Cập nhật nội dung chi tiết về Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 11 Bài 1: Phương Pháp Quy Nạp Toán Học mới nhất trên website Asianhubjobs.com. Hy vọng thông tin trong bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu ngoài mong đợi của bạn, chúng tôi sẽ làm việc thường xuyên để cập nhật nội dung mới nhằm giúp bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.
Sách giải toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 11 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
a) Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai?
b) Với mọi n ∈ N* thì P(n), Q(n) đúng hay sai?
Lời giải:
a) n = 1: P(n) đúng, Q(n) đúng
n = 2,3,4: P(n) đúng, Q(n) sai
n = 5: P(n) sai, Q(n) sai
b) n = 1: P(n) đúng, Q(n) đúng
n = 2,3,4: P(n) đúng, Q(n) sai
n ≥ 5: P(n) sai, Q(n) sai
1 + 2 + 3 + … + n = (n(n+1))/2
Lời giải:
– Khi n = 1, VT = 1;
– Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là:
Ta phải chứng minh rằng đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là:
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:
Vậy đẳng thức đúng với mọi n ∈ N*
a) So sánh 3 n và 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5.
b) Dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp
Lời giải:
a)n = 1 ⇒ 3 1 = 3 < 8 = 8.1
n = 2 ⇒ 3 2 = 9 < 16 = 8.2
– n = 3, bất đẳng thức đúng
– Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 3, nghĩa là:
Ta phải chứng minh rằng bất đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là:
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:
Vậy bất đẳng thức đúng với mọi n ≥ 3
Bài 1 (trang 82 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng với n ∈ N*, ta có các đẳng thức:
Lời giải:
a. + Với n = 1, ta có:
VT = 3 – 1 = 2
VP = (3 + 1)/2 = 2.
⇒ VT = VP
⇒ (1) đúng với n = 1
+ Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1 nghĩa là:
2 + 5 + 8 + …+ (3k – 1) = k(3k + 1)/2. (*)
Ta cần chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là :
Thật vậy :
Ta có :
2 + 5 + 8 + … 3.(k + 1) – 1
= 2 + 5 + 8 + … + (3k – 1) + [3.(k + 1) – 1]
b) + Với n = 1 :
Vậy (2) đúng với n = 1
Thật vậy, ta có :
c. + Với n = 1 :
⇒ (3) đúng với n = 1
+ giả sử đẳng thức (3) đúng với n = k nghĩa là :
Cần chứng minh (3a) đúng khi n = k + 1, tức là:
Thật vậy:
Bài 2 (trang 82 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng với n ∈ N*
b. 4 n + 15n – 1 chia hết cho 9
c. n 3 + 11n chia hết cho 6.
Lời giải:
a. Cách 1: Quy nạp
+ Ta có: với n = 1
A 1 = 1 + 3 + 5 = 9 chia hết 3
+ giả sử với n = k ≥ 1 ta có:
A k = (k 3 + 3k 2 + 5k) chia hết 3 (giả thiết quy nạp)
Ta chứng minh A k + 1 chia hết 3
Thật vậy, ta có:
Theo giả thiết quy nạp: k 3 + 3k 2 + 5k ⋮ 3
Cách 2: Chứng minh trực tiếp.
= n.(n + 1)(n + 2) + 3n.
Mà: n(n + 1)(n + 2) ⋮ 3 (tích của ba số tự nhiên liên tiếp)
3n ⋮ 3
Vậy n 3 + 3n 2 + 5n chia hết cho 3 với mọi ∀n ∈ N*
b. 4 n + 15n – 1 chia hết cho 9
với n = 1 ⇒ A 1 = 4 + 15 – 1 = 18 chia hết 9
+ giả sử đúng với n = k ≥ 1 nghĩa là:
A k = (4 k + 15k – 1) chia hết 9 (giả thiết quy nạp)
Ta cần chứng minh: A k + 1 chia hết 9
Thật vậy, ta có:
= 4.4 k + 15k + 15 – 1
Theo giả thiết quy nạp: A k ⋮ 9.
