Đề Xuất 1/2023 # Phương Trình Vi Phân Tuyến Tính Cấp 1, Bernoulli, Ricatti # Top 10 Like | Asianhubjobs.com

Đề Xuất 1/2023 # Phương Trình Vi Phân Tuyến Tính Cấp 1, Bernoulli, Ricatti # Top 10 Like

Cập nhật nội dung chi tiết về Phương Trình Vi Phân Tuyến Tính Cấp 1, Bernoulli, Ricatti mới nhất trên website Asianhubjobs.com. Hy vọng thông tin trong bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu ngoài mong đợi của bạn, chúng tôi sẽ làm việc thường xuyên để cập nhật nội dung mới nhằm giúp bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-MY

Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là phương trình có dạng:

(1) (hay )

trong đó p(x), q(x) là những hàm số liên tục, cho trước.

Nếu q(x) ≡ 0, thì (1) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất.

Nếu q(x) ≠0, thì (1) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất.

2.1 Cách 1: Phương pháp thừa số tích phân:

Nhân 2 vế của (1) với thừa số

(*)

ta chú ý vế trái của phương trình sẽ thấy biểu thức ở vế trái chính là đạo hàm của tích số . Vậy ta viết lại phương trình (*) như sau:

Lấy tích phân hai vế ta được:

.

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) có dạng:

Ví dụ: Giải phương trình

Nhân 2 vế của phương trình với thừa số .

Ta đươc:

Lấy tích phân 2 vế ta được:

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:

2.2 Cách 2: Phương pháp Bernoulli (pp tìm nghiệm dưới dạng tích)

Từ cách thứ nhất, ta nhận thấy nghiệm của phương trình có dạng tích của hai hàm số. Vì vậy, ta sẽ tìm nghiệm của phương trình dưới dạng tích:

Ta có:

Thế vào phương trình ta có:

Hay: (*)

Phương trình (*) có tới 4 thông số chưa biết là u, v, u’ , v’ nên không thể giải tìm u, v bất kỳ. Để tìm u, v thỏa mãn phương trình (*), ta cần chọn u, v sao cho triệt tiêu đi 1 hàm chưa biết.

Muốn vậy, ta chọn u(x) sao cho (**)

Ta dễ dàng tìm được hàm u(x) thỏa (**) vì (**) chính là phương trình tách biến. Khi đó:

Chọn C = 1 ta có:

Như vậy ta tìm được hàm u(x) nên từ (*) ta sẽ có:

Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình (1) là:

2.3 Cách 3: Phương pháp Larrange (pp biến thiên hằng số)

Từ cách 2 ta thấy nghiệm phương trình có dạng với u(x) là nghiệm phương trình (**) – đây là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1.

Do vậy, giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1 ta tìm được:

Mà công thức nghiệm tổng quát của phương trình (1) lại là: chỉ sai khác so với u(x) ở chỗ thế hằng số C bằng hàm cần tìm v(x).

Do vậy, ta chỉ cần tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất, sau đó thay hằng số C bằng hàm cần tìm v(x) sẽ giải được bài toán. Vậy:

Bước 1: giải phương trình tuyến tính thuần nhất cấp 1 liên kết với phương trình (1):

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất có dạng:

Bước 2: nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất (1) có dạng:

Ta có:

Thế vào phương trình ta có:

Suy ra: . Từ đó tìm được v(x).

Đôi lời

Tính Toán Ma Trận Và Giải Hệ Phương Trình Tuyến Tính Trong Mathematica

Xây dựng các ma trận

Table[f, {i,m}, {j,n}] Xây dựng ma trận cỡ m x n với là hàm của i, j để phát sinh phần tử khi i, j chạy từ 1 tới m, n Table[Random[], {m}, {n}] Sinh ma trận ngẫu nhiên cỡ m x n Sinh ma trận m x n tam giác dưới Array[f, {m,n}] Sinh ma trận m x n các phần tử dạng f[i,j] DiagonalMatrix[{...}] Sinh ma trận đường chéo, các phần tử trên đường chéo ở trong tham số danh sách IdentityMatrix[n] Tạo ma trận đơn vị cấp n Normal[SparseArray[ MatrixForm[] Hiện thị ma trận với định dạng lưới chữ nhật

Ví dụ:

In[1]:=

Table[a[i, j], {i, 2}, {j, 2}]

Out[1]:=

( left( begin{array}{cc} a(1,1) & a(1,2) \ a(2,1) & a(2,2) \ end{array} right) )

