Cập nhật nội dung chi tiết về Phương Trình Lượng Giác Và Ứng Dụng (Nâng Cao) mới nhất trên website Asianhubjobs.com. Hy vọng thông tin trong bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu ngoài mong đợi của bạn, chúng tôi sẽ làm việc thường xuyên để cập nhật nội dung mới nhằm giúp bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) chúng tôi Ths. Lê Văn Đoàn “Cần cù bù thông minh” chúng tôi - 1 - MỤC LỤC Trang Ths. Lê Văn Đoàn chúng tôi Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) - 2 - chúng tôi CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NẮM VỮNG Công thức cơ bản ● 2 2sin x cos x 1+ = ● tan chúng tôi 1= ● sin x tan x cos x = ● cos x cotx sin x = ● os 2 2 1 1 tan x c x + = ● 2 2 1 1 cot x sin x + = Công thức cung nhân đôi – Công thức hạ bậc – Công thức cung nhân ba ● sin2x 2sin chúng tôi x= ● 2 2 2 2 cos x sin x cos2x 2cos x 1 1 2 sin x −= − = − ● os2 1 c 2xsin x 2 − = ● os os2 1 c 2x c x 2 + = ● 3sin 3x 3 sin x 4 sin x= − ● 3cos 3x 4 cos x 3cos x= − Công thức cộng cung ● ( )sin a b chúng tôi chúng tôi b± = ± ● ( )osc a b chúng tôi chúng tôi b± = ∓ ● ( ) tana tanb tan a b 1 tana.tanb + + = − ● ( ) tana tan b tan a b 1 tana.tanb − − = + ● π 1 tan x tan x 4 1 tan x + + = − ● π 1 tan x tan x 4 1 tan x − − = + Công thức biến đổi tổng thành tích ● a b a b cosa cosb 2cos .cos 2 2 + − + = ● a b a b cosa cosb 2sin .sin 2 2 + − − =− ● a b a b sina sin b 2sin .cos 2 2 + − + = ● a b a b sina sin b 2cos .sin 2 2 + − − = ● ( )sin a b tana tanb cosa.cosb + + = ● ( )sin a b tana tanb cosa.cosb − − = Công thức biến đổi tích thành tổng ● ( ) ( )cos a b cos a b cosa.cosb 2 + + − = ● ( ) ( )sin a b sin a b sin a.cosb 2 + + − = ● ( ) ( )cos a b cos a b sin chúng tôi b 2 − − + = Một số công thức thông dụng khác ● π π sinx cosx 2 sin x 2cos x 4 4 + = + = − ● π π sinx cosx 2 sin x 2cos x 4 4 − = − = + ● 4 4 2 1 cos4x cos x sin x 1 s 3 1 in 2x 2 4 + + = − = ● 6 6 2 3 cos4x cos x sin x 1 s 5 3 in 2x 4 8 + + = − = Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) chúng tôi Ths. Lê Văn Đoàn “Cần cù bù thông minh” chúng tôi - 3 - Một số lưu ý: Điều kiện có nghiệm của phương trình sin x cos x = α = α là: 1 1− ≤α ≤ . Khi giải phương trình có chứa các hàm số tan hoặc cot , có mẫu số hoặc căn bậc chẵn thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định. Phương trình chứa tan x , điều kiện: ( ) cos x 0 x k k 2 π ≠ ⇔ ≠ + π ∈ ℤ . Phương trình chứa cotx , điều kiện: ( ) sin x 0 x k k≠ ⇔ ≠ π ∈ ℤ . Phương trình chứa cả tan x và cotx , điều kiện: ( ) x k. k 2 π ≠ ∈ ℤ . Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra (so) với điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách sau đây để kiểm tra điều kiện: Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện. Nếu khi thế vào, giá trị ấy làm đẳng thức đúng thì nhận nghiệm, nếu sai thì loại nghiệm. Dùng đường tròn lượng giác, nghĩa là biểu diễn các ngọn cung của điều kiện và cung của nghiệm. Nếu các ngọn cung này trùng nhau thì ta loại nghiệm, nếu không trùng thì ta nhận nghiệm. Cách biểu diễn cung – góc lượng giác trên đường tròn: " Nếu cung hoặc góc lượng giác AM có số đo là k2 n π α + 0 0 k.360hay a n + với k ,n +∈ ∈ℤ ℕ thì có n điểm M trên đường tròn lượng giác cách đều nhau". Ví dụ 1: Nếu sđ AM k2 3 π = + π thì có một điểm M tại vị trí 3 π (ta chọn k 0= ). Ví dụ 2: Nếu sđ AM k 6 π = + π thì có 2 điểm M tại vị trí 6 π và 7 6 π (ta chọn k 0,k 1= = ). Ví dụ 3: Nếu sđ 2AM k. 4 3 π π = + thì có 3 điểm M tại các vị trí 11; 4 12 π π và 19 12 π , ( )k 0;1;2= . Ví dụ 4: Nếu sđ k2AM k. 4 2 4 4 π π π π = + = + thì có 4 điểm M tại các vị trí 4 π , 3 4 π , 5 4 π ; 7 4 π (ứng với các vị trí k 0,1,2,3= ). Ví dụ 5: Tổng hợp hai cung x k 6 π =− + π và x k 3 π = + π Biểu diễn cung x k 6 π = − + π trên đường tròn thì có 2 điểm tại các vị trí: 6 π − và 5 6 π Biểu diễn cung x k 3 π = + π trên đường tròn thì có Để giải được phương trình lượng giác cũng như các ứng dụng của nó, các bạn học sinh cần nắm vững tất cả những công thức lượng giác. Đó là hành trang, là công cụ cần thiết nhất để chinh phục thế giới mang tên: "Phương trình lượng giác" Ths. Lê Văn Đoàn chúng tôi Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) - 4 - chúng tôi 2 điểm tại các vị trí: 3 π và 4 3 π . Tổng hợp hai cung gồm 4 điểm như hình vẽ và cung tổng hợp là: x k 3 2 π π = + Đối với phương trình 2 2 1 1 cos x cos x 2 2 1 1 sin x sin x 2 2 = = ± ⇔ = = ± ta không nên giải trực tiếp vì khi đó có tới 4 nghiệm, khi kết hợp và so sánh với điều kiện rất phức tạp, ta nên hạ bậc là tối ưu nhất. Nghĩa là: 2 2 2 2 1 cos x 2cos x 1 0 cos2x 0 2 1 cos2x 02sin x 1 0 sin x 2 = − = = ⇔ ⇔ =− = = . Tương tự đối với phương trình 2 2 sin x 1 sin x 1 cos x 1cos x 1 = = ± ⇔ = ±= ta không nên giải như thế, mà nên biến đổi dựa vào công thức 2 2sin x cos x 1+ = . Lúc đó: 2 2 2 2 sin x 1 cos x 0 cos x 0 sin x 0cos x 1 sin x 0 = = = ⇔ ⇔ == = Sử dụng thành thạo câu thần chú: '' Cos đối – Sin bù – Phụ chéo '' Đây có thể xem là câu thần chú ''đơn giản, dễ nhớ'' trong lượng giác nhưng nó lại đóng vai trò là một trong những nhân tố cần thiết, hiệu quả nhất khi giải phương trình lượng giác. Cos đối, nghĩa là cos của hai góc đối nhau thì bằng nhau, tức là ( )cos cos−α = α , còn các cung góc lượng giác còn lại thì bằng '' – '' chính nó: ( ) ( ) ( ) sin sin , tan tan , cot tan−α =− α −α =− α −α =− α Sin bù, nghĩa là sin của hai góc bù nhau thì bằng nhau, tức là ( )sin sinπ−α = α , còn các cung góc lượng giác còn lại thì bằng '' – '' chính nó: ( ) ( ) ( ) cos cos , tan tan , cot tanπ−α =− α π−α = − α π−α = − α Phụ chéo, nghĩa là với hai góc phụ nhau (có tổng bằng 900) thì sin góc này bằng cos góc kia và ngược lại, tức là: sin cos , cos sin , tan cot , cot tan 2 2 2 2 π π π π −α = α −α = α −α = α −α = α Ta hãy thử đến với ví dụ nhỏ sau đây để thấy được hiệu quả của '' câu thần chú '' này: Giải phương trình lượng giác: sin u cos v= Rõ ràng, ở phần phương trình lượng giác cơ bản, ta chỉ biết cách giải sao cho phương trình sin u sin v= , vậy còn phương trình sin u cos v= thì sao ? Câu trả lời ở đây chính là phụ chéo, bởi: sin u cos v sin u sin v 2 π = ⇔ = − ( ) u v k2 u v k2 , k 2 2 π π = − + π ∨ = + + π ∈ ℤ . Qua ví