Cập nhật nội dung chi tiết về Giới Hạn Của Hàm Hai Biến Số mới nhất trên website Asianhubjobs.com. Hy vọng thông tin trong bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu ngoài mong đợi của bạn, chúng tôi sẽ làm việc thường xuyên để cập nhật nội dung mới nhằm giúp bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.
6. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Không tồn tại giới hạn kép, nhưng tồn tại giới hạn lặp
Xét ví dụ 2 ở mục 4.
Ta có:
Ví dụ 2: Các giới hạn lặp tồn tại nhưng khác nhau
Ta xét hàm số
Khi đó: ,
Ví dụ 3: Tồn tại giới hạn kép, nhưng không tồn tại giới hạn lặp
nhưng không tồn tại
7. Liên tục:
Hàm số f(x; y) được gọi là liên tục tại nếu:
1. f(x; y) xác định tại
2. Tồn tại
3.
Hàm số được gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm của miền xác định Df
Nhận xét: Tổng, hiệu, tích của hai hàm liên tục là một hàm liên tục, thương của hai hàm liên tục là một hàm liên tục (nếu hàm ở mẫu số khác không).
Bài tập giải mẫu:
Bài 1: Tính giới hạn của hàm số:
Ta chứng minh hàm số không tồn tại giới hạn.
Cách 1: Thật vậy: xét dãy điểm (x;y) tiến về điểm (0;0) theo đường cong parabol : (k – hằng số). Ta có :
Do đó, giới hạn hàm số phụ thuộc vào hằng số k, nên với các giá trị k khác nhau ta sẽ có các giá trị giới hạn khác nhau.
Vậy: hàm số đã cho không có giới hạn tại điểm (0; 0)
Cách 2: Xét hai dãy điểm sau:
và
Nhưng:
Còn:
Vậy hàm số đã cho không có giới hạn
Bài 2: Tìm giới hạn của hàm số:
Cách 1: Thật vậy: xét dãy điểm (x;y) tiến về điểm (0;0) theo đường thẳng : (k – hằng số). Ta có :
Do đó, giới hạn hàm số phụ thuộc vào hằng số k, nên với các giá trị k khác nhau ta sẽ có các giá trị giới hạn khác nhau.
Vậy: hàm số đã cho không có giới hạn tại điểm (0; 0)
Cách 2: Xét hai dãy điểm sau:
và
Nhưng:
Còn:
Vậy hàm số đã cho không có giới hạn.
Cách 3: Chuyển hàm số đã cho về tọa độ cực ta có: x = r.cosφ ; y = r.sinφ. Và khi (x; y) → (0;0) thì r → 0.
Khi đó ta có:
Vậy giá trị giới hạn phụ thuộc vào góc quay φ, nên giá trị giới hạn sẽ thay đổi khi φ thay đổi.
Bài 3: Tìm giới hạn của hàm số:
Bài này chỉ khác bài trên ở chỗ tử số có thêm x. Tuy nhiên, kết quả bài toán này hoàn toàn thay đổi. ta sẽ chứng minh giới hạn hàm số sẽ bằng 0 khi (x;y) → (0; 0)
Mà
Vậy theo định lý giới hạn kẹp ta có được giới hạn hàm số bằng 0 khi (x; y) → (0;0)
Việc ta tìm cách tính giới hạn bằng cách sử dụng định lý kẹp cho bài trên xuất phát từ việc ta chuyển hàm số về tọa độ cực thì giá trị giới hạn của hàm số luôn bằng 0 khi tiến về 0, với mọi giá trị φ. Chính điều này, là điều kiện cần (nhưng không đủ) giúp cho ta biết được giá trị giới hạn hàm số là tồn tại và bằng o.