Đọc và cập nhật dữ liệu phần tử ma trận

m[[i, j]] Truy cập phần tử ma trận m ở vị trí dòng i, cột j (để đọc hoặc gán) m[[i]] Dòng thứ i của ma trận m (để đọc hoặc gán) m[All,[i]] Cột thứ i của ma trận m (để đọc hoặc gán) Take[m, {i0, i1}, {j0, j1}] Ma trận con từ m (trích từ dòng i0 đến i1, cột j0 đến j1) Tr[m, List] Các phần tử trên đường chéo ArrayRules[m] Những vị trí có giá trị khác 0 của ma trận VectorQ[expr] True nếu expr là một vector MatrixQ[expr] True nếu expr là ma trận Dimensions[expr] Lấy cỡ ma trận

Một số phép toán trên ma trận, vector

Những phép toán dựa trên các hàm Mathematica lấy ma trận (vector, danh sách) làm tham số thì nó sẽ thực hiện trên từng phần tử của ma trận đó.

Ví dụ:

In[1]:=

Sqrt[{a, b, c}]

Out[1]:=

( left{sqrt{a},sqrt{b},sqrt{c}right} )

Tổng hai vector cùng cỡ sẽ thực hiện trên các phần tử tương ứng của 2 vector, nhưng nếu cộng một số với một vector thì số đó cộng với từng phần tử của vector (tương tự cho nhân, chia).

In[1]:=

{a, b} + {c , d}

Out[1]:=

{a + c, b + d}

In[1]:=

c {a, b}

Out[1]:=

{a c, b c}

Nhân hai ma trận

Nhân 2 ma trận thì dùng ký hiệu dấu chấm m . v

In[1]:=

{{a, b}, {c, d}} . {{1, 2}, {3, 4}}

Out[1]:=

{{a + 3 b, 2 a + 4 b}, {c + 3 d, 2 c + 4 d}}

Nghịch đảo ma trận

Inverse[m] tìm ma trận nghịch đảo của ma trận m

In[1]:=

Inverse[{{1, -2}, {3, 2.}}]

Out[1]:=

{{0.25, 0.25}, {-0.375, 0.125}}

Transpose[m] Chuyển trí ma trận Inverse[m] Nghịch đảo ma trận Det[m] Tính định thức ma trận MatrixRank[m] Hạng ma trận m Eigenvalues[m] Trị riệng của m Eigenvectors[m] Vector riêng của m

Giải hệ phương trình tuyến tính

Phương trình tuyến tính dạng m . x = b có nghiệm duy nhất khi Det[ m ] != 0, nếu bằng 0 thì vô nghiệm hoặc vô số nghiệm

LinearSolve[m, b] Giải hệ m . x = b Inverse[m].[b] Tương đương với giải hệ bằng LinearSolve NullSpace[m] Giải hệ m.x = {0 .. 0} (hệ có vector hệ số bằng 0)

Ví dụ:

m = {{1, 5}, {2, 1}} m . {x, y} == {a, b} Solve[%, {x, y}] LinearSolve[m, {a, b}]