dụ này, chắc hẳn nếu trong bài gặp những phương trình dạng như 2sin x cos x 3 π = − pi/3 5pi/6 4pi/3 –pi/6 O Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) chúng tôi Ths. Lê Văn Đoàn “Cần cù bù thông minh” chúng tôi - 5 - thì các bạn học sinh sẽ không còn cảm thấy lúng túng nữa. Một số cung góc hay dùng khác: ( ) ( ) sin x k2 sin x cos x k2 cos x + π = + π = và ( ) ( ) ( ) sin x k2 sin x k cos x k2 cos x + π + π =− ∈ + π + π =− ℤ . A – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Dạng: u v k2 sin u sin v u v k2 = + π= ⇔ = π− + π Đặc biệt: sin x 0 x k sin x 1 x k2 2 sin x 1 x k2 2 = ⇒ = π π = ⇒ = + π π = − ⇒ =− + π Dạng: u v k2 cosu cos v u v k2 = + π= ⇔ = − + π Đặc biệt: cos x 0 x k 2 cos x 1 x k2 cos x 1 x k2 π = ⇒ = + π = ⇒ = π = − ⇒ = π+ π Dạng: tanu tan v u v k Ðk : u,v k 2 = ⇔ = + π π ≠ + π Đặc biệt: tan x 0 x k tan x 1 x k 4 = ⇔ = π π = ± ⇔ = ± + π Dạng: cotu cotv u v k Ðk : u,v k = ⇔ = + π ≠ π Đặc biệt: cotx 0 x k 2 cotx 1 x k 4 π = ⇔ = + π π = ± ⇔ = ± + π BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1. Giải phương trình: ( ) cos 3x 4 cos2x 3cos x 4 0 , x 0;14 − + − = ∗ ∀ ∈ Bài 2. Giải phương trình: ( )( ) ( ) 2cos x 1 2 sin x cos x sin2x sin x− + = − ∗ Bài 3. Giải phương trình: ( ) cos 3x cos2x cos x 1 0+ − − = ∗ Bài 4. Giải phương trình: ( ) sin x cos x 1 sin2x cos2x 0+ + + + = ∗ Bài 5. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 sin x 1 cos2x sin2x 1 cos x+ + = + ∗ Bài 6. Giải phương trình: ( ) 1 1 7 4 sin x sin x 43 sin x 2 π + = − ∗ π − Bài 7. Giải phương trình: ( ) 4 4 7 sin x cos x cot x cot x 8 3 6 π π + = + − ∗ Ths. Lê Văn Đoàn chúng tôi Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) - 6 - chúng tôi Bài 8. Giải phương trình: ( ) 4 4 4sin 2x cos 2x cos 4x tan x tan x 4 4 + = ∗ π π − + Bài 9. Giải phương trình: ( ) 3 x 1 3x sin sin 1 10 2 2 10 2 π π − = + Bài 10. Giải phương trình: ( ) sin 3x sin2x sin x 1 4 4 π π − = + Bài 11. ( ) 38 cos x cos 3x 1 3 π + = Bài 12. Giải phương trình: ( ) 32 sin x 2 sin x 1 4 π + = Bài 13. Giải phương trình: ( ) 3sin x 2 sin x 1 4 π − = Bài 14. Giải phương trình: ( ) cos x cos2x cos 3x cos 4x 0+ + + = ∗ Bài 15. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 3sin x sin 2x sin 3x 2 + + = ∗ . Bài 16. Giải phương trình: ( ) 2 2 2sin x sin 2x sin 3x 2+ + = ∗ . Bài 17. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 2sin x sin 3x cos 2x cos 4x+ = + ∗ Bài 18. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 2sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x− = − ∗ Bài 19. Giải phương trình: ( )sin 2 2 5x 9x cos 3x sin7x 2 2cos 4 2 2 π + = + − ∗ Bài 20. Giải phương trình: ( ) 2 2 2sin x cos 2x cos 3x= + ∗ Bài 21. Giải phương trình: ( ) 22sin 2x sin 7x 1 sin x+ − = ∗ Bài 22. Giải phương trình: ( ) sin x sin2x sin 3x 1 cos x cos2x+ + = + + ∗ Bài 23. Giải phương trình: ( ) 3 3 3sin x cos 3x cos x sin 3x sin 4x+ = ∗ Bài 24. Giải phương trình: ( ) 2 3cos10x 2cos 4x 6cos 3x cos x cos x 8 cos x cos 3x+ + = + ∗ Bài 25. Giải phương trình: ( ) 3 3 24 sin x 3cos x 3sin x sin x cos x 0+ − − = ∗ Bài 26. Giải phương trình: ( )( ) ( ) 22sin x 1 3cos 4x 2sin x 4 4 cos x 3+ + − + = ∗ Bài 27. Giải phương trình: ( ) ( ) 6 6 8 8sin x cos x 2 sin x cos x+ = + ∗ Bài 28. Giải phương trình: ( ) ( ) 8 8 10 10 5sin x cos x 2 sin x cos x cos2x 4 + = + + ∗ Bài 29. Giải phương trình: ( ) ( ) 3 3 5 5sin x cos x 2 sin x cos x+ = + ∗ Bài 30. Giải phương trình: ( ) 4 2 2 43cos x 4 cos x sin x sin x 0− + = ∗ Bài 31. Giải phương trình: ( ) 3 3 2 3 2cos 3x cos x sin 3x sin x 8 − − = ∗ Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) chúng tôi Ths. Lê Văn Đoàn “Cần cù bù thông minh” chúng tôi - 7 - Bài 32. Giải phương trình: ( ) 1cos x cos2x cos 4x cos 8x 16 = ∗ Bài 33. Giải phương trình: ( ) 34 sin 3x cos2x 1 6sin x 8 sin x= + − ∗ Bài 34. Giải phương trình: ( ) 1cos x cos2x cos 3x cos 4x cos5x 2 + + + + =− ∗ Bài 35. Giải phương trình: ( ) sin2x 2cos x sin x 1 0 tan x 3 + − − = ∗ + Bài 36. Giải phương trình: ( ) 2 1 sin2x cos2x 2 sin x sin2x 1 cot x + + = ∗ + Bài 37. Giải phương trình: ( ) ( ) tan x cotx 2 sin2x cos2x+ = + ∗ Bài 38. Giải phương trình: ( ) 2tan x tan x tan 3x 2− = ∗ Bài 39. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 11tan x cot x cot 2x 3 + + = ∗ Bài 40. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 x x sin tan x cos 0 2 4 2 π − − = ∗ Bài 41. Giải phương trình: ( ) ( ) 2sin2x cotx tan2x 4 cos x+ = ∗ Bài 42. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 2cot x tan x 16 1 cos 4x cos2x − = + ∗ Bài 43. Giải phương trình: ( ) 12 tan x cot2x 2 sin2x 2sin2x + = + ∗ Bài 44. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 3 sin x tan x 2 1 cos x 0 tan x sin x + − + = ∗ − Bài 45. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 cos x 1 cos x 1 tan x sin x 1 sin x tan x 24 1 sin x − + + − = + + ∗ − Bài 46. Giải phương trình: ( ) cos 3x tan5x sin7x= ∗ Bài 47. Giải phương trình: ( ) 1 1sin2x sin x 2cotx 2 sin x sin2x + − − = ∗ Bài 48. Giải phương trình: ( ) ( ) 4 4sin x cos x 1 tan x cot2x sin2x 2 + = + ∗ Bài 49. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 2tan chúng tôi 2x.cot3x tan x cot 2x cot3x= − + ∗ Bài 50. Giải phương trình: ( ) x cotx sin x 1 tan x tan 4 2 + + = ∗ Ths. Lê Văn Đoàn chúng tôi Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) - 8 - chúng tôi HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Lời bình: Từ việc xuất hiện ba cung x,2x,3x , giúp ta liên tưởng đến việc đưa chúng về cùng một cung. Nhưng đưa về cung x hay cung 2x ? Các bạn có thể trả lời câu hỏi đó dựa vào quan niệm sau: " Trong phương trình lượng giác tồn tại ba cung x,2x,3x , ta nên đưa về cung trung gian 2x nếu trong biểu thức có chứa sin2x (hoặc cos2x). Còn không chứa sin2x (hoặc cos2x), nên đưa về cung x ". Bài giải tham khảo ( ) ( ) ( )3 2 3 24 cos x 3cos x 4 2cos x 1 3cos x 4 0 4 cos x 8 cos x 0∗ ⇔ − − − + − = ⇔ − = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 cos x 0 N 4 cos x cos x 2 0 x k , k cos x 2 L 2 = π⇔ − = ⇔ ⇔ = + π ∈ = ℤ . 