Lại có : 4 k + 5 = (3 + 1)k + 5 ≡ 1 + 5 ≡ 0 (mod 3)
Vậy 4 n + 15n – 1 chia hết cho 9 ∀n ∈ N*
c. Cách 1: Chứng minh quy nạp.
+ Với n = 1 ⇒ U 1 = 12 chia hết 6
+ giả sử đúng với n = k ≥ 1 ta có:
U k = (k 3 + 11k) chia hết 6 (giả thiết quy nạp)
Ta cần chứng minh: U k + 1 = (k + 1) 3 + 11(k + 1) chia hết 6
Thật vậy ta có:
Mà: U k ⋮ 6 (giả thiết quy nạp)
Vậy n 3 + 11n chia hết cho 6 ∀n ∈ N*.
Cách 2: Chứng minh trực tiếp.
= n(n – 1)(n + 1) + 12n.
Vì n(n – 1)(n + 1) là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất 1 thừa số chia hết cho 2 và 1 thừa số chia hết cho 3
⇒ n(n – 1)(n + 1) ⋮ 6.
Lại có: 12n ⋮ 6
⇒ n 3 + 11n = n(n – 1)(n + 1) + 12n ⋮ 6.
Bài 3 (trang 82 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có các bất đẳng thức:
Khi đó:
⇒ (1) đúng với n = k + 1.
Khi đó:
⇒ (2) đúng với n = k + 1.
Bài 4 (trang 83 SGK Đại số 11):
b.Dự đoán công thức tính tổng S n và chứng minh bằng quy nạp.
Ta chứng minh đẳng thức (1) bằng quy nạp
+ Với n = 1 thì (1) đúng.
+ Giả sử (1) đúng với n = k, tức là
Khi đó:
⇒ (1) đúng với n = k + 1, do đó đúng với mọi n ∈ N*
Bài 5 (trang 83 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là n(n-3)/2
Lời giải:
Chọn 2 điểm bất kì trong số các đỉnh của một đa giác ta được 1 đoạn thẳng (cạnh hoặc đường chéo)
⇒ Số đoạn thẳng của đa giác bằng:
⇒ số đường chéo của đa giác lồi có n cạnh là:
Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 11 Bài 1: Phương Pháp Quy Nạp Toán Học (Nâng Cao)
Sách giải toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học (Nâng Cao) giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 11 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
Bài 1 (trang 100 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta luôn có đẳng thức sau:
Bài 2 (trang 100 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta luôn có đẳng thức sau:
Vậy (1) đúng với n=k+1 do đó (1) đúng với mọi n nguyên dương.
Bài 3 (trang 100 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta luôn có bất đẳng thức sau:
Điều này luôn đúng. Suy ra (*) đúng. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Bài 4 (trang 100 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 2 ta luôn có đẳng thức sau:
Vậy (1) đúng với n=k+1. Suy ra điều phải chứng minh.
Bài 5 (trang 100 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Cho n là một số nguyên lớn hơn 1. Hãy chứng minh bất đẳng thức sau:
Bài 6 (trang 100 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Với mọi số nguyên dương n, đặt un = 7.22n – 2 + 32n – 1(1). Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có un chia hết cho 5.
Lời giải:
Giải bài 6 trang 100 SGK Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao
Với n=1 ta có: u 1 = 7.2 2.1 – 2 + 3 2.1 – 1 = 10 chia hết cho 5. Vậy (1) đúng với n = 1.
Giả sử (1) đúng với n=k, ta chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1.
Thật vậy ta có:
Vì u k chia hết cho 5 theo giả thiết quy nạp nên từ (2) suy ra điều phải chứng minh.
Lời giải:
Giải bài 7 trang 100 SGK Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao Giải bài 7 trang 100 SGK Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao
Với n=1 ta có (1 + x) 1 = 1 + x = 1 + 1.x. Vậy (1) đúng vơi n = 1.