Phương Pháp Giải Một Số Dạng Phương Trình Môn Toán Ở Cấp Thcs

; z1 = 1; z2 = -55 (loại) Tập nghiệm của phương trình (2.6.1) là: S{-4;-6} Ví dụ 2: Giải phương trình: (x-6)4 + (x-8)4 = 16 (2.6.2) 2y4 + 12y2 + 2 = 16 y4 + 6y2 - 7 = 0 7.3.2.7. Phương trình dạng: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = mx2 (2.7) trong đó ad =bc a. Cách giải: Ta nhóm: [(x+a) (x+d)][ (x+b) (x+c)] = mx2 [x2 + (a+d)x + ad] x2 + [(b+c)x + bc] = mx2 (2.7.1') Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình (2.7.1'), chia cả hai vế của phương trình (2.7.1') cho x2. (2.7.1') [x + (a+d) + ad x-1] x + (b+c) + bc x-1] = m Đặt: y = x+ad x-1 ta có phương trình: [y+(a+d] [y+(b+c)] = m (2.7.1'') Giải phương trình (2.7.1'') ta được nghiệm y0. Giải phương trình x+ad x-1 = y0 ta được nghiệm của phương trình (2.7) b. Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình: (x+2)(x+3)(x+8)(x+12) = 4x2 (2.7.1) Giải: (2.7.1) [((x+2) (x+12)][ (x+3) (x+8)] = 4x2 (x2 + 14x+24) (x2 + 11x+ 24)= 4x2 Phương trình này không có nghiệm x = 0 , chia cả hai vế của phương trình x2 0 ta được phương trình: Tập nghiệm của phương trình (2.7.1) là: S = Ví dụ 2: Giải phương trình: (x+1) (x-4) (x+3) (x-12) = -2x2 (2.7.2) Giải: (2.7.2) [(x+1) (x-12)] [(x-4) (x+3)] = -2x2 (x2 - 11x - 12) (x2 - x - 12) = -2x2 phương trình không có nghiệm x=0, chia cả hai vế của phương trình cho x2 0 ta được: (x - 11 - 12/x) ( x-1 - 12/x) = -2 Đặt: x-12/x = y phương trình trở thành. (y-11) (y-1) = -2 y2 - 12y + 13 = 0 Tập nghiệm của phương trình (2.7.2) là: S= 7.3.2.8. Phương trình dạng: d(x+a)(x+b)(x+c) = mx (2.8) trong đó d=; m=(d-a)(d-b) (d-c) b. Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình (x-2)(x-3)(x+7) = -72x (2.8.1) (y-3)(y-4)(y+6) = -72(y-1) y3 - y2 + 42y = 0 y(y2- y + 42) = 0 Phương trình vô nghiệm Tập nghiệm của phương trình (2.8.1) là: S={-1} Ví dụ 2: Giải phương trình: 8(x+2)(x+5)(x+9) = -18x (2.8.2) 8 (y-6) (y-3)(y+1) = -18 (y-8) 4y3 - 32y2 + 45y = 0 y(4y2 - 32y + 45) = 0. Giải phương trình này ta được: y1 = 0; y2 = Tập nghiệm của phương trình: (2.8.2) là: S = 7.3.2.9. Phương trình có dạng: ( x+a) (x+b) ( x+ c) (x+d) = m (2.9) trong đó: a+d= b +c a. Cách giải: Ta nhóm [(x+a) (x+d) ] [(x+b) (x+c)] = m (2.9.1') Đặt: y = (x+a) (x+d) thay vào phương trình (2.9.1') ta tìm được y0. Giải phương trình (x+a) (x+d) = y0 ta có x0 là nghiệm của phương trình (2.9.1') b. Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình: (x+5) (x+6) (x+8) (x+9) = 40 (2.9.1) Giải: (2.9.1) [(x+5) (x+9)] [(x+6) (x+8) ] = 40 (x2 + 14x + 45) (x2 + 14x + 48) = 40 Đặt: x2 + 14x + 45 = y phương trình có dạng: y(y+3) = 40 Tập nghiệm của phương trình: (2.9.1) là: S = {-4; -10} Ví dụ 2: Giải phương trình: (x-1) (x+7) (x2 + 2x - 15) = 297 (2.9.2) Giải: (2.9.2) (x-1) (x+7) (x-3) (x+5) = 297 [(x-1) (x+5) [(x+7) (x-3)] = 297 (x2 + 4x - 5) (x2 + 4x - 21) = 297 Đặt x2 + 4x - 5 = y phương trình có dạng: y(y-16) = 297 Tập nghiệm của phương trình (2.9.2) là: S = {-8;4} 7.3.2.10. Phương trình tam thức: a. Định nghĩa: Phương trình tam thức là phương trình có dạng: ax2n + bxn + c = 0 (a0) (2.10) Trong đó: a,b,c là các số thức, n nguyên dương, n2. Nếu a,b,c là các số thực đồng thời khác 0 và n = 2 thì (2.10) là phương trình trùng phương. b. Cách giải: Đặt xn = y (2.10) Giải; (**) ta tìm được y0 thay vào (*) ta tìm được x0 là nghiệm của (2.10). c. Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình: x6 - 7x3 + 6 = 0 (2.10.1) Tập nghiệm của phương trình (2.10.1) là: S = {1; } Ví dụ 2: Giải phương trình: x10 + x5 - 6 = 0 (2.10.2) Tập nghiệm của phương trình (2.10.2) là: S = {; } 7.3.3. Phương pháp 3: Đưa hai vế về luỹ thừa cùng bậc. a. Cơ sở lý luận: Thêm bớt vào hai vế của phương trình đi cùng một biểu thức (hay 1 số) để đưa 2 vế của phương trình trở thành 2 luỹ thừa cùng bậc. Phương trình: An = Bn (3.1) + Nếu n là số chẵn thì A = B (3.2) + Nếu n là số lẻ thì A = B (3.3) Giải phương trình (3.2) và (3.3) ta tìm được nghiệm của phương trình (3.1) b. Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình: x4 = 24x + 32 (3.1.1) Giải: Cộng 4x2 + 4 vào hai vế của phương trình (3.1.1) ta có: x4 +4x2 + 4 = 4x2 + 24x + 36 (x2 + 2) 2 = (2x+ 6)2 phương trình vô nghiệm Tập nghiệm của phương trình (3.1.1) là: S = { ; } Ví dụ 2: Giải phương trình: (x2 - 9)2 = 12x +1 (3.1.2) Giải: Cộng 36x2 vào hai vế của phương trình thì (3.1.2) (x2 - 9)2 + 36x2 = 36x2 + 12x + 1 (x2 + 9)2 = (6x + 1)2 phương trình vô nghiệm Tập nghiệm của phương trình (3.1.2) là: S = {2;4} 7.3.4. Phương pháp 4: Dùng bất đẳng thức a. Cơ sở lý luận: * Dùng tính đơn điệu của hàm số trên từng khoảng: Đưa phương trình đã cho về dạng f(x) = g(x) (1*) + Nếu f(x) tăng trên [a,b] g(x) giảm trên [a,b] thì x0 là nghiệm duy nhất của (1*) f(x0) = g(x0) + Nếu f(x) giảm trên [a,b] g(x) tăng trên [a,b] thì x0 là nghiệm duy nhất của (1*) f(x0) = g(x0) * Dùng các bất đẳng thức. dấu "=" xẩy ra khi AB 0 dấu "=" xẩy ra khi AB 0 dấu "=" xẩy ra khi A 0 b. Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình: (4.1) Giải: áp dụng hằng bất đẳng thức dấu "=" xẩy ra khi AB 0 Xẩy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi: x(1-x) 0 0x1 Tập nghiệm của phương trình (4.1) là: S = {x/0x1} Ví dụ 2: Giải phương trình (4.2) Giải: Viết phương trình (4.2) dưới dạng: Dễ thấyx =8; x =9 đều là nghiệm của(4.2).Xét các giá trị còn lại của x. Với x<8 thì còn Với 8<x<9 thì 0 = x - 8 0 Kết luận:Tập nghiệm của phương trình (4.2) là: S = {8;9} 7.3.5. Phương pháp 5: Dùng tính chất về số nghiệm thực của phương trình a. Cơ sở lý luận: Người ta chứng minh được rằng phương trình đại số bậc n có không quá n nghiệm thực. Do đó nếu ta chỉ ra được n nghiệm của một phương trình đại số bậc n thì đó là tất cả các nghiệm của phương trình đó. Ví dụ: Giải phương trình với a là tham số: (a2 - a)2 (x2 - x+1)3 = (x2 - x)2 (a2 - a + 1)3 (5.1) Giải: Với a = 0 hoặc a = 1 thì (5.1) có hai nghiệm: 0 và 1 Xét a 0, a 1. Khi đó x 0 (Vì nếu x = 0 thì a = 0 hoặc a = 1). Gọi m là nghiệm của (5.1). Chia hai vế của (5.1.1') cho m2 ta có: (a2 - a)2 (1-1/m+1/m2)3 = (1/m - 1/m2)2 (a2 - a + 1)3 (a2 - a)2 (1/m2 - 1/m + 1)3 = (1/m2 - 1/m)2 (a2 - a + 1)3. Điều này chứng tỏ rằng 1/m cũng là nghiệm của (5.1). Ta dễ dàng chứng minh được 1- m cũng là nghiệm của (5.1). Vậy a là một nghiệm của (5.1) theo trên thì 1/a và 1-a cũng là nghiệm của (5.1). Do 1/a là nghiệm của (5.1) nên 1-1/a cũng là nghiệm của (5.1). Do 1-a là nghiệm của (5.1) nên cũng là nghiệm của (5.1). Do đó 1- cũng là nghiệm của (5.1). Điều kiện để sáu giá trị a, 1/a, 1-a, 1-1/a, , 1- đôi 1 khác nhau là: a0, a 1, a-1; a 2; a1/2. Các trường hợp a = 0, a = 1 đã xét ở trên. Trong mỗi trường hợp a = -1, a =2, a = 1/2, phương trình (5.1) đều có dạng: 4(x2 - x + 1)3 = 27 (x2 - x)2. (x+1)2 (x-2)2 (2x-1)2 = 0 Phương trình có 3 nghiệm kép: -1; 2; 1/2. Trong trường hợp a0, a1, a 2, a1/2, phương trình có 6 nghiệm nêu trên, không còn nghiệm nào khác. 7.3.6. Một số phương pháp khác: Ví dụ 1: Giải phương trình: (3-x)4 + (2-x)4 = (5-2x)4 (6.1) y4 + z4 = (y+z)4. Khai triển vế phải, rút gọn rồi biến đổi ta được: yz (2y2 + 3yz + 2z2 ) = 0 7x2 - 35x + 44 = 0 phương trình vô nghiệm. Tập nghiệm của phương trình (6.1) là: S = {3;2} Ví dụ 2: Giải phương trình: (x2 - x + 1)4 - 10x2 (x2 - x + 1)2 + 9x4 = 0 (6.2) Giải: Đặt (x2-x+1)2 = y phương trình (6.2) trở thành: y2-10x2y +9x4 = 0 Phương trình vô nghiệm Tập nghiệm của phương trình (6.2) là: S = {1; - 1; ; } Ví dụ 3: Giải và biện luận phương trình với a là tham số: x4 - 2ax2 - x + a2 - a = 0 (6.3) Giải: Biến đổi (6.3) (x2 - x - a) (x2 + x + 1 - a) = 0 Phương trình (*) có 1 = 1+4a, phương trình (**) có 2 = 4a-3 - Nếu a<-1/4 phương trình vô nghiệm - Nếu a =-1/4 phương trình có nghiệm duy nhất x = 1/2 - Nếu -1/4 <a < 3/4 phương trình có hai nghiệm: - Nếu a = 3/4 phương trình có hai nghiệm: x1 = -1/2; x2 = 3/2 2.3.3: Điều kiện thực hiện giải pháp, biện pháp - Về mặt lý luận: Rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo, kỹ năng Giải phương trình ở bậc THCS. Giúp các em có hứng thú học tập, ham mê học Toán và phát huy năng lực sáng tạo khi gặp các dạng toán khó khi giải phương trình. - Về thực tiễn: Giúp học sinh nắm vững các phương pháp Giải phương trình trong giải toán Đại Số lớp 8, 9 nói riêng và ở bậc THCS nói chung, phát hiện và vận dụng các phương pháp giải phù hợp với từng bài toán cụ thể ở các dạng khác nhau . 