Cập nhật nội dung chi tiết về Lý Thuyết Phương Trình Chứa Căn Môn Toán Lớp 10 mới nhất trên website Asianhubjobs.com. Hy vọng thông tin trong bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu ngoài mong đợi của bạn, chúng tôi sẽ làm việc thường xuyên để cập nhật nội dung mới nhằm giúp bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.
1. Phương trình chứa căn cơ bản
+) (sqrt {fleft( x right)} = gleft( x right) Leftrightarrow left{ begin{array}{l}gleft( x right) ge 0\fleft( x right) = {g^2}left( x right)end{array} right.)
+) (sqrt {fleft( x right)} = sqrt {gleft( x right)} Leftrightarrow left{ begin{array}{l}fleft( x right) ge 0\fleft( x right) = gleft( x right)end{array} right.) hoặc (left{ begin{array}{l}gleft( x right) ge 0\fleft( x right) = gleft( x right)end{array} right.)
ở đây, với các bài toán cụ thể các em có thể chọn một trong hai điều kiện (fleft( x right) ge 0) hoặc (gleft( x right) ge 0) phụ thuộc vào hai hàm (fleft( x right),gleft( x right)), hàm nào đơn giản hơn thì ta chọn, không cần giải hết các điều kiện (fleft( x right) ge 0) và (gleft( x right) ge 0)
+) (fleft( x right).sqrt {gleft( x right)} = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}gleft( x right) = 0\left{ begin{array}{l}gleft( x right) ge 0\fleft( x right) = 0end{array} right.end{array} right.)
2. Một số phương pháp giải phương trình chứa căn
Phương pháp chung:
– Bước 1: Đặt điều kiện cho căn có nghĩa.
– Bước 2: Chuyển vế để hai vế không âm.
– Bước 3: Bình phương hai vế để đưa về một trong các dạng phương trình căn cơ bản.
a) Phương pháp đặt ẩn phụ
Loại 1: (a.fleft( x right) + bsqrt {fleft( x right)} + c = 0)
Đặt (t = sqrt {fleft( x right)} ge 0) thì phương trình trở thành (a{t^2} + bt + c = 0)
Loại 2: (sqrt {fleft( x right)} + sqrt {gleft( x right)} + sqrt {fleft( x right).gleft( x right)} = hleft( x right))
Đặt (t = sqrt {fleft( x right)} + sqrt {gleft( x right)} ) và biến đổi phương trình về ẩn (t)
Loại 3: (sqrt {fleft( x right)} + sqrt {gleft( x right)} = hleft( x right))
Đặt ẩn phụ (u = sqrt {fleft( x right)} ,v = sqrt {gleft( x right)} ) đưa về hệ phương trình với ẩn (u,v)
b) Đưa về phương trình tích
Phương pháp chung:
Đoán nghiệm của phương trình để định hướng đưa về phương trình dạng tích hoặc nhân biểu thức liên hợp.
c) Sử dụng hằng đẳng thức đưa về phương trình cơ bản
Loại 1: (sqrt[3]{A} + sqrt[3]{B} = sqrt[3]{C},,,,,,left( * right))
– Bước 1: Biến đổi (left( * right) Leftrightarrow {left( {sqrt[3]{A} + sqrt[3]{B}} right)^3} = {left( {sqrt[3]{C}} right)^3} Leftrightarrow A + B + 3sqrt[3]{{AB}}left( {sqrt[3]{A} + sqrt[3]{B}} right) = C,,,,left( {**} right))
– Bước 2: Thay (sqrt[3]{A} + sqrt[3]{B} = sqrt[3]{C}) vào (left( {**} right)) ta được: (left( {**} right) Rightarrow A + B + 3sqrt[3]{{ABC}} = C)
– Bước 3: Giải phương trình trên và kết luận nghiệm
Loại 2: (sqrt {fleft( x right)} + sqrt {gleft( x right)} = sqrt {hleft( x right)} + sqrt {kleft( x right)} ) với (left[ begin{array}{l}fleft( x right) + hleft( x right) = gleft( x right) + kleft( x right)\fleft( x right).hleft( x right) = gleft( x right).kleft( x right)end{array} right.)
– Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng: (sqrt {fleft( x right)} – sqrt {hleft( x right)} = sqrt {kleft( x right)} – sqrt {gleft( x right)} )
– Bước 2: Bình phương, giải phương trình hệ quả.
