Cập nhật nội dung chi tiết về Phương Pháp Quy Nạp Toán Học mới nhất trên website Asianhubjobs.com. Hy vọng thông tin trong bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu ngoài mong đợi của bạn, chúng tôi sẽ làm việc thường xuyên để cập nhật nội dung mới nhằm giúp bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.
Phương pháp quy nạp toán học
I. Quy nạp toán học
Cho ({n_0}) là một số nguyên dương và (P(n)) là một mệnh đề có nghĩa với mọi số tự nhiên (n ge {n_0}).
(1) Nếu (P({n_0})) là đúng.
(2) Giả sử (P(k)) đúng, ta chứng minh được (P(k + 1))cũng đúng với mọi số tự nhiên (k ge {n_0});
thì kết luận mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên (n ge {n_0}) .
II. Phương pháp quy nạp toán học
Quy trình chứng minh mệnh đề (P(n)) đúng với mọi số tự nhiên (n ge {n_0}, )({n_0} in mathbb{N}) bằng phương pháp quy nạp như sau:
Bước 1: (Cơ sở) Kiểm tra (P({n_0})) là mệnh đề đúng. Nghĩa là mệnh đề đúng với (n={n_0})
Bước 2: (Xây dựng giả thiết quy nạp) Giả sử mệnh đề đúng với (k ge {n_0}). Nghĩa là mệnh đề đúng với (n= k ge {n_0})
Bước 3. (Quy nạp) Ta chứng mệnh đề (P(k + 1)) cũng đúng. Nghĩa là mệnh đề đúng với (n= k+1)
Kết luận: (P(n)) đúng với (forall n ge {n_0}).
III. Ví dụ minh họa
Vấn đề 1: Dùng quy nạp để chứng minh đẳng thức – Bất đẳng thức
Bước 1: Tính (P({n_0}),{rm{ }}Q({n_0})) rồi chứng minh (P({n_0}) = Q({n_0}))
Bước 2: Giả sử (P(k) = Q(k);{rm{ }}k in mathbb{N},k ge {n_0}), ta cần chứng minh
(P(k + 1) = Q(k + 1)).
Ví dụ 1:
Chứng minh rằng (forall n in {{rm N}^*}) ta luôn có đẳng thức sau:
(1 + 2 + … + n = ,frac{{n(n + 1)}}{2})
Giải
Đặt ({A_n} = 1 + 2 + … + n = ,frac{{n(n + 1)}}{2},)
Bước 1. (Bước cơ sở). Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1.
Với n=1, ta có: (1 = frac{{1.(1 + 1)}}{2} = 1) (đúng)
Bước 2. (Xây dựng giả thiết quy nạp)
Giả sử mệnh đề đúng với (n = k ge 1).
nghĩa là:
({A_n} = 1 + 2 + … + n = ,frac{{n(n + 1)}}{2},)
Bước 3. (Quy nạp) ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1.
Nghĩa là: ({A_{n + 1}} = 1 + 2 + … + n + (n + 1) = ,frac{{(n + 1)(n + 2)}}{2})
Thật vậy: ({A_{n + 1}} = 1 + 2 + … + n + (n + 1) = ,frac{{n(n + 1)}}{2} + (n + 1))
(Leftrightarrow {A_{n + 1}} = ,frac{{n(n + 1) + 2(n + 1)}}{2} = frac{{(n + 1)(n + 2)}}{2}) . Suy ra mệnh đề đúng với n= k+1.
Vậy (1 + 2 + … + n = ,frac{{n(n + 1)}}{2}) (forall n in {{rm N}^*}).
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng (forall n in {{rm N}^*}) ta luôn có đẳng thức sau:
(1 + 3 + … + {(2n – 1)^2} = ,frac{{n(4{n^2} – 1)}}{3})
Giải
Đặt ({A_n} = 1 + 3 + … + {(2n – 1)^2} = ,frac{{n(4{n^2} – 1)}}{3})
Với n= 1: ({(2.1 – 1)^2} = frac{{1.({{4.1}^2} – 1)}}{3} = 1). Suy ra An đúng với n=1.
