, Bộ Đề Thi Và Lời Giải Xác Suất Thống Kê, Bài Giải Bài Tập Xác Suất Thống Kê, Giải Bài Tập Xác Suất Thống Kê, Bộ Đề Thi Xác Suất Thống Kê Có Lời Giải, Bài Giải Lý Thuyết Xác Suất Thống Kê, Bài Giải Xác Suất Thống Kê Chương 2, Giải Bài Tập Xác Suất Thống Kê Chương 2, Bài Giải Xác Suất Thống Kê Chương 3, Bài Giải Xác Suất Thống Kê Chương 4, Bài Giải Xác Suất Thống Kê Chương 1, Giải Bài Tập Xác Suất Thống Kê Đại Học Chương 1, Ly Thuyet Xac Suat Thong Ke Co Loi Giai, Giải Bài Tập Xác Suất Thống Kê Của Nguyễn Cao Văn, Giải Bài Tập Xác Suất Thống Kê Chương 1, Giải Bài Tập Xác Suất Và Thống Kê Toán, Bài Giải Xác Suất Thống Kê Chương 5, Giải Bài Tập Xác Suất Thống Kê Chương 5, Thông Báo Tuyển Sinh Đại Học Bách Khoa Hà Nội, Công Nghệ Thông Tin Đại Học Bách Khoa Tp Hcm, Bài Giải Xác Suất Thống Kê Trần Ngọc Hội, Giải Bài Tập Lý Thuyết Xác Suất Thống Kê Toán, Giải Xác Suất Thống Kê Chương 6 Mẫu Ngẫu Nhiên, Giải Bài Tập Xác Suất Thống Kê Chương 3 Kinh Tế Quốc Dân, Giải Bài Tập Xác Suất Thống Kê Chương 6 Kinh Tế Quốc Dân, Bài Giải Xác Suất Thống Kê Trần Ngọc Hội 2009, Giải Bài Tập Xác Suất Thống Kê Chương 2 Kinh Tế Quốc Dân, Thời Khóa Biểu Cao Đẳng Bách Khoa Đà Nẵng, Thời Khoá Biểu Đại Học Bách Khoa, Thời Khoá Biểu Bách Khoa, Hse Bách Khoa , Bìa Đại Học Bách Khoa Hà Nội, Mẫu Bìa Đại Học Bách Khoa, Mức Học Phí Đại Học Bách Khoa Hà Nội, Mẫu Bìa Đồ án Đại Học Bách Khoa Hà Nội, Đại Học Bách Khoa Hà Nội, Mức Học Phí K62 Bách Khoa, Bách Khoa Thư Hà Nội Tập 14, Mẫu Đơn Xin Dự Thi Cao Học Bách Khoa, Bách Khoa Hà Nội, Bài Giải Xác Suất, Giải Bài Tập Xác Suất, Báo Cáo Thực Tập Bách Khoa, Bách Khoa Đà Nẵng, Chuẩn Đầu Ra Đại Học Bách Khoa Hà Nội, Tài Liệu Bách Khoa, Bia Do An Tot Nghiep Dai Hoc Bach Khoa, Mẫu Đồ án Tốt Nghiệp Đại Học Bách Khoa Hà Nội, Đề Thi Riêng Bách Khoa, Báo Cáo Thực Tập Đại Học Bách Khoa, Mẫu Đồ án Tốt Nghiệp Bách Khoa, Lịch Học Bách Khoa Hà Nội, Đề Cương Bách Khoa, Lịch Học Bách Khoa, Lịch Học Đại Học Bách Khoa Tp Hcm, Đh Bách Khoa Tphcm, Kế Hoạch Học Tập Đại Học Bách Khoa Hà Nội, Địa Chỉ Trường Bách Khoa Hà Nội, Kế Hoạch Học Tập Bách Khoa, Tài Liệu Bách Khoa Hà Nội, 5 Bài Thí Nghiệm Cơ Học Đất (Đh Bách Khoa), Mẫu Đơn Xin Thôi Học Đại Học Bách Khoa, Mẫu Đơn Xin Thôi Học Đại Học Bách Khoa Hà Nội, Thi 2 Kỹ Năng Bách Khoa, Từ Điển Bách Khoa, Điểm Thi Bách Khoa Hà Nội, Lịch Học Đại Học Bách Khoa Hà Nội, Địa Chỉ Trường Bách Khoa, Bìa Triết 2 Đại Học Bách Khoa, Địa Chỉ Trường Đại Học Bách Khoa, Địa Chỉ Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội, Địa Chỉ Trường Đại Học Bách Khoa Thủ Đức, Địa Chỉ Trường Đại Học Bách Khoa Tp Hcm, Điểm Thi Bách Khoa, Đề Cương ôn Tập Bách Khoa, Thủ Tục Xin Thôi Học Đại Học Bách Khoa, Điểm Thi Đại Học Bách Khoa, Địa Chỉ Trường Đại Học Bách Khoa Cơ Sở 2, Giải Bài Tập Xác Suất Của Biến Cố, Chương Trình Đào Tạo Đại Học Bách Khoa, Sổ Tay Sinh Viên Bách Khoa, Chương Trình Đào Tạo Đại Học Bách Khoa Tp Hcm, Xét Tuyển Đại Học Bách Khoa Hà Nội 2020, Chương Trình Đào Tạo Đại Học Bách Khoa Hà Nội, Xét Tuyển Đại Học Bách Khoa Tphcm, Sổ Tay Sinh Viên Bách Khoa K64, Xét Tuyển Đại Học Bách Khoa Hà Nội Năm 2020, Chương Trình Đào Tạo Bách Khoa, Giáo Trình C Đại Học Bách Khoa Hà Nội, Sổ Tay Sinh Viên Đại Học Bách Khoa, Điện Tử Y Sinh Đại Học Bách Khoa Hà Nội, Đề Cương Triết 2 Bách Khoa,

Giải Bài Tập Xác Suất Thống Kê Đại Học Bách Khoa Hà Nội

Đề Thi Xác Suất Thống Kê Đại Học Bách Khoa

Đề Thi Xác Suất Thống Kê Đại Học Bách Khoa, Giải Bài Tập Xác Suất Thống Kê Đại Học Bách Khoa, Giải Bài Tập Xác Suất Thống Kê Đại Học Bách Khoa Hà Nội, Giải Bài Tập Xác Suất Thống Kê Bách Khoa, Bài Giảng Xác Suất Thống Kê Đại Học Bách Khoa Hà Nội, Bài Giảng Xác Suất Thống Kê Bách Khoa Hà Nội, Thông Báo Tuyển Sinh Đại Học Bách Khoa Hà Nội, Công Nghệ Thông Tin Đại Học Bách Khoa Tp Hcm, Thời Khóa Biểu Cao Đẳng Bách Khoa Đà Nẵng, Thời Khoá Biểu Đại Học Bách Khoa, Thời Khoá Biểu Bách Khoa, Bách Khoa Thư Hà Nội Tập 14, Đại Học Bách Khoa Hà Nội, Mẫu Đơn Xin Dự Thi Cao Học Bách Khoa, Bách Khoa Hà Nội, Mẫu Bìa Đồ án Đại Học Bách Khoa Hà Nội, Mẫu Bìa Đại Học Bách Khoa, Bìa Đại Học Bách Khoa Hà Nội, Hse Bách Khoa , Mức Học Phí Đại Học Bách Khoa Hà Nội, Mức Học Phí K62 Bách Khoa, Mẫu Đơn Xin Thôi Học Đại Học Bách Khoa Hà Nội, Điểm Thi Đại Học Bách Khoa, Đề Thi Riêng Bách Khoa, Điểm Thi Bách Khoa Hà Nội, Đề Cương ôn Tập Bách Khoa, Địa Chỉ Trường Đại Học Bách Khoa Tp Hcm, Mẫu Đơn Xin Thôi Học Đại Học Bách Khoa, Bia Do An Tot Nghiep Dai Hoc Bach Khoa, Điểm Thi Bách Khoa, Tài Liệu Bách Khoa, Lịch Học Bách Khoa, Báo Cáo Thực Tập Bách Khoa, Địa Chỉ Trường Đại Học Bách Khoa Thủ Đức, Địa Chỉ Trường Bách Khoa Hà Nội, Địa Chỉ Trường Bách Khoa, 5 Bài Thí Nghiệm Cơ Học Đất (Đh Bách Khoa), Địa Chỉ Trường Đại Học Bách Khoa, Thủ Tục Xin Thôi Học Đại Học Bách Khoa, Bách Khoa Đà Nẵng, Mẫu Đồ án Tốt Nghiệp Bách Khoa, Mẫu Đồ án Tốt Nghiệp Đại Học Bách