Loại 3: Căn trong căn
Cách Giải Phương Trình Chứa Căn, Bất Phương Trình Chứa Căn
Phương trình chứa căn – Bất phương trình chứa căn
Các dạng phương trình chứa căn bậc hai, bất phương trình chứa căn thức bậc hai luôn là một dạng toán xuất hiện nhiều trong các kì thi học kì, thi tuyển sinh vào lớp 10, thi THPTQG.
Để giải được phương trình, bất phương trình chứa căn, các em học sinh cần nắm vững kiến thức sau:
1. Nguyên tắc chung để giải phương trình, bất phương trình chứa căn bậc 2
Nguyên tắc chung để khử dấu căn thức là bình phương 2 vế của một phương trình, bất phương trình. Tuy nhiên, để đảm bảo việc bình phương này cho chúng ta một phương trình, bất phương trình mới tương đương thì cần phải có điều kiện cả 2 vế pt, bpt đều không âm.
Do đó, về bản chất, chúng ta lần lượt kiểm tra 2 trường hợp âm, và không âm của các biểu thức (thường là 1 vế của phương trình, bất phương trình đã cho).
2. Các dạng phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn cơ bản
Có khoảng 4 dạng phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn cơ bản đó là
3. Cách giải phương trình chứa căn, cách giải bất phương trình chứa căn
Chi tiết về phương pháp giải các dạng phương trình, bất phương trình chứa căn, xin mời thầy cô và các em học sinh theo dõi trong video sau đây.
4. Một số ví dụ về phương trình và bất phương trình chứa căn thức
Ví dụ 1. Giải phương trình
$$sqrt {4 + 2x – {x^2}} = x – 2$$
Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với
[begin{array}{l} ,,,,,,,left{ begin{array}{l} x – 2 ge 0\ 4 + 2x – {x^2} = {(x – 2)^2} end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x ge 2\ {x^2} – 3x = 0 end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x ge 2\ x = 0, vee ,x = 3 end{array} right. \ Leftrightarrow x = 3 end{array}] Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 3$.
Ví dụ 2. Giải phương trình
[sqrt {25 – {x^2}} = x – 1]
Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với
[begin{array}{l} ,,,,,,,left{ begin{array}{l} x – 1 ge 0\ 25 – {x^2} = {(x – 1)^2} end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x ge 1\ 2{x^2} – 2x – 24 = 0 end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x ge 1\ x = 4, vee ,x = – 3 end{array} right. \ Leftrightarrow x = 4 end{array}] Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=4$.
Ví dụ 3. Giải phương trình [sqrt {3{x^2} – 9x + 1} + 2 = x]
Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với
[begin{array}{l} ,,,,,,,,sqrt {3{x^2} – 9x + 1} = x – 2\ , Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x – 2 ge 0\ 3{x^2} – 9x + 1 = {(x – 2)^2} end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x ge 2\ 2{x^2} – 5x – 3 = 0 end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x ge 2\ x = 3 vee ,x = – frac{1}{2} end{array} right. \ Leftrightarrow x = 3 end{array}] Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 3$.
Ví dụ 4. Giải phương trình $$sqrt {{x^2} – 3x + 2} = x – 1$$
Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với $$begin{array}{l} ,,,,,,,left{ begin{array}{l} x – 1 ge 0\ {x^2} – 3x + 2 = {left( {x – 1} right)^2} end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x ge 1\ x = 1 end{array} right. \ Leftrightarrow x = 1 end{array}$$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 1$.
Ví dụ 5. Giải phương trình $$sqrt {{x^2} – 5x + 4} = sqrt { – 2{x^2} – 3x + 12} $$
Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với $$begin{array}{l} ,,,,,,,left{ begin{array}{l} {x^2} – 5x + 4 ge 0\ {x^2} – 5x + 4 = – 2{x^2} – 3x + 12 end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} left( {x – 1} right)left( {x – 4} right) ge 0\ 3{x^2} – 2x – 8 = 0 end{array} right. & \ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} left[ begin{array}{l} x le 1\ x ge 4 end{array} right.\ left[ begin{array}{l} x = 2\ x = frac{{ – 8}}{6} end{array} right. end{array} right. Leftrightarrow x = frac{{ – 8}}{6} end{array}$$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = frac{-8}{6}$.