Giả sử với (n = k ge 1) ta có:
(1 + 3 + … + {(2n – 1)^2} = ,frac{{n(4{n^2} – 1)}}{3}) (giả thiết quy nạp)
Ta phải chứng minh:
({A_{n + 1}} = 1 + 3 + … + {(2n – 1)^2} + ,{[2(n + 1) – 1]^2} = ,frac{{(n + 1)[4{{(n + 1)}^2} – 1]}}{3},)
Ta có: (VT = 1 + 3 + … + {(2n – 1)^2} + ,{[2(n + 1) – 1]^2})
Theo giả thiết quy nạp ở trên: (VT = frac{{n(4{n^2} – 1)}}{3} + ,{[2(n + 1) – 1]^2})
= (frac{{4{n^3} – n + 3{{(2n + 1)}^2}}}{3}) (= frac{{4{n^3} – n + 12{n^2} + 12n + 3}}{3})
(= frac{{4{n^3} + 12{n^2} + 11n + 3}}{3}) (= frac{{4{n^3} + 4{n^2} + ,8{n^2} + 8n + 3n + 3}}{3})
(VT = frac{{(n + 1)(4{n^2} + 8n + 3)}}{3}) (1)
Ta lại có: ({rm{VP}} = ,frac{{(n + 1)[4{{(n + 1)}^2} – 1]}}{3},)
(= ,frac{{(n + 1)[4({n^2} + 2n + 1) – 1]}}{3},)
(= ,frac{{(n + 1)(4{n^2} + 8n + 4 – 1)}}{3},)
({rm{VP}} = ,frac{{(n + 1)(4{n^2} + 8n + 3)}}{3},) (2)
Từ (1) và (2): ({A_{n + 1}} = 1 + 3 + … + {(2n – 1)^2} + ,{[2(n + 1) – 1]^2} = ,frac{{(n + 1)[4{{(n + 1)}^2} – 1]}}{3},)
Vậy (1 + 3 + … + {(2n – 1)^2} = ,frac{{n(4{n^2} – 1)}}{3}) (forall n in {{rm N}^*}).
Vấn đề 2: Ứng dụng phương pháp quy nạp trong số học và trong hình học
Ví dụ 3
Chứng minh rằng (forall n in {{rm N}^*}) :
({n^3} + 2n) chia hết cho 3.
Giải
Đặt ({A_n} = {n^3} + 2n)
Bước 1. (Bước cơ sở). Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1.
Với n= 1: ({A_n} = 1 + 2 = 3, vdots ,3)
Bước 2. (Xây dựng giả thiết quy nạp). Giả sử mệnh đề đúng với (n = k ge 1)
nghĩa là:
({A_n} = {n^3} + 2n,, vdots ,,3) (giả thiết quy nạp)
Bước 3. (Quy nạp). Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1.
Thật vậy:
({A_{n + 1}} = {(n + 1)^3} + 2(n + 1),, vdots ,,3)
Ta có: ({A_{n + 1}} = {(n + 1)^3} + 2(n + 1), = ,{n^3} + 3{n^2} + 3n + 1 + 2n + 2)
(= ,{n^3} + 2n + 3({n^2} + n + 1))
Theo giả thiết quy nạp: ({n^3} + 2n,, vdots ,,3)
Đồng thời: (3({n^2} + n + 1),, vdots ,,3)
Vậy ({A_{n + 1}} = {(n + 1)^3} + 2(n + 1),, vdots ,,3)
Kết luận: ({n^3} + 2n,, vdots ,,3) (forall n in {{rm N}^*})
Ví dụ 4:
Cho (n) là số tự nhiên dương. Chứng minh rằng: ({a_n} = {16^n}-15n-1 vdots 225)
Giải
( bullet ) Với (n = 1) ta có: ({a_1} = 0 Rightarrow {a_1} vdots 225).
( bullet ) Giả sử ({a_k} = {16^k} – 15k – 1 vdots 225), ta chứng minh
({a_{k + 1}} = {16^{k + 1}} – 15(k + 1) – 1 vdots 225)
Thậ vậy: ({a_{k + 1}} = {16.16^k} – 15k – 16 = {16^k} – 15k – 1 – 15left( {{{16}^k} – 1} right))
( = {a_k} – 15left( {{{16}^k} – 1} right))
Vì ({16^k} – 1 = 15.left( {{{16}^{k – 1}} + {{16}^{k – 2}} + … + 1} right) vdots 15) và ({a_k} vdots 225)
Nên ta suy ra ({a_{k + 1}} vdots 225). Vậy bài toán được chứng minh.
Ví dụ 5
Chứng minh rằng tổng các trong một n – giác lồi ((n ge 3)) bằng ((n – 2){180^0}).