0,5 k 3,9 3 5 7 Do x 0;14 ,k 0 k 14 x ; ; ; k2 2 2 2 2 − ≤ ≤≈ π π π π π ∈ ∈ ⇔ ≤ + π ≤ ⇔ ⇒ ∈ ∈ ℤ ℤ . Bài giải tham khảo ( ) ( )( )2cos x 1 2 sin x cos x 2sin x cos x sin x∗ ⇔ − + = − ( )( ) ( ) 2cos x 1 2 sin x cos x sin x 2cos x 1 0⇔ − + − − = ( ) ( ) ( )( ) 2cos x 1 2sin x cos x sin x 0 2cos x 1 sin x cos x 0 ⇔ − + − = ⇔ − + = ( ) x k22cos x 1 0 cos x cos 3 k; l3 sin x cos x 0 tan x 1 x l 4 π π = ± + π − = = ⇔ ⇔ ⇔ ∈ + = π = − = − + π ℤ . Lời bình: Từ việc xuất hiện các cung 3x và 2x , chúng ta nghĩ ngay đến việc đưa chúng về cùng một cung x bằng công thức nhân ba và công thức nhân đôi của hàm cos Bài giải tham khảo ( ) 3 2 3 24 cos x 3cos x 2cos x 1 cos x 1 0 2cos x cos x 2cos x 1 0∗ ⇔ − + − − − = ⇔ + − − = ( ) ( ) ( )( ) 2 2cos x 2cos x 1 2cos x 1 0 2cos x 1 cos x 1 0⇔ + − + = ⇔ + − = Bài 1. Giải phương trình: ( ) cos 3x 4 cos2x 3cos x 4 0 , x 0;14 − + − = ∗ ∀ ∈ Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2002 Bài 2. Giải phương trình: ( )( ) ( ) 2cos x 1 2 sin x cos x sin2x sin x− + = − ∗ Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2004 Bài 3. Giải phương trình: ( ) cos 3x cos2x cos x 1 0+ − − = ∗ Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2006 Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) chúng tôi Ths. Lê Văn Đoàn “Cần cù bù thông minh” chúng tôi - 9 - Bài 4. Giải phương trình: ( ) sin x cos x 1 sin2x cos2x 0+ + + + = ∗ Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2005 ( ) ( ) 2 sin x 0 x k 2cos x 1 sin x 0 k;l1 2 cos x x l2 2 3 = = π ⇔ − + = ⇔ ⇔ ∈π = − = ± + π ℤ . Bài giải tham khảo ( ) ( ) 2sin x cos x 2 sin x cos x 2cos x 0∗ ⇔ + + + = ( ) ( ) sin x cos x 2cos x sin x cos x 0⇔ + + + = ( )( ) sin x cos x 1 2cos x 0⇔ + + = ( ) sin x cos x tan x 1 x k 4 k; l1 2 2cos x cos x cos x l22 3 3 π = − =− = − + π ⇔ ⇔ ⇔ ∈π π= − = = ± + π ℤ . Lời bình: Từ việc xuất hiện của cung 2x và cung x mà ta nghĩ đến việc chuyển cung 2x về cung x bằng công thức nhân đôi của hàm sin và cos, từ đó xuất hiện nhân tử chung ở hai vế ( ) ( )2sin x 1 2cos x 1 2 sin x cos x 1 cos x∗ ⇔ + − + = + ( ) ( ) 22sin x cos x 2 sin x cos x 1 cos x 2sin x cos x cos x 1 1 cos x 0⇔ + = + ⇔ + − + = ( )( ) ( ) 21 x k2cos x 3cos x 1 sin2x 1 0 k, l2 sin2x 1 x l 4 π = ± + π = − ⇔ + − = ⇔ ⇔ ∈ π= = + π ℤ . Lời bình: Từ việc xuất hiện hai cung 3x 2 π − và 7 x 4 π − giúp ta suy nghĩ đến việc đưa hai cung khác nhau này về cùng một cung chung là x . Để làm được điều đó, ta có thể dùng công thức cộng cung hoặc dùng câu thần chú "cos đối – sin bù – phụ chéo''. Ta thực hiện hai ý tưởng đó qua hai cách giải sau đây Bài giải tham khảo Cách giải 1. Sử dụng công thức cộng cung: ( )sin a b chúng tôi chúng tôi b± = ± Bài 6. Giải phương trình: ( ) 1 1 7 4 sin x sin x 43 sin x 2 π + = − ∗ π − Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2008 Bài 5. Giải phương trình: ( ) ( ) sin x 1 cos2x sin2x 1 cos x+ + = + ∗ Trích đề thi tuyển sinh ĐạiCác Dạng Toán Phương Trình Lượng Giác, Phương Pháp Giải Và Bài Tập Từ Cơ Bản Đến Nâng Cao
Vậy phương trình lượng giác có các dạng toán nào, phương pháp giải ra sao? chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết này, đồng thời vận dụng các phương pháp giải này để làm các bài tập từ cơ bản đến nâng cao về phương trình lượng giác.