Giả sử (1) đúng vơi n=k, ta chứng minh nó đúng với n = k + 1.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Bài 8 (trang 100 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Một học sinh chứng minh mệnh đề “với k là số nguyên dương tùy ý, nếu 8k + 1 chia hết cho 7 thì 8k + 1 + 1 cũng chia hết cho 7″ như sau: Ta có: 8k + 1 + 1 = 8(8k + 1) – 7. Từ đây và giả thiết 8k + 1 chia hết cho 7 suy ra 8k + 1 + 1 cũng chia hết cho 7.Hỏi cách chứng minh trên, bạn học sinh đó có thể kết luận được 8 n + 1 chia hết cho 7 với mọi n nguyên dương không? Vì sao?
Lời giải:
Giải bài 8 trang 100 SGK Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao Giải bài 8 trang 100 SGK Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao
Không thể kết luận được 8 n + 1 chia hết cho 7 với mọi n nguyên dương vì chưa kiểm tra tính đúng của mệnh đề đó khi n = 1.
Giải Sách Bài Tập Toán 11 Bài 1: Quy Tắc Đếm
Sách Giải Sách Bài Tập Toán 11 Bài 1: Quy tắc đếm giúp bạn giải các bài tập trong sách bài tập toán, học tốt toán 11 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
Bài 2.1 trang 72 Sách bài tập Đại số 11: Nam đến cửa hàng văn phòng phẩm để mua quà tặng bạn. Trong cửa hàng có ba mặt hàng: Bút, vở và thước, trong đó có 5 loại bút, 4 loại vở và 3 loại thước. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một món quà gồm một bút, một vở và một thước ?
Lời giải:
Số cách chọn một món quà gồm một bút, một vở và một thước là:
Theo quy tắc nhân, có 5 × 4 × 3 = 60 cách chọn.
Bài 2.2 trang 72 Sách bài tập Đại số 11: Trong một đội văn nghệ có 8 bạn nam và 6 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một đôi song ca nam – nữ ?
Lời giải:
Áp dụng quy tắc nhân, có: 8 × 6 = 48 cách chọn
Bài 2.3 trang 72 Sách bài tập Đại số 11: Có bao nhiêu số tự nhiên có tính chất:
a) Là số chẵn và có hai chữ số (không nhất thiết khác nhau) ;
b) Là số lẻ và có hai chữ số (không nhất thiết khác nhau) ;
c) Là số lẻ và có hai chữ số khác nhau ;
d) Là số chẵn và có hai chữ số khác nhau.
Lời giải:
a) Có 5 cách chọn chữ số hàng đơn vị là số chẵn.
Có 9 cách chọn chữ số hàng chục
Theo quy tắc nhân, có 5 × 9 = 45 số chẵn gồm 2 chữ số.
b) Có 5 cách chọn chữ số hàngđơn vị là lẻ.
Có 9 cách chọn chữ số hàng chục.
Vậy có 5 × 9 = 45 số lẻ gồm hai chữ số (có thể giống nhau).
c) Có 5 cách chọn chữ số hàngđơn vị là số lẻ;
Có 8 cách chọn chữ số hàng chục mà khác chữ số hàngđơn vị.
Vậy có 5 × 8 = 40 số lẻ gồm hai chữ số khác nhau.
d) Số các số chẵn có hai chữ số, tận cùng bằng 0 là 9.
Để tạo nên số chẵn không chẵn chục, ta chọn chữ số hàng đơn vị khác 0. Có 4 cách chọn. Tiếp theo chọn chữ số hàng chục. Có 8 cách chọn. Vậytheo quy tắc cộng và quy tắc nhân, ta có 9 + 8 × 4 = 41 số chẵn gồm hai chữ số khác nhau.
Bài 2.4 trang 72 Sách bài tập Đại số 11: Có 10 cặp vợ chồng đi dự tiệc. Tính số cách chọn một người đàn ông và một người đàn bà trong bữa tiệc để phát biểu ý kiến, sao cho:
a) Hai người đó là vợ chồng ;
b) Hai người đó không là vợ chồng.
Lời giải:
a) Có 10 cách chọn ngờiđànông. Khi đã chọn người đàn ông rồi, chỉ có 1 cách chọn người đàn bà là vợ của người đàn ông đó. Vậy có 10 cách.
b) Có 10 cách chọn người đàn ông. Khi đã chọn người đàn ông rồi, có 9 cách chọn người đàn bà không là vợ của người đàn ông đó. Vậy có 10 × 9 = 90 cách chọn.