Lời giải:
( bullet ) Với (n = 3) ta có tổng ba góc trong tam giác bằng ({180^0})
( bullet ) Giả sử công thức đúng cho tất cả k-giác, với (k < n), ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng cho n-giác. Ta có thể chia n-giác bằng một đường chéo thành ra hai đa giác. Nếu số cạnh của một đa giác là k+1, thì số cạnh của đa giác kia là n – k + 1, hơn nữa cả hai số này đều nhỏ hơn n. Theo giả thiết quy nạp tổng các góc của hai đa giác này lần lượt là (left( {k – 1} right){180^0}) và (left( {n – k – 1} right){180^0}).
Tổng các góc của n-giác bằng tổng các góc của hai đa giác trên, nghĩa là ((k – 1 + n – k – 1){180^0} = (n – 2){180^0})
Suy ra mệnh đề đúng với mọi (n ge 3).
IV. Luyện tập
Câu 1: Chứng minh mệnh đề ” (forall n in {N^ * })ta luôn có (1 + 2 + … + n = frac{{nleft( {n + 1} right)}}{2})” bằng phươg pháp quy nạp toán học, bước 1 ta kiểm tra với giá trị nào của n?
A. n=0
B. n=1
C. n=2
D. n=3
—————–
Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 11 Bài 1: Phương Pháp Quy Nạp Toán Học (Nâng Cao)
Sách giải toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học (Nâng Cao) giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 11 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
Bài 1 (trang 100 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta luôn có đẳng thức sau:
Bài 2 (trang 100 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta luôn có đẳng thức sau:
Vậy (1) đúng với n=k+1 do đó (1) đúng với mọi n nguyên dương.
Bài 3 (trang 100 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta luôn có bất đẳng thức sau:
Điều này luôn đúng. Suy ra (*) đúng. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Bài 4 (trang 100 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 2 ta luôn có đẳng thức sau:
Vậy (1) đúng với n=k+1. Suy ra điều phải chứng minh.
Bài 5 (trang 100 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Cho n là một số nguyên lớn hơn 1. Hãy chứng minh bất đẳng thức sau:
Bài 6 (trang 100 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Với mọi số nguyên dương n, đặt un = 7.22n – 2 + 32n – 1(1). Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có un chia hết cho 5.
Lời giải:
Giải bài 6 trang 100 SGK Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao
Với n=1 ta có: u 1 = 7.2 2.1 – 2 + 3 2.1 – 1 = 10 chia hết cho 5. Vậy (1) đúng với n = 1.
Giả sử (1) đúng với n=k, ta chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1.
Thật vậy ta có:
Vì u k chia hết cho 5 theo giả thiết quy nạp nên từ (2) suy ra điều phải chứng minh.
Lời giải:
Giải bài 7 trang 100 SGK Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao Giải bài 7 trang 100 SGK Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao
Với n=1 ta có (1 + x) 1 = 1 + x = 1 + 1.x. Vậy (1) đúng vơi n = 1.
Giả sử (1) đúng vơi n=k, ta chứng minh nó đúng với n = k + 1.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Bài 8 (trang 100 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Một học sinh chứng minh mệnh đề “với k là số nguyên dương tùy ý, nếu 8k + 1 chia hết cho 7 thì 8k + 1 + 1 cũng chia hết cho 7″ như sau: Ta có: 8k + 1 + 1 = 8(8k + 1) – 7. Từ đây và giả thiết 8k + 1 chia hết cho 7 suy ra 8k + 1 + 1 cũng chia hết cho 7.Hỏi cách chứng minh trên, bạn học sinh đó có thể kết luận được 8 n + 1 chia hết cho 7 với mọi n nguyên dương không? Vì sao?
Lời giải:
Giải bài 8 trang 100 SGK Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao Giải bài 8 trang 100 SGK Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao
Không thể kết luận được 8 n + 1 chia hết cho 7 với mọi n nguyên dương vì chưa kiểm tra tính đúng của mệnh đề đó khi n = 1.
Hai Quy Tắc Đếm Cơ Bản (Phương Pháp Giải Bài Tập)
A. TỔ HỢP §1. HAI QUI TẮC ĐẾM CƠ BẢN B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
1. Giả sử bạn muốn mua một áo sơ mi cỡ 39 hoặc 40. Áo cỡ 39 có 5 màu khác nhau, áo cỡ 40 có 4 màu khác nhau. Hỏi bạn có bao nhiêu sự lựa chọn (về màu và cỡ áo) ?
Giải
Theo qui tắc cộng ta có 5 + 4 = 9 cách chọn áo sơ mi
2. Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số của nó đều chẵn ?