I. Lý thuyết về Phương trình lượng giác
– Phương trình sinx = sinβ 0 có các nghiệm là:
– Nếu α thỏa mãn điều kiện 0 ≤ α ≤ π và cosα = a thì ta viết α = arccosa. Khi đó các nghiệm của phương trình (2) là:
– Phương trình cosx = cosβ 0 có các nghiệm là:
– Phương trình tanx = tanβ 0 có các nghiệm là:
– Phương trình cotx = cotβ 0 có các nghiệm là:
5. Phương trình bậc nhất với một hàm số lượng giác
* Dạng: asinx + b = 0; acosx + b = 0; atanx + b = 0; acotx + b = 0 (a,b ∈ R; a≠0).
* Dạng tổng quát: asin[f(x)] + b = 0 ; acos[f(x)] + b = 0; atan[f(x)] + b = 0; acot[f(x)] + b = 0 (a,b ∈ R; a≠0).
6. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
* Dạng: asin 2 x + bsinx + c = 0; (a,b ∈ R; a≠0).
– Đặt ẩn phụ t, rồi giải phương trình bậc hai đối với t, ví dụ:
Giải phương trình: asin 2 x + bsinx + c = 0;
Đặt t=sinx (-1≤t≤1), ta có phương trình at 2 + bt + c = 0.
* Lưu ý: Khi đặt t=sinx (hoặc t=cosx) thì phải có điều kiện: -1≤t≤1
* Dạng tổng quát: asin 2[f(x)] + bsin[f(x)] + c = 0; (a,b ∈ R; a≠0). (các hàm cos, tan, cot tương tự).
7. Phương trình dạng asinx + bcosx = c (a≠0,b≠0).
– Đưa PT về dạng phương trình bậc 2 đối với t.
* Dạng tổng quát của PT là:asin[f(x)] + bcos[f(x)] = c, (a≠0,b≠0).
II. Các dạng toán về Phương trình lượng giác và phương pháp giải
– Dùng các công thức nghiệm tương ứng với mỗi phương trình.
* Ví dụ 1 (Bài 1 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11): Giải các phương trình sau:
* Lưu ý: Bài toán trên vận dụng công thức:
* Lưu ý: Bài toán vận dụng công thức biến đổi tích thành tổng:
a)1 + 2cosx + cos2x = 0
b)cosx + cos2x + cos3x = 0
c)sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0
* Lưu ý: Bài toán trên có vận dụng công thức biến đổi tổng thành tích và công thức nhân đôi:
♦ Đặt ẩn phụ t, rồi giải phương trình bậc hai đối với t, ví dụ:
+ Giải phương trình: asin 2 x + bsinx + c = 0;
+ Đặt t=sinx (-1≤t≤1), ta có phương trình at 2 + bt + c = 0.
* Lưu ý: Khi đặt t=sinx (hoặc t=cosx) thì phải có điều kiện: -1≤t≤1
⇔ t = 1 hoặc t = 1/2.
⇔ t = 3/2 hoặc t = -1/2.
* Chú ý: Đối với phương trình dạng: asin 2x + chúng tôi + chúng tôi 2 x = 0, (a,b,c≠0). Phương pháp giải như sau:
– Ta có: cosx = 0 không phải là nghiệm của phương trình vì a≠0,
Chia 2 vế cho cos 2x, ta có:atan 2 x + btanx + c = 0 (được PT bậc 2 với tanx)
– Nếu phương trình dạng: asin 2x + chúng tôi + chúng tôi 2x = d thì ta thay d = chúng tôi 2x + chúng tôi 2 x, và rút gọn đưa về dạng trên.
– Đưa PT về dạng phương trình bậc 2 đối với t.
* Dạng tổng quát của PT là:asin[f(x)] + bcos[f(x)] = c, (a≠0,b≠0).