Bài 4: Tìm giới hạn của hàm số:
Các bạn có thể chứng minh bài toán này không có giới hạn bằng cách chuyển về tọa độ cực, hoặc xét dãy điểm tiến về (0;0) theo đường tròn: (k – hằng số) (xuất phát từ việc trong hàm số có chứa nên ta xây dựng đường tròn đi qua gốc tọa độ), hoặc bạn cũng có thể xét 2 dãy điểm khác nhau cùng tiến về (0; 0) là:
Bình chọn
Share this:
Thư điện tử
In
Like this:
Số lượt thích
Đang tải…
Chuyên Đề Giới Hạn Của Dãy Số Và Hàm Số
§1. Dãy số có giới hạn 0:Định nghĩa: thì (un (< (Một số dãy có giới hạn 0:
* Định lý 1: Hai dãy số (un) và (vn) Nếu (un( ( vn (n và limvn = 0 thì limun = 0. * Định lý 2: Nếu (q( < 1 thì limqn = 0. §2. Dãy số có giới hạn hữu hạn:Định nghĩa: limun = L ( lim(un – L) = 0.Định lý 1: Giả sử limun = L. Khi đó:lim(un( = (L( và Nếu un ( 0 (n thì L ( 0 và Định lý 2: Nếu limun = L, limvn = M và c là một hằng số. Khi đó:lim(un + vn) = L + M; lim(un – vn) = L – M; lim(un.vn) = L.M; lim(cun) = cL; (nếu M ≠ 0).Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: Bài tập áp dụng:1. Dùng định nghĩa, chứng minh các dãy sau có giới hạn 0: với a là số thực hữu hạn, k là số tự nhiên hữu hạn
7. Tìm các giới hạn limun với:
8. Chứng minh rằng 9. Cho dãy xác định bởi: a) CMR: với mọi n thì
b) Từ đó suy ra limun = 0.10. Cho dãy xác định bởi: a) CMR: với mọi n thì
b) Từ đó suy ra limun = 0.11. Tìm giới hạn của các dãy sau:
12. Cho dãy xác định bởi: a) CMR: với mọi n thì
Bài tập áp dụng:
3. Cho một hình vuông cạnh a. Nối trung điểm của bốn cạnh ta được một hình vuông mới nhỏ hơn. Lại làm như vậy đối với hình vuông mới. Cứ tiếp tục như thế mãi. Tìm giới hạn của tổng các diện tích của tất cả các hình vuông tạo thành.4. Tìm giới hạn sau: với (a( < 1 và (b( < 1.5. Tìm các giới hạn:
6. Tìm các giới hạn sau:
7. CMR: mỗi dãy số sau đây đều có giới hạn và tìm giới hạn đó:
§4. Giới hạn của hàm số:Định nghĩa 1: ( ( dãy (xn), limxn = x0 ta đều có limf(xn) = L. Trong đó x0 (
Giải Sách Bài Tập Toán 11 Bài 2: Giới Hạn Của Hàm Số
Sách Giải Sách Bài Tập Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số giúp bạn giải các bài tập trong sách bài tập toán, học tốt toán 11 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
Bài 4.18 trang 165 Sách bài tập Đại số 11: Dùng định nghĩa tìm các giới hạn
a) Vẽ đồ thị của hàm số f(x). Từ đó dự đoán về giới hạn của f(x) khi x → 0
b) Dùng định nghĩa chứng minh định nghĩa trên
Bài 4.20 trang 165 Sách bài tập Đại số 11: a) Chứng minh rằng hàm số y = sinx không có giới hạn khi x → +∞b) Giải thích bằng đồ thị kết luận ở câu a).