Giải
Chữ số hàng chục có thể chọn trong các chữ số có 2, 4, 6, 8; do đó có 4 cách chọn. Chữ số hàng đơn vị có thể chọn trong các chữ số 0, 2, 4, 6, 8; do đó có 5 cách chọn. Vậy theo quy tắc nhân, ta có 4.5 = 20 số có hai chữ số mà hai chữ số của nó đều chẵn.
3. Trong một trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam và 325 học sinh nữ.
a) Nhà trường cần chọn một học sinh ở khối 11 đi dự dạ hội của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn ?
b) Nhà trường cần chọn hai học sinh trong đó có một nam và một nữ đi dự trại hè của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn ?
Giải
a) Theo qui tắc cộng, nhà trường có : 280 + 325 = 605 cách chọn
b) Theo qui tắc nhân, nhà trường có : 280 . 325 = 91.000 cách chọn
Từ các chữ số 1, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên ?
a) Có 4 chữ số (không nhất thiết khác nhau) ?
b) Có 4 chữ số khác nhau ?
Giải
a) Số có 4 chữ số thỏa yêu cầu có dạng $overline{abcd}$
a có 4 cách chọn, b có 4 cách chọn, c có 4 cách chọn và d có 4 cách chọn
Vậy theo qui tắc nhân ta có 4.4.4.4 = 256 cách chọn.
b) Số thỏa yêu cầu có dạng $overline{abcd}$
a có 4 cách chọn, b có 3 cách chọn, c có 2 cách chọn, d có 1 cách chọn.
Vậy ta có 4.3.2.1 = 24 số cần tìm.
C. BÀI TẬP LÀM THÊM
1. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số?
ĐS: Có 4.7.6 = 168 số
2. Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đều là chẵn ?
ĐS: Có 5.4 = 20 số
3. Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số và chia hết cho 5 ?
ĐS: Có 2.9.$10^{4}$ = 180.000 số
4. Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ thành phố A đến thành phố C có 2 con đường, từ thành phố B đến thành phố D có 2 con đường, từ thành phố C đến thành phố D có 3 con đường. Không có con đường nào nối thành phố B với thành phố C. Hỏi có tất cả bao nhiêu con đường đi từ thành phố A đến thành phố D.
Đs: 12
Các Phương Pháp Giải Toán Hình Học Không Gian
Các phương pháp giải Toán hình học không gian
Luyện thi THPT Quốc gia môn Toán
bao gồm các dạng toán và phương pháp giải bài toán hình học không gian. Hi vọng qua các bí quyết giải toán này, các bạn học sinh khi làm toán sẽ giải bài tập nhanh hơn, tiếp kiệm thời gian bài thi hơn. Đây sẽ là tài liệu hữu ích dành cho các bạn tham khảo nhằm học tốt môn Toán THPT, ôn thi THPT Quốc gia môn Toán hiệu quả.
306 bài tập trắc nghiệm hình học không gian lớp 12
Bài tập trắc nghiệm thể tích khối đa diện (Có đáp án)
Ôn thi Đại học môn Toán – Chuyên đề: Hình học không gian
Ôn thi Đại học môn Toán – Chuyên đề: Hình học giải tích trong mặt phẳng
GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Mở đầu
Hình học không gian là môn học khó đối với nhiều học sinh, nhưng nếu biết đưa ra phương pháp giải cho từng dạng toán, kiên trì hướng dẫn học sinh thực hiện theo đúng phương pháp đó, thì việc học và giải toán hình học không gian sẽ đỡ khó hơn rất nhiều và mỗi học sinh đều có thể học và giải những đề thi đại học phần hình học không gian một cách nhẹ nhàng.
Một số phương pháp giải toán Hình Học Không Gian
BÀI TOÁN 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng.
* Phương pháp:
Cách 1: Tìm 2 điểm chung của 2 mặt phẳng đó.
Điểm chung thứ nhất thường dễ thấy.
Điểm chung thứ hai là giao điểm của 2 đường thẳng còn lại, không qua điểm chung thứ nhất.
Cách 2: Nếu trong 2 mặt phẳng có chứa 2 đường thẳng
BÀI TOÁN 2: Tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P)
* Phương pháp:
– Ta tìm giao điểm của a với một đường thẳng b nào đó nằm trong (P).
– Khi không thấy đường thẳng b, ta thực hiện theo các bước sau:
1. Tìm một mp (Q) chứa a.
2. Tìm giao tuyến b của (P) và (Q).
3. Gọi: A = a ∩ b thì: A = a ∩ (P).
BÀI TOÁN 3: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng.
* Phương pháp:
Để chứng minh 3 điểm hay nhiều hơn 3 điểm thẳng hàng ta chứng minh các điểm ấy thuộc 2 mặt phẳng phân biệt.