* Ví dụ: Giải các phương trình sau:
* Lưu ý: Bài toán vận dụng công thức:
b) sin2x – 12(sinx + cosx) + 12 = 0
a) 2(sinx + cosx) – chúng tôi – 1 = 0
b) sin2x – 12(sinx + cosx) + 12 = 0
III. Bài tập về các dạng toán Phương trình lượng giác
* Bài 3 (trang 28 SGK Đại số 11): Giải các phương trình sau:
⇔ 3x = ±12º + k.360º , k ∈ Z ⇔ x = ±4º + k.120º , k ∈ Z – Kết luận: PT có nghiệm x = ±4º + k.120º , k ∈ Z
b) c os3x = cos12º
– Điều kiện: sin2x≠1
+ Đến đây ta cần đối chiếu với điều kiện:
– Xét k lẻ tức là: k = 2n + 1
* Bài 1 (trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11): Giải phương trình: sin 2 x – sinx = 0
– Ta có: sin 2 x – sinx = 0
* Bài 2 (trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11): Giải các phương trình sau:
a) 2cos 2 x – 3cosx + 1 = 0
a) 2cos 2 x – 3cosx + 1 = 0 (1)
– Đặt t = cosx, điều kiện: -1 ≤ t ≤ 1, khi đó PT (1) trở thành: 2t 2 – 3t + 1 = 0
+ Với t = 1 ⇒ cosx = 1 ⇔ x = k2π, (k ∈ Z)
Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 11 Bài 2: Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản (Nâng Cao)
Sách giải toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản (Nâng Cao) giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 11 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
Bài 14 (trang 28 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Giải các phương trình sau
Bài 15 (trang 28 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao):
a) Vẽ đồ thị của hàm số y = sinx rồi chỉ ra trên đồ thị đó những điểm có hoành độ thuộc khoảng (-π, 4π) là nghiệm của mỗi phương trình sau:
1) sinx = -√3/2
2) sinx = 1
b) Cũng câu hỏi tương tự cho hàm số y = cosx đối với mỗi phương trình sau:
1) cosx = 1/2
2) cosx = -1
Bài 16 (trang 28 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Tìm nghiệm của các phương trình sau trong khoảng đã cho:
Bài 17 (trang 29 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Số giờ có ánh sang mặt trời ở thành phố A ở vĩ độ 40o bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số:
a) Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sang mặt trời vào ngày nào trong năm?
b) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất?
c) Vào ngày nào trong nằm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất?
Lời giải:
Giải bài 17 trang 29 SGK Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao Giải bài 17 trang 29 SGK Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao
a)
Vậy thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 30 (ứng với k = 0) và ngày thứ 262 (ứng với k = 1) trong năm.
b)
Vậy nên thành phố A có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất (9 giờ) vào ngày thứ 353 trong năm.
c)
Vậy nên thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất (15 giờ) vào ngày thứ 171 trong năm.
Bài 18 (trang 29 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Giải các phương trình sau:
Bài 19 (trang 29 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao):
a) Vẽ đồ thị hàm số y=tanx rồi chỉ ra trên đồ thị đó những điểm có hoành độ thuộc khoảng (-π; π) là nghiệm của mỗi phương trình sau:
1) tanx = -1
2) tanx = 0
b) Cũng câu hỏi tương tự cho hàm số y = cotx cho mỗi hàm số sau:
1) cotx = √3/3
2) cotx = 1
Lời giải:
Giải bài 19 trang 29 SGK Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao Giải bài 19 trang 29 SGK Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao
a)
b)
Bài 20 (trang 29 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Tìm nghiệm của các phương trình sau trên khoảng đã cho:
Lời giải:
Giải bài 20 trang 29 SGK Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao
a)
Vậy các nghiệm của phương trình là x = -150 o, x = -60 o, x = 30 o
b)
Bài 21 (trang 29 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao):
Theo em, ai giải đúng, ai giải sai?
Lời giải:
Giải bài 21 trang 29 SGK Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao
Cả hai bạn đều giải đúng. Hai họ nghiệm chỉ khác nhau về hình thức, thực chất chỉ là một.
đây chính là kết quả mà Phương tìm được.
Bài 22 (trang 30 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Tính các góc của tam giác ABC biết AB = √2 cm; AC = √3 cm và đường cao AH = 1cm. (Gợi ý: Xét trường hợp B,C nằm khác phía đối với H và trường hợp B,C nằm cũng phía đối với H).
Lời giải:
Giải bài 22 trang 30 SGK Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao
Ta xét hai trường hợp:
Đạo Hàm Và Bài Toán Giải Phương Trình, Bất Phương Trình Lượng Giác
Đạo hàm và bài toán giải phương trình, bất phương trình lượng giác
A. Phương pháp giải
+ Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số .
+ Bước 2: Thiết lập phương trình; bất phương trình
+ Bước 3: Áp dụng cách giải phương trình ; bất phương trình lượng giác đã được học
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho f(x)= sin 2x. Giải phương trình f’ ( x)=0?