Ví dụ 6. Giải bất phương trình $$x + 1 ge sqrt {2left( {{x^2} – 1} right)} $$
Hướng dẫn. Bất phương trình đã cho tương đương với $$begin{array}{l} ,,,,,,,left{ begin{array}{l} x + 1 ge 0\ {left( {x + 1} right)^2} ge 2left( {{x^2} – 1} right) ge 0 end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x ge – 1\ {x^2} – 2x – 3 le 0\ {x^2} – 1 ge 0 end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x ge – 1\ – 1 le x le 3\ left[ begin{array}{l} x le – 1\ x ge 1 end{array} right. end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = – 1\ 1 le x le 3 end{array} right. end{array}$$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = left[ {1;3} right] cup left{ { – 1} right}$.
Ví dụ 7. Giải bất phương trình $$2x – 5 < sqrt { – {x^2} + 4x – 3} $$
Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với $$left[ begin{array}{l} left{ begin{array}{l} 2x – 5 < 0\ – {x^2} + 4x – 3 ge 0 end{array} right. & left( 1 right)\ left{ begin{array}{l} 2x – 5 ge 0\ {left( {2x – 5} right)^2} < – {x^2} + 4x – 3 end{array} right. & left( 2 right) end{array} right.$$
Hệ bất phương trình (1) tương đương với $$left{ begin{array}{l} x < frac{5}{2}\ 1 le x le 3 end{array} right. Leftrightarrow 1 le x < frac{5}{2}$$
Hệ bất phương trình (2) tương đương với $$begin{array}{l} ,,,,,,,left{ begin{array}{l} x ge frac{5}{2}\ 5{x^2} – 24x + 28 < 0 end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x ge frac{5}{2}\ 2 < x < frac{{14}}{5} end{array} right. Leftrightarrow frac{5}{2} le x < frac{{14}}{4} end{array}$$
Lấy hợp tập nghiệm của 2 trường hợp trên, được đáp số cuối cùng là $S = left[ {1;frac{{14}}{5}} right)$.
Ví dụ 8. Giải phương trình $$sqrt {x + 4} – sqrt {1 – x} = sqrt {1 – 2x} $$
Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với
$$begin{array}{l} ,,,,,,,sqrt {x + 4} = sqrt {1 – 2x} + sqrt {1 – x} \ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} – 4 le x le frac{1}{2}\ x + 4 = 1 – x + 2sqrt {(1 – x)(1 – 2x)} + 1 – 2x end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} – 4 le x le frac{1}{2}\ sqrt {(1 – x)(1 – 2x)} = 2x + 1 end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} – 4 le x le frac{1}{2}\ x ge – frac{1}{2}\ (1 – x)(1 – 2x) = 4{x^2} + 4x + 1 end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} – frac{1}{2} le x le frac{1}{2}\ x = 0 vee x = – frac{7}{2} end{array} right. Leftrightarrow x = 0 end{array}$$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 0$.
Ví dụ 9. Giải phương trình $$sqrt {3x + 1} – sqrt {2x – 1} = sqrt {6 – x} $$
Hướng dẫn. Điều kiện $left{ begin{align} & 3x+1ge 0 \ & 2x-1ge 0 \ & 6-xge 0 \ end{align} right.Leftrightarrow left{ frac{1}{2}le xle 6 right.$
Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương đương với $$begin{array}{l} ,,,,,,,sqrt {3x + 1} – sqrt {2x – 1} = sqrt {6 – x} \ Leftrightarrow ,,,sqrt {3x + 1} = sqrt {6 – x} + sqrt {2x – 1} \ Leftrightarrow ,,,3x + 1 = 6 – x + 2x – 1 + 2sqrt {6 – x} sqrt {2x – 1} \ Leftrightarrow ,,,2x – 4 = 2sqrt {6 – x} sqrt {2x – 1} \ Leftrightarrow ,,x – 2 = sqrt {6 – x} sqrt {2x – 1} \ Leftrightarrow ,,{x^2} – 4x + 4 = – 2{x^2} + 13x – 6,,,(x ge 2)\ Leftrightarrow ,,3{x^2} – 17x + 10 = 0\ Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = 5\ x = frac{2}{3}left( l right) end{array} right. end{array}.$$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=5$.