Lời giải:
Ta có, lim a n = lim 2nπ = +∞;
Lim b n = lim(π/2 + 2nπ) = lim n(π/2n + 2π) = +∞
lim sin a n = lim sin2nπ = lim 0 = 0
lim sin b n = lim sin(π/2 + 2nπ) = lim 1 = 1
Như vậy, a n → +∞, b n →+∞ nhưng lim sin a n ≠ lim sin b n. Do đó, theo định nghĩa, hàm số y = sinx không có giới hạn khi x → +∞
Lời giải:
Giả sử (x n) là dãy số bất kì thoả mãn n < a và x n → −∞
Bài 4.22 trang 165 Sách bài tập Đại số 11: Tìm giới hạn của các hàm số sau :Lời giải:
a) 0;
b) -∞;
d) -∞ và +∞
Bài 4.23 trang 165 Sách bài tập Đại số 11: Tính các giới hạn sau:
Bài 4.24 trang 166 Sách bài tập Đại số 11: Tính giới hạn của các hàm số sau khi x → +∞ và khi x → -∞
Lời giải:
a) Khi x → +∞
Khi x → -∞
b) Khi x → +∞
Khi x → -∞
c) Khi x → +∞
Khi x → -∞
Bài 4.25 trang 166 Sách bài tập Đại số 11: Cho khoảng K, x0 ∈ K và hàm số y = f(x) xác định trên K { x0}
Từ định nghĩa suy ra f(x n) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Bài 4.26 trang 166 Sách bài tập Đại số 11: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +∞)
Theo định nghĩa suy ra −f(x n) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Đặt c = x k ta có f(c) < 0
Bài tập trắc nghiệm trang 166, 167 Sách bài tập Đại số 11:
A. 1 B. +∞ C. -∞ D. -1
Lời giải:
Cách 1: Chọn đáp án từ nhận xét “Giới hạn của đa thức bậc lẻ với hệ số của biến bậc cao nhất là a, khi x → -∞ bằng +∞ (nếu a âm), bằng -∞ (nếu a dương)”.
Cách 2: Tính trực tiếp giới hạn.
Chọn đáp án: C
A. 0 B. 1 C. 3 D. +∞
Lời giải:
Tính giới hạn bằng cách phân tích tử số ra thừa số.
Chọn đáp án: C
A. 0 B. 1 C. -2/3 D. -∞
Lời giải:
Tính giới hạn bằng cách nhân tử số và mẫu số với biểu thức liên hợp của tử số.
Chọn đáp án: C
A. 2 B. 3 C. +∞ D. -∞
Lời giải:
Tính giới hạn bằng cách chia tử số và mẫu số cho x 3 hoặc x 4.
Chọn đáp án: A
Với giá trị nào của tham số m thì hàm số f(x) có giới hạn khi x → 1?
A. m = -1 B. m = 1 C. m = -2 D. m = 2
Lời giải:
Tính giới hạn trái, giới hạn phải và cho bằng nhau để tính m.
Chọn đáp án: A
Bài tập trắc nghiệm
Bài tập trắc nghiệm
Bài tập trắc nghiệm
Bài tập trắc nghiệm
Bài Tập Về Giới Hạn Của Dãy Số
4.1 Biết rằng dãy số có giới hạn là 0.
( 4.2 Cho biết dãy số có giới hạn hữu hạn, còn dãy số không có giới hạn hữu hạn. Dãy số + ) có thể có giới hạn hữu hạn không ?
lim ≤ a) Cho hai dãy số và . Biết = − ∞ và với mọi n. Có kết luận gì về giới hạn của dãy khi n → + ∞ ?
b) Tìm lim với = − n !
4.5 Tính các giới hạn sau :
4.8 Cho dãy số xác định bởi công thức truy hồi :
Chứng minh rằng có giới hạn hữu hạn khi n → + ∞ Tìm giới hạn đó.
1 , − 1/ 2 , 1/ 4 , − 1/ 8 , . . . , . . 4.9 Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn .
4.10 Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng 3 và công bội q = 2/3
4.11 Cho dãy số có số hạng tổng quát là :
= sin α + α + + . . . α với α ≠ π/ 2 + k/ π .
Tìm giới hạn của
4.12 Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 34,121212… (chu kì là 12). Hãy viết a dưới dạng một phân số.
4.13 Giới hạn của dãy số với = là :
D. Không tồn tại .
4.15 lim ( – ) n bằng :
4.16 Nếu S = 1 + 0,9 + + + …. + + … thì :
D. Không thể tính được S.
Bạn đang đọc nội dung bài viết Giới Hạn Của Hàm Hai Biến Số trên website Asianhubjobs.com. Hy vọng một phần nào đó những thông tin mà chúng tôi đã cung cấp là rất hữu ích với bạn. Nếu nội dung bài viết hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!