Hướng dẫn giải
+ Ta có đạo hàm: f,m ‘ (x)=2cos2x
+ Để f’ ( x)=0 ⇔ 2.cos2x= 0 hay cos2x= 0
A. x≠π/6+kπ B. x≠π/6+k2π C. x≠π/3+kπ D. Tất cả sai
Hướng dẫn giải
+ Điều kiện : x+ π/3≠π/2+kπ hay x≠π/6+kπ
+ Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có đạo hàm:
Ví dụ 3. Cho hàm số: y= sinx+ cosx. Tìm nghiệm của phương trình y’=0
Hướng dẫn giải
Ví du 4. Cho hàm số: y= tanx+ cot x. Giải phương trình y’=0
Hướng dẫn giải
Ví du 5. Cho hàm số: y=2 cos( 2x- π/3). Giải phương trình y’=4
Hướng dẫn giải
Đạo hàm của hàm số đã cho :
Ví dụ 6 Cho hàm số y= x+ sin 2x. Giải phương trình y’= 0
Hướng dẫn giải
Đạo hàm của hàm số là : y’=1+2cos2x
Hướng dẫn giải
Hàm số đã cho xác định với mọi x.
Ta có đạo hàm: y’=3+2sin2x
Với mọi x ta luôn có: – 1 ≤sin2x ≤1 ⇔ – 2 ≤2sin2x ≤2
⇔ ≤3+2sin2x ≤5
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là R.
Chọn D.
Ví dụ 8. Cho hàm số y=x 3+ 3x+ sin 3 x. Giải bất phương trình y’ ≥0
Hướng dẫn giải
Ta có đạo hàm: y’=3x 2+ 3+ 3sin 2 x. cosx
Với mọi x ta có; cosx ≥ – 1 ⇒ 3sin 2 x.cosx ≥ – chúng tôi 2 x
⇒ 3+ 3sin 2x.cosx ≥ 3- chúng tôi 2 x ⇔ 3+ 3sin 2x.cosx ≥ chúng tôi 2 x ( 1)
Lại có 3x 2 ≥0 ∀ x (2)
Từ( 1) và ( 2) vế cộng vế ta có:
Vậy với mọi x ta luôn có: y’ ≥0
Chọn C.
Ví dụ 9. Cho hàm số y= cos( 2π/3+2x) . Khi đó phương trình y’=0 có nghiệm là:
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ví dụ 10.Cho hàm số y= cot 2 π/4. Khi đó nghiệm của phương trình y’=0 là:
Hướng dẫn giải
Ví dụ 11. Cho hàm số : y= 2cos3x- 3sin2x. Giải phương trình y’= 0
Hướng dẫn giải
Ta có đạo hàm : y’= -6 sin3x-6cos2x
Để y’= 0 thì – 6 sin 3x – 6 cos2x= 0
⇔sin3x+ cos2x= 0 ⇔ sin3x= – cos2x
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho f(x)= sin( π/2-3x). Giải phương trình f’ ( x)=0?
Câu 3: Cho hàm số: y=2sinx – 2cosx + 10. Tìm nghiệm của phương trình y’=0
Câu 4: Cho hàm số: y= 2tan3x + 3cot 2x+ 90. Giải phương trình y’=0
Câu 5: Cho hàm số: y=(- 1)/2 cos( 4x- π/6). Giải phương trình y’=1
Hiển thị lời giải
Câu 6: Cho hàm số y= 2x+ 1+ cos2x. Giải phương trình y’= 2
A. x=π/3+kπ B. x=π/6+kπ C. x=kπ/2 D. x=kπ
Câu 7: Cho hàm số y= x 3 +3x + sin3x. Tập nghiệm của bất phương trình y^’ ≤0
Hiển thị lời giải
Ta có đạo hàm: y’=3x 2+3+3cos3x
⇒ 3+ 3cos3x ≥0 ( 1)
Chọn B. .
Câu 8: Cho hàm số y= x + √x+ sin 2 x. Giải bất phương trình y’≥0
Hiển thị lời giải
Điều kiện: x ≥0
Câu 9: Cho hàm số: y= cos ( 2x- π/3) . sin (2x- π/4) . Giải phương trình y’= 2
Hiển thị lời giải
Câu 10: Cho hàm số y= tan( x 3 + 3x 2+ 3x+ 9). Giải phương trình y’=0?
A. x= 0 B. x = 2 C. x= -1 D. Đáp án khác
Hiển thị lời giải
+ Điều kiện cos( x 3+3x 2+3x+9)≠0
Chọn C.
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k4: chúng tôi
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:
Bạn đang đọc nội dung bài viết Phương Trình Lượng Giác Và Ứng Dụng (Nâng Cao) trên website Asianhubjobs.com. Hy vọng một phần nào đó những thông tin mà chúng tôi đã cung cấp là rất hữu ích với bạn. Nếu nội dung bài viết hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!