Ví dụ 10. Giải bất phương trình $$2sqrt{x-3}-frac{1}{2}sqrt{9-2x}ge frac{3}{2}$$
Hướng dẫn. Điều kiện $left{ begin{align} & x-3ge 0 \ & 9-2xle 0 \ end{align} right.Leftrightarrow 3le xle frac{9}{2}$
Với điều kiện trên, bất phương trình đã cho tương đương với [begin{array}{l} ,,,,,,,2sqrt {x – 3} ge frac{1}{2}sqrt {9 – 2x} + frac{3}{2}\ Leftrightarrow 4left( {x – 3} right) ge frac{1}{4}left( {9 – 2x} right) + frac{9}{4} + frac{3}{2}sqrt {9 – 2x} \ Leftrightarrow 16x – 48 ge 18 – 2x + 6sqrt {9 – 2x} \ Leftrightarrow 9x – 33 ge 3sqrt {9 – 2x} \ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} 18x – 64 ge 0\ {left( {9x – 33} right)^2} ge 9left( {9 – 2x} right) end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x ge frac{{32}}{9}\ 81{x^2} – 576x + 1008 ge 0 end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x ge frac{{32}}{9}\ left[ begin{array}{l} x le frac{{28}}{9}\ x ge 4 end{array} right. end{array} right. Leftrightarrow x ge 4 end{array}]
Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là $S=left[ 4;,frac{9}{2} right]$.
Bài Tập: Giải Phương Trình Chứa Dấu Căn
Bài 2: Bài 3: Bài 4: Bài 5: Đáp án và hướng dẫn giải Bài 1:
ĐK: x ≥ 0; y ≥ 1
Phương trình tương đương với:
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (1; 5)
ĐK: x ≥ 2; y ≥ 3; z ≥ 5
Phương trình có nghiệm duy nhất (x; y; z) = (3; 7; 14)
ĐK: x ≥ -1; y ≥ -2; z ≥ -3
Phương trình tương đương với:
Phương trình có nghiệm duy nhất (x; y; z) = (3; 7; 13)
Bài 2:
ĐK: x ≥ 0
Trục căn thức ở mẫu, phương trình có dạng:
⇔ x + 3 = x + 2√x + 1
⇔ √x = 1
⇔ x = 1 (TMĐK)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1
ĐK x ≥ 1
Phương trình có dạng:
⇔ x = 2 (TMĐK)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2
Phương trình có nghiệm x = ±√7
ĐK: x ≥ (-1)/2
Phương trình có dạng:
+ Xét 1/2 ≤ x < 1, phương trình có dạng:
⇔ 2x – 1 = 1 ⇔ x = 1 (không TMĐK)
+ Xét 1 ≤ x < 5/2,phương trình có dạng:
⇔ phương trình nghiệm đúng với 1 ≤ x < 5/2
+ Xét 5/2 ≤ x < 5,phương trình có dạng:
⇔ x = 5/2 (TMĐK)
+ Xét x ≥ 5, phương trình có dạng:
⇔ x = 13 (TMĐK)
Vậy nghiệm của phương trình là:
1 ≤ x ≤ 5/2;x = 13
ĐKXĐ: x ≥ 5/2.Phương trình có dạng:
Giải ra ta có nghiệm 5/2 ≤ x ≤ 3
Giải ra ta có nghiệm là 1 ≤ x ≤ 10
Bài 3:
Cách giải tương tự VD2
a) Phương trình có nghiệm duy nhất x = -3
b) Phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
Bài 4:
ĐKXĐ: x ≥ 1/3
Phương trình có nghiệm duy nhất x = 2/3
Cách giải tương tự câu a, phương trình có nghiệm duy nhất x = 5.
