Links downloaded from ToanDHSP.COMBai tap toan roi rac co giai BT Toan roi rac 1
BÀI TẬP CHƯƠNG I Bài 1: Số mã vùng cần thiết nhỏ nhất là bao nhiêu để đảm bảo 25 triệu máy điện thoại khác nhau. Mỗi điện thoại có 9 chữ số có dạng 0XX-8XXXXX với X nhận giá trị từ 0 đến 9.
Giải:
Vì số mã vùng có dạng: 0XX-8XXXXX, với X nhận các giá trị từ 0 đến 9 (10 số), có 07 ký tự X do vậy sẽ có 107 trường hợp. Do đó, theo nguyên lý Dirichlet với 10 triệu máy điện thoại thì số mã vùng cần thiết là: ][35,2000.000.10000.000.25
Bài 2: Biển số xe gồm 8 ký tự, dạng NN-NNNN-XN, ví dụ 75_1576_F1. Hai số đầu là mã