2.3.4: Mối liên hệ giữa giải pháp , biện pháp: Thông qua việc hướng dẫn học sinh giải các dạng toán. 2.3.5: Kết quả khảo nghiệm, giá trị khoa học của vấn đề nghiên cứu 2.4: Kết quả thu được qua khảo nghiệm, giá trị khoa học của vấn đề nghiên cứu 1. Khảo sát trước khi áp dụng đề tài: a) Kết quả: - Học sinh không ngại khi gặp dạng toán giải phương trình. - Kĩ năng biến đổi tốt hơn, suy luận của các em chặt chẽ hơn bước đầu đã có sự sáng tạo khi suy luận. - Khả năng phân dạng của các em rất tốt khi GV đưa ra ví dụ . - Một số học sinh khi giải đã trả lời thấy hứng thú hơn khi giải phương trình . Từ kết quả cụ thể trên tôi đã rút ra một số kinh nghiệm cho bản thân cũng như đồng nghiệp khi giải phương trình là: - Cần phân dạng phương trình thành những dạng quen thuộc mà các em đã được gặp trên cơ sở phương pháp giải và giáo viên đưa ra. - Những loại bài tập giao cho học sinh phải thực tế, dễ hiểu, gợi mở giúp kích thích óc sáng tạo của học sinh không quá cao siêu, trừu tượng... - Hướng dẫn các em trước khi giải toán phương trình cần xác định rõ dạng của phương trình này và phương pháp giải hướng dẫn học sinh phân tích bài toán, phán đoán cách giải, các bước giải để các em đi đến lời giải thông minh và ngăn gọn nhất, đạt hiệu quả cao. - Rèn kỹ năng giải phương trình cho học sinh thông qua nhiều dạng phương trình và thường xuyên chú ý đến những sai lầm của học sinh thường mắc phải khi giải phương trình, nhất là tìm ĐKXĐ của phương trình. - Trên cơ sở làm một số bài tập mẫu thật cẩn thận giáo viên cần giao thêm lượng bài tập về nhà có nội dung tương tự hoặc mở rộng hơn để các em được tự mình giải các loại phương trình. *Qua kết quả khảo sát, kiểm tra trước khi áp dụng đề tài Một số phương pháp giải phương trình với học sinh lớp 8B (năm học 2013-2014); học sinh lớp 9A , 9B(năm học 2014-2015) trường THCS Thanh Thủy tôi thấy kết quả tiếp thu về loại Toán giải phương trình như sau: Lớp Điểm dưới 5 Điểm 5 - 6 Điểm 7 - 8 Điểm 9 - 10 % % % % 8B 14/34=41,2% 12/34=35,3 % 6/34= 17,6 % 2/34=5,9% 9B 10/34=29,4% 12/34=35,3 % 8/34= 23,5 % 4/34=11,8% 9A 13/32= 40,6 % 12/32= 37,5 % 5/32= 15,6% 2/32= 6,3% b). Nguyên nhân của thực tế trên: Do các em chưa nắm chắc các dạng phương trình, và phương pháp giải của ừng dạng phương trình. Các bài tập về giải phương trình lại tương đối đa dạng, từ dễ đến khó, nên việc suy luận còn hạn chế lúng túng dẫn đến kết quả rất thấp và đặc biệt đối với học sinh trung bình các em rất khó giải quyết được bài toán, vì còn thiếu kĩ năng suy luận và các kĩ năng biến đổi . 2. Kết quả sau khi áp dụng đề tài :(Năm học 2013-2014 và năm học 2014-2015) Lớp Điểm dưới 5 Điểm 5 - 6 Điểm 7 - 8 Điểm 9 - 10 % % % % 8B 10/34=29,4% 12/34=35,3 % 8/34= 23,5 % 4/34=11,8% 9B 8/34= 23,5 % 10/34=41,2% 10/34=41,2% 6/34= 17,6 % 9A 10/32= 31,3 % 10/32= 31,3 % 8/32= 25,0% 4/32= 12,5% Nhận xét: Sau khi áp dụng đề tài tôi thấy rằng chất lượng qua kiểm tra đã được nâng lên đáng kể, đặc biệt là đối tượng HS (trung bình, khá) . 3.Bảng thống kê kết quả kiểm tra - Khi chưa áp dụng đề tài tôi nhận thấy học sinh lúng túng gặp không ít khó khăn trong khi làm bài toán: : Giải phương trình . - Sau khi áp dụng đề tài thì đó khắc phục được nhược điểm lúng túng, giải quyết phần nào những khó khăn cho học sinh, tạo cơ sở và niềm tin vững chắc cho học sinh trong học tập môn toán. Năm học Đề tài Giỏi Khá TB Yếu Kém 2013-2014 Chưa áp dụng 6,5% 12,0% 32,5% 31% 18% 2014-2015 Đã áp dụng 12,5% 27,0% 42,5% 11,8% 6,2% 3. PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ: 3.1: Kết luận +Cuối năm học đa số các em đó thành thạo với loại việc Giải phương trình, đã nắm được các dạng toán và phương pháp giải từng dạng, các em biết trình bày đầy đủ, khoa học, lời giải chặt chẽ, rõ ràng, các em cảm thấy thích thú khi giải phương trình. + Học sinh tiếp thu bài nhanh dễ hiểu hơn, yêu thích môn toán hơn + Học sinh tránh được những sai sót cơ bản,và có kĩ năng vận dụng thành thạo cũng như phát huy được tính tích cực của học sinh . - Việc nghiên cứu triển khai phương pháp Giải phương trình, nói riêng và phần nói chung theo định hướng bồi dưỡng học sinh giỏi, trước hết là có thể làm được. -Việc áp dụng cách làm trên trong điều kiện hiện nay là khả thi, nếu người thầy luôn thường xuyên đầu tư thoả đáng. trước hết là khâu chuẩn bị tài liệu và nắm vững một lượng kiến thức lớn, và loại toán này thực sự là một chuyên đề chúng ta cần quan tâm đến nhiều, nó thực sự đa dạng phong phú đề cập đến nhiều kiến thức trong trường Phổ thông, nó có tính tổng hợp cần phải vận dụng nhiều đơn vị kiến thức cùng một lúc vào giải quyết một vấn đề, và là nền móng cho các em học lên cấp trên. -Tuy nhiên để đạt được kết quả như mong muốn ,đòi hỏi người giáo viên cần hệ thống, phân loại bài tập thành từng dạng,giáo viên xây dựng từ kiến thức cũ đến kiến thức mới từ cụ thể đến tổng quát, từ dễ đến khó và phức tạp, phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh . -Do điều kiện và năng lực của bản thân còn hạn chế, các tài liệu tham khảo chưa đầy đủ, nên chắc chắn đề tài có lời giải chưa phải là chuẩn nhất, bản thân tôi mong muốn và hy vọng đề tài này ít nhiều cũng giúp học sinh hiểu kỹ hơn về :" phương pháp giải một số dạng phương trình môn toán" trong trường phổ thông cấp THCS . Sau khi áp dụng ở trường tôi thấy sáng kiến này đã phần nào có tác dụng đối với học sinh và giáo viên lớp 9 của trường, nó tạo hứng thú học toán đối với các em đặc biệt là dạng toán mà thường ngày các em rất ngại... Đề tài này đã cố gắng xây dựng một hệ thống kiến thức từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp giúp học sinh có thể vận dụng một cách linh hoạt từng phương pháp cụ thể trong từng trường hợp nhất định. Qua đó học sinh có thể đào sâu kiến thức, tìm tòi nhiều cách giải cho một bài toán. Bên cạnh đó các ví dụ có thể giúp học sinh có thể rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo làm quen với các dạng bài tập khác nhau, các loại phương trình khác nhau, góp phần nhỏ bé trong sự phát triển trí tuệ, tính cẩn thận, khoa học, năng lực nhận xét, phân tích, phán đoán tổng hợp kiến thức...Tuy nhiên không phải đối với tất cả các đối tượng học sinh chúng ta đều truyền tải các nội dung trên mà cần xác định đúng đối tượng để cung cấp kiến thức cơ bản phù hợp với trình độ và quỹ thời gian của học sinh. Ngoài việc tự nghiên cứu tài liệu, sự nỗ lực của bản thân,qua thực tế giảng dạy, tôi còn nhận được sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô giáo trong tổ toán trường : THCS Thanh Thủy và tài liệu của các đồng nghiệp đã giúp tôi hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm này. 3.2: Kiến nghị. *Đề nghị các cấp quản lý : - Tạo điều kiện về cơ sở vật chất, trang thiết bị, phương tiện dạy - học để việc tổ chức tiết học đạt hiệu quả. * Đề nghị Phòng giáo dục & Đào tạo mở các chuyên đề để chúng tôi có điều kiện trao đổi và học hỏi thêm. * Đề nghị Hội đồng tuyển sinh huyện cần quan tâm hơn nữa đến chất lượng tuyển sinh đầu vào. * Đề nghị hội phụ huynh học sinh cần quan tâm hơn nữa đến việc học tập của con em mỡnh. Trong đề tài này chắc chắn không tránh khỏi những hạn chế nhất định. Bản thân rất mong được sự đóng góp ý kiến bổ sung của ban giám khảo, cuả các đồng chí chuyên viên phòng giáo dục, các đồng nghiệp để vốn kiến thức của tôi ngày càng hoàn thiện và phong phú , góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy và học tập của giáo viên và học sinh../. Xin trân trọng cám ơn ! Thanh Thuỷ, ngày 20 tháng03 năm 2015 Người viết : Xác nhận của nhà trường: Đỗ Thanh Tùng TÀI LIỆU THAM KHẢO 1/ Một số vấn đề phát triển đại số 8, 9 - Vũ Hữu Bình (NXBGD); 2/ 23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp - Nguyễn Văn Vĩnh, Nguyễn Đức Đồng (NXBGD); 3/ Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS phần "Đại số" - Nguyễn Vũ Thanh (NXBGD); 4/ Toán nâng cao và các chuyên đề "Đại số 8, 9" - Vũ Dương Thuỵ, Nguyễn Ngọc Đạm (NXBGD); 5/ Tuyển tập 30 năm Toán học và tuổi trẻ - (NXBGD) 6/ Đại số 10 - Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Doãn Minh Cường, Đỗ Mạnh Hùng, Nguyễn Tiến Tài (NXBGD) 7/ Phương trình bậc hai và một số ứng dụng - Nguyễn Đức Tấn, Vũ Đức Đoàn, Trần Đức Long, Nguyễn Anh Hoàng, (NXBGD) MỤC LỤC