Khoa Hà Nội, Báo Cáo Thực Tập Đại Học Bách Khoa, Địa Chỉ Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội, Kế Hoạch Học Tập Đại Học Bách Khoa Hà Nội, Kế Hoạch Học Tập Bách Khoa, Địa Chỉ Trường Đại Học Bách Khoa Cơ Sở 2, Bìa Triết 2 Đại Học Bách Khoa, Từ Điển Bách Khoa, Chuẩn Đầu Ra Đại Học Bách Khoa Hà Nội, Đh Bách Khoa Tphcm, Lịch Học Bách Khoa Hà Nội, Lịch Học Đại Học Bách Khoa Hà Nội, Lịch Học Đại Học Bách Khoa Tp Hcm, Tài Liệu Bách Khoa Hà Nội, Đề Cương Bách Khoa, Thi 2 Kỹ Năng Bách Khoa, Giáo Trình C Đại Học Bách Khoa Hà Nội, Bách Khoa Công An Nhân Dân, Xác Nhận Bách Khoa Đà Nẵng, Email Của Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội, Giáo Trình C Đại Học Bách Khoa, Email Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội, Mẫu Bìa Tiểu Luận Bách Khoa Hà Nội, Tiểu Luận Đại Học Bách Khoa Hà Nội, Đơn Xin Miễn Giảm Học Phí Đại Học Bách Khoa, Email Trường Đại Học Bách Khoa, Email Trường Bách Khoa, Địa Chỉ Trường Đại Học Bách Khoa Đà Nẵng, Xét Tuyển Đại Học Bách Khoa Tphcm, Xét Tuyển Đại Học Bách Khoa Hà Nội Năm 2020, Xét Tuyển Đại Học Bách Khoa Hà Nội 2020, Từ Điển Bách Khoa Việt Nam Tập 1 Pdf, Luận Văn Tốt Nghiệp Đại Học Bách Khoa, Luận Văn Thạc Sĩ Đại Học Bách Khoa, Bách Khoa Toàn Thư Biếng An, Từ Điển Bách Khoa Việt Nam Tập 1, Điện Tử Y Sinh Đại Học Bách Khoa Hà Nội, Đề Cương Đại Học Bách Khoa Hà Nội 2020, Từ Điển Bách Khoa Toàn Thư Mở, Từ Điển Bách Khoa Toàn Thư, Sổ Tay Sinh Viên Đại Học Bách Khoa Tp Hcm, Từ Điển Bách Khoa Công, Từ Điển Bách Khoa Cand, Bách Khoa Thư Hà Nội Tập 14 “di Tích – Bảo Tàng”, Đề Thi Quản Trị Học Đại Cương Bách Khoa, Đề án Tuyển Sinh Đại Học Bách Khoa Hà Nội, Đề Cương Triết 2 Bách Khoa, Sổ Tay Sinh Viên Bách Khoa, Bách Khoa Thư Di Tích – Bảo Tàng Tập 14, Sổ Tay Sinh Viên Bách Khoa K64, Sổ Tay Sinh Viên Đại Học Bách Khoa, Luận án Tiến Sĩ Đại Học Bách Khoa Hà Nội, Sổ Tay Sinh Viên Đại Học Bách Khoa Hà Nội, Từ Điển Bách Khoa Britannica, Giải Bài Tập Cơ Lưu Chất Đại Học Bách Khoa, Chương Trình Đào Tạo Đại Học Bách Khoa Hà Nội, Chương Trình Đào Tạo Đại Học Bách Khoa Tp Hcm, Chương Trình Đào Tạo Đại Học Bách Khoa, Báo Cáo Thí Nghiệm Máy Điện Bách Khoa,

Bạn đang đọc nội dung bài viết Giải Tích Hàm – Bách Khoa Toàn Thư Việt Nam trên website Asianhubjobs.com. Hy vọng một phần nào đó những thông tin mà chúng tôi đã cung cấp là rất hữu ích với bạn. Nếu nội dung bài viết hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!