Bài 2.5 trang 72 Sách bài tập Đại số 11: Trong 100 000 số nguyên dương đầu tiên, có bao nhiêu số chứa một chữ số 3, một chữ số 4 và một chữ số 5 ?
Lời giải:
Nếu viết 00345 thì ta hiểu đó là số có ba chữ số 345. Với quy ước như vậy ta lí luận như sau: Từ dãy hình thức ∗∗∗∗∗ ta lần lượt thay dấu ∗ bởi các chữ số. Chữ số 3 có 5 cách đặt, khi đã đặt số 3, có 4 cách đặt số 4, có 3 cách đặt số 5. Khi đã đặt xong các số 3, 4, 5 rồi còn hai chỗ nữa. Ta có 7 cách đặt một trong 7 số còn lại vào chỗ dấu ∗ đầu tiên tính từbên trái và 7 cách đặt chữ số vào dấu ∗ còn lại. Vậy theo quy tắc nhân, có 5. 4. 3. 7. 7 = 2940 số nguyên dương không vượt quá 100000 mà chứa một chữ số 3, một chữ số 4 và một chữ số 5.
Bài 2.6 trang 72 Sách bài tập Đại số 11: Giữa hai thành phố A và B có 5 con đường đi. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến B rồi trở về A mà không có đường nào được đi hai lần ?
Lời giải:
Có 5 cách đi từ A đến B. Đến B rồi, có 4 cách trở về A mà không đi qua con đường đã đi từ A đến B. Vậy có 5. 4 = 20 cách đi từ A đến B rồi trở về A mà không đường nào đi hai lần.
Bài 2.7 trang 73 Sách bài tập Đại số 11: Một người đi vào cửa hàng ăn. Người đó muốn chọn thực đơn gồm một món ăn trong 10 món, một loại hoa quả tráng miệng trong 5 loại hoa quả và một loại nước uống trong 4 loại nước uống. Hỏi có bao nhiêu cách chọn thực đơn của bữa ăn ?
Lời giải:
Số cách chọn thực đơn bữa ăn là:
Theo quy tắc nhân có 10. 5. 4 = 200 cách chọn
Bài 2.8 trang 73 Sách bài tập Đại số 11: Một lớp có 40 học sinh, đăng kí chơi ít nhất một trong hai môn thể thao bóng đá và cầu lông.Có 30 em đăng kí môn bóng đá, 25 em đăng kí môn cầu lông. Hỏi có bao nhiêu em đăng kí cả hai môn thể thao ?
Lời giải:
Kí hiệu A và B lần lượt là tập các học sinh đăng kí môn bóng đá và cầu lông.
Ta có A ∪ B = 40. Theo quy tắc cộng mở rộng ta có:
n (A ∩ B) = n(A) + n(B) − n(A ∪ B) = 30 + 25 – 40 = 15
Vậy có 15 em đăng kí chơi hai môn thể thao.
Bài tập trắc nghiệm trang 73 Sách bài tập Đại số 11:
Bài 2.9: Dùng 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 để lập ra các số điện thoại có 7 chữ số. Khi đó, số các số điện thoại đầu 8 là số lẻ là:
A. 5.10 5 B. 5.10 6
Lời giải:
Số đầu là 8 có 1 cách chọn, số điện thoại là số lẻ nên số cuối phải là chữ số lẻ và có 5 cách chọn, mỗi chữ số ở giữa có 10 cách chọn. Do đó, số các số điện thoại 7 chữ số có đầu 8, là số lẻ là 1.5.10 5 = 5.10 5.
Chọn đáp án: A
Bài 2.10: Sắp xếp 5 học sinh lớp A và 5 học sinh lớp B vào hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy 5 ghế sao cho 2 học sinh ngồi đối diện nhau thì khác lớp. Khi đó số cách xếp là:
A. 460000 B. 460500
C. 460800 D. 460900
Lời giải:
Học sinh đầu tiên, giả sử đó là học sinh lớp A có 10 cách chọn ghế, sau đó có 5 cách chọn ra một học sinh lớp B ngồi vào ghế đối diện. Tiếp đến học sinh thứ 2 của lớp A có 8 cách chọn ghế, sau đó có 4 cách chọn ra một học sinh của lớp B ngồi vào ghế đối diện. Tiếp tục đến hết, ta có số cách sắp xếp là: 10.5.8.4.6.3.4.2.2.1 = (5!) 2. 2 5 = 460800 cách.