BÀI TOÁN 4: Chứng minh 3 đường thẳng a, b, c đồng quy.
* Phương pháp:
– Cách 1: Ta chứng minh giao điểm của 2 đường thẳng này là điểm chung của 2 mp mà giao tuyến là đường thẳng thứ ba.
Tìm A = a ∩ b.
Tìm 2 mp (P), (Q), chứa A mà (P) ∩ (Q) = c.
– Cách 2: Ta chứng minh: a, b, c không đồng phẳng và cắt nhau từng đôi một.
BÀI TOÁN 5: Tìm tập hợp giao điểm M của 2 đường thẳng di động a, b.
* Phương pháp:
– Tìm mp (P) cố định chứa a.
– Tìm mp (Q) cố định chứa b.
– Tìm c = (P) ∩ (Q). Ta có M thuộc c.
– Giới hạn.
BÀI TOÁN 6: Dựng thiết diện của mp(P) và một khối đa diện T.
* Phương pháp:
Muốn tìm thiết diện của mp(P) và khối đa diện T, ta đi tìm đoạn giao tuyến của mp(P) với các mặt của T. Để tìm giao tuyến của (P) với các mặt của T, ta thực hiện theo các bước:
1. Từ các điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến đầu tiên của (P) với một mặt của T.
2. Kéo dài giao tuyến đã có, tìm giao điểm với các cạnh của mặt này từ đó làm tương tự ta tìm được các giao tuyến còn lại, cho tới khi các đoạn giao tuyến khép kín ta sẽ có thiết diện cần dựng.
BÀI TOÁN 7: Chứng minh một đường thẳng a đi qua 1 điểm cố định. * Phương pháp:
Ta chứng minh: a = (P) ∩ (Q) trong đó (P) là một mặt phẳng cố định và (Q) di động quanh một đường thẳng b cố định. Khi đó a đi qua: I = (P) ∩ b.
BÀI TOÁN 8: Chứng minh 2 đường thẳng a, b song song. * Phương pháp:
Cách 1: Ta chứng minh: a, b đồng phẳng rồi áp dụng các phương pháp chứng minh
Cách 2: Chứng minh: a, b cùng
Cách 3: Áp dụng định lý về giao tuyến: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và lần lượt chứa hai đường thẳng song song cho trước thì giao tuyến của chúng cùng phương với 2 đường thẳng ấy.
BÀI TOÁN 9: Tìm góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau a, b. * Phương pháp:
* Chú ý: Ta nên chọn O thuộc a hoặc b khi đó ta chỉ cần vẽ một đường thẳng
BÀI TOÁN 10: Chứng minh đường thẳng a song song với mp(P). * Phương pháp:
– Cách 1: Ta chứng minh: a
– Cách 2: Chứng minh:
BÀI TOÁN 11: Dựng thiết diện song song với một đương thẳng a cho trước. * Phương pháp:
Ta dựa vào tính chất: Mặt phẳng song song với đường thẳng a, nếu cắt mặt phẳng nào chứa a thì sẽ cắt theo giao tuyến song song với a.
BÀI TOÁN 12: Chứng minh 2 mặt phẳng song song. * Phương pháp:
Chứng minh mặt phẳng này chứa 2 đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với 2 đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng kia.
BÀI TOÁN 13: Thiết diện cắt bởi một mặt phẳng song song với một mp cho trước. * Phương pháp:
Dựa vào Định lý: Nếu hai mặt phẳng song song bị cắt bởi một mp thứ ba thì 2 giao tuyến
Mời tham gia Thi và Tải đề thi THPT Quốc gia MIỄN PHÍ
Link đề thi trực tuyến: Link tải tài liệu thi thử THPT Quốc gia 2016 MIỄN PHÍ:
Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán
Đề thi thử THPT Quốc gia môn Vật lý
Đề thi thử THPT Quốc gia môn Hóa học
Đề thi thử THPT Quốc gia môn Sinh học
Đề thi thử THPT Quốc gia môn Ngữ văn
Đề thi thử THPT Quốc gia môn Lịch sử
Đề thi thử THPT Quốc gia môn Địa lý
Đề thi thử THPT Quốc gia môn Tiếng Anh
Bạn đang đọc nội dung bài viết Phương Pháp Quy Nạp Toán Học trên website Asianhubjobs.com. Hy vọng một phần nào đó những thông tin mà chúng tôi đã cung cấp là rất hữu ích với bạn. Nếu nội dung bài viết hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!