Phương trình viết dưới dạng
Giải ra phương trình có nghiệm duy nhất x = 1
d) Phương trình viết dưới dạng
Giải ra phương trình có nghiệm duy nhất x = 1
e) Phương trình có nghiệm x = 0; x =1
Bài 5:
Dấu bằng xảy ra khi x = -2; y = 2
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (-2; 2)
-2(x – 2) 2 + 5 ≤ 5 ∀x
Khi đó phương trình tương đương với:
Vấn Đề Giải Phương Trình Chứa Căn Bậc 3
B. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN BẬC 3 I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ. 1. Dạng cơ bản: 3 3A B A B= ⇔ = 33 A B A B= ⇔ = 2. Các dạng khác: Giải phương trình: 3 3 3A B C= = (*) 33 3( A B) C⇔ + = 3 3 3 3A B 3 A B ( A B) C (1)⇔ + + + = thay 3 3 3A B C+ = vào (1) ta được: 3A B 3 AB C+ + = (2) Cần nhớ (2) là hệ quả của (*), khi giải tìm nghiệm của (2) ta phải thử lại đối với phương trình (1). II. CÁC VÍ DỤ. Ví dụ 1: Giải phương trình: 3 3 32x 1 x 1 3x 2− + − = − (1) (CAO ĐẲNG HẢI QUAN năm 1997). Giải Lập phương 2 vế: 3 332x 1 x 1 3 (2x 1)(x 1)( 2x 1 x 1) 3x 2− + − + − − − + − = − 333 (2x 1)(x 1) 3x 2 0⇔ − − − = 1x2x 1 0 2 x 1 0 x 1 3x 2 0 2x 3 ⎡ =⎢− =⎡ ⎢⎢⇔ − = ⇔ =⎢⎢ ⎢⎢ − =⎣ ⎢ =⎢⎣ . Thử lại: 3 31 1 1x : (1) 2 2 2 = ⇔ − = − (thỏa) 3 3x 1: (1) 1 1= ⇔ = (thỏa) 33 32 1 1x : (1) 0 3 3 3 = ⇔ + − = (thỏa) 141 Vậy phương trình có 3 nghiệm : 1 2x ,x 1,x 2 3 = = = Ví dụ 2: Giải phương trình: 3 3 3x 1 x 2 x 3 0 (1)+ + + + + = Giải Nhận xét x = – 2 là nghiệm của phương trình (1) Ta chứng minh x = – 2 duy nhất. Đặt 3 3 3f(x) x 1 x 2 x 3= + + + + + vì x + 1, x + 2, x + 3 là những hàm số tăng trên R ⇒ hàm số f(x) tăng trên tập R và có nghiệm x = – 2. ⇒ x = – 2 duy nhất. III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ. 2.1. Giải phương trình: 3 312 x 4 x 4− + + = 2.2. Giải phương trình: 3 35x 7 5x 12 1+ − − = 2.3. Giải phương trình: 3 324 x 5 x 1+ − + = 2.4. Giải phương trình: 3 39 x 1 7 x 1 4− + + + + = 142 HƯỚNG DẪN VÀ GIẢI TÓM TẮT 2.1. 3 312 x 4 x 4− + + = (1) Lập phương 2 vế và rút gọn ta được: 2x 8x 16 0 x 4− + = ⇔ = Thử x = 4 vào (1) thỏa. 2.2. 3 35x 7 5x 12 1+ − − = Đặt 3 3u 5x 7,v 5x 12= + = − 23 3 u v 1u v 1 (u v) (u v) 3uv 19u v 19 − =⎧− =⎧⎪ ⎪⇒ ⇔⎨ ⎨ ⎡ ⎤− − + =− =⎪ ⎪⎩ ⎣ ⎦⎩ u v 1 u 3 u 2 uv 6 v 2 v 3 − = = = −⎧ ⎧ ⎧⇔ ⇔ ∨⎨ ⎨ ⎨= = = −⎩ ⎩ ⎩ 3 3 3 3 5x 7 3 5x 7 2 x 4 x 3 5x 12 2 5x 12 3 ⎧ ⎧+ = + = −⎪ ⎪⇔ ∨ ⇒ = ∨ = −⎨ ⎨− = − = −⎪ ⎪⎩ ⎩ 2.3. 3 324 x 5 x 1+ − + = Đặt 3 3u 24 x ,v 5 x= + = + 3 3 u v 1 u 3 u 2 x 9 v 2 v 3u v 19 − =⎧ = = −⎧ ⎧⎪⇒ ⇔ ∨ ⇒ =⎨ ⎨ ⎨= = −− =⎪ ⎩ ⎩⎩ 2.4. 3 39 x 1 7 x 1 4− + + + + = Đặt 3 3u 9 x 1,v 7 x 1= − + = + + 3 3 u v 4 u v 4 u v 2 uv 4u v 16 + =⎧ + =⎧⎪⇒ ⇔ ⇔ = =⎨ ⎨ =+ =⎪ ⎩⎩ ⇒ x = 0.
Bạn đang đọc nội dung bài viết Lý Thuyết Phương Trình Chứa Căn Môn Toán Lớp 10 trên website Asianhubjobs.com. Hy vọng một phần nào đó những thông tin mà chúng tôi đã cung cấp là rất hữu ích với bạn. Nếu nội dung bài viết hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!