Chọn đáp án: C
Bài 2.11: Dùng 10 chữ số 0 đến 9 và 26 chữ cái từ A đến Z để lập mật khẩu gồm 6 kí tự, trong đó có ít nhất một kí tự là chữ cái thì số mật khẩu lập được là
Lời giải:
Số tất cả mật khẩu 6 kí tự là 36 6. Số mật khẩu 6 kí tự đều là chữ số là 〖10〗^6. Do đó kết quả là 36 6 – 10 6.
Chọn đáp án: C
Bài tập trắc nghiệm
Bài tập trắc nghiệm
Bài tập trắc nghiệm
Bài tập trắc nghiệm
Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 11 Bài 1: Hai Quy Tắc Đếm Cơ Bản (Nâng Cao)
Sách giải toán 11 Bài 1: Hai quy tắc đếm cơ bản (Nâng Cao) giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 11 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
Bài 1 (trang 54 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Giả sử bạn muốn mua một áo sơ mi cỡ 39 hoặc 40. Áo cỡ 39 có 5 màu khác nhau, áo cỡ 40 có 4 màu khác nhau. Hỏi bạn có bao nhiêu sự lựa chọn (về màu và cỡ áo)?
Lời giải:
Giải bài 1 trang 54 SGK Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao Giải bài 1 trang 54 SGK Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao
Theo quy tắc cộng ta có 5 + 4 = 9 cách chọn áo sơ mi.
Bài 2 (trang 54 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số của nó đều chẵn?
Lời giải:
Giải bài 2 trang 54 SGK Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao Giải bài 2 trang 54 SGK Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao
Chữ số hàng chục có thể chọn trong các chữ số 2,4,6,8 do đó có 4 cách chọn. Chữ số hàng đơn vị có thể chọn trong các chữ số 0,2,4,6,8 do đó có 5 cách chọn. Vậy theo quy tắc nhân ta có 4.5 = 20 số có hai chữ số mà hai chữ số của nó đều chẵn.
Bài 3 (trang 54 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Trong một trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam và 325 học sinh nữ.
a) Nhà trường cần chọn 1 học sinh ở khối 11 đi dự đại hội của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn?
b) Nhà trường cần chọn 2 học sinh trong đó có 1 nam, 1 nữ đi dự trại hè của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn?
Lời giải:
Giải bài 3 trang 54 SGK Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao Giải bài 3 trang 54 SGK Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao
a) Theo quy tắc cộng, nhà trường có 280 + 325 = 605 cách chọn
b) Theo quy tắc nhân, nhà trường có 280.325 = 91000 cách chọn
Bài 4 (trang 54 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Từ các chữ số 1,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên?
a) Có 4 chữ số (không nhất thiết khác nhau)?
b) Có 4 chữ số khác nhau?
Lời giải:
Giải bài 4 trang 54 SGK Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao Giải bài 4 trang 54 SGK Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao
a) Số có 4 chữ số thỏa yêu cầu có dạng
a có 4 cách chọn, b có 4 cách chọn, c có 4 cách chọn, d có 4 cách chọn.
Vậy theo quy tắc nhân có 4.4.4.4 = 256 cách chọn.
b) Số thoả yêu cầu có dạng
a có 4 cách chọn, b có 3 cách chọn, c có 2 cách chọn, d có 1 cách chọn
Vậy theo quy tắc nhân có 4.3.2.1 = 24 cách chọn.
Bạn đang đọc nội dung bài viết Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 11 Bài 1: Phương Pháp Quy Nạp Toán Học trên website Asianhubjobs.com. Hy vọng một phần nào đó những thông tin mà chúng tôi đã cung cấp là rất hữu ích với bạn. Nếu nội dung bài viết hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!