Bài Tập Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đường Tròn Có Lời Giải

Bài viết này mình sẽ giới thiệu với các bạn những dạng bài tập phương trình tiếp tuyến của đường tròn cơ bản nhất. Mình sẽ đưa ra phương pháp giải cho từng dạng cụ thể và áp dụng ngay vào bài tập

– Nếu phương trình đường tròn là: $x^2+ y^2- 2ax – 2by+ c = 0$ thì phương trình tiếp tuyến là: $xx_0+ yy_0- a(x + x_0) – b(y + y_0) + c = 0$

– Nếu phương trình đường tròn là: $(x – a)^2+(y – b)^2= R^2$ thì phương trình tiếp tuyến là:

$(x – a)(x_0- a) + (y – b)(y_0- b) = R^2$

Dạng 2: Tiếp tuyến vẽ từ một điểm $I(x_0, y_0)$ cho trước ở ngoài đường tròn.

Viết phương trình của đường thẳng d qua $I(x_0, y_0)$:

$y – y_0= m(x – x_0)Leftrightarrow mx – y – mx_0+ y_0= 0$ (1)

Cho khoảng cách từ tâm I của đường tròn (C) tới đường thẳng d bằng R, ta tính được m; thay m vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến.

* Ghi chú: Ta luôn luôn tìm được hai đường tiếp tuyến.

Dạng 3: Tiếp tuyến d song song với một đường thẳng có hệ số góc k.

Phương trình của đường thẳng d có dạng:

$y = kx + m$ (m chưa biết) $Leftrightarrow kx – y + m = 0$

Cho khoảng cách từ tâm I đến d bằng R, ta tìm được m.

Bài tập phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Bài tập 1: Viết phương trình tiếp tuyến của của đường tròn (C) tại điểm $M(3;4)$ biết đường tròn có phương trình là: $(x-1)^2+(y-2)^2=8$

Hướng dẫn:

Đường tròn (C) có tâm là điểm $I(1;2)$ và bán kính $R=sqrt{8}$

Vậy phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm $M(3;4)$ là:

$(3-1)(x-3)+(4-2)(y-4)=0$

$Leftrightarrow 2x+2y-14=0$

a. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua $A(1;-3)$

b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua $B(1;1)$

c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng có phương trình $3x-4y+5=0$

Hướng dẫn:

Các bạn hoàn toàn xác định được tâm $I(2;-4)$ và bán kính $R=sqrt{2}$

a. Với ý này trước tiên các bạn cần kiếm tra xem điểm $A(1;-3)$ có thuộc đường tròn (C) hay không? Nếu thuộc thì quy về bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại tiếp điểm, ngược lại ta thì ta có lời giải khác.

Các bạn thay tọa độ của điểm $A(1;-3)$ vào phương trình đường tròn (C) thấy thỏa mãn. Do đó điểm $A$ sẽ thuộc đường tròn (C).

Vậy phương trình tiếp tuyến đi qua $A$ có dạng là:

$1.x-3y-2(x+1)+4(y-3)+18=0$

$Leftrightarrow x-y-4=0$

b. Các bạn thay tọa độ của điểm $B$ vào phương trình đường tròn (C) thì thấy không thỏa mãn. Do đó điểm B không thuộc đường tròn (C). Khi điểm $B$ không thuộc đường tròn (C) thì ta không sử dụng cách trên được. Vậy ta phải tiến hành ra sao? các bạn theo dõi tiếp.

Trước tiên các bạn gọi phương trình đường thẳng đi qua điểm $B(1;1)$ với hệ số góc $k$ là $Delta$: $y=k(x-1)+1Leftrightarrow kx-y-k+1=0$

Để đường thẳng $Delta$ là tiếp tuyến của dường tròn (C) thì khoảng cách từ tâm $I$ tới đường thẳng $Delta$ phải bằng bán kính $R$.

Ta có: $d_{(I,Delta)}=R$

$Leftrightarrow k^2+10k+25=2k^2+2$

$Leftrightarrow k^2-10k-23=0$

$Leftrightarrow k=5-4sqrt{3}$ hoặc $k=5+4sqrt{3}$

+. Với $ k=5-4sqrt{3}$ ta có phương trình tiếp của (C) là: $y=(5-4sqrt{3})x-5+4sqrt{3}+1Leftrightarrow y=(5-4sqrt{3})x-4+4sqrt{3}$

+. Với $ k=5+4sqrt{3}$ ta có phương trình tiếp của (C) là: $y=(5+4sqrt{3})x-5-4sqrt{3}+1Leftrightarrow y=(5-4sqrt{3})x-4-4sqrt{3}$

Cho hai đường thẳng $d_1; d_2$ lần lượt có hệ số góc là: $k_1; k_2$

+. Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì hai hệ số góc bằng nhau, tức là: $k_1=k_2$

+. Nếu hai đường thẳng vuông góc với nhau thì tích hai hệ số góc bằng $-1$, tức là: $k_1.k_2=-1$

Quay trở lại và áp dụng vào bài toán này thì tiếp tuyến cần tìm vuông góc với đường thẳng $3x-4y+5=0$. Đường thẳng này có hệ số góc là $frac{3}{4}$. Vậy phương trình tiếp tuyến sẽ có hệ số góc là $-frac{4}{3}$

Gọi phương trình tiếp tuyến là $Delta$ có dạng: $y=-frac{4}{3}x+mLeftrightarrow 4x+3y-3m=0$

Vì đường thẳng $Delta$ là tiếp tuyến của đường tròn (C) nên ta có:

$d_{(I,Delta)}=R$

$Leftrightarrow 9m^2+24m-34=0$

$Leftrightarrow m=frac{-4+5sqrt{2}}{3}$ hoặc $m=frac{-4-5sqrt{2}}{3}$

Với $ m=frac{-4+5sqrt{2}}{3}$ thì phương trình tiếp tuyến là: $y=-frac{4}{3}x+frac{-4+5sqrt{2}}{3}$

Với $m=frac{-4-5sqrt{2}}{3}$ thì phương trình tiếp tuyến là: $y=-frac{4}{3}x+frac{-4-5sqrt{2}}{3}$

SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ

Bạn đang đọc nội dung bài viết Phương Trình Vi Phân Tuyến Tính Cấp 1, Bernoulli, Ricatti trên website Asianhubjobs.com. Hy vọng một phần nào đó những thông tin mà chúng tôi đã cung cấp là rất hữu ích với bạn. Nếu nội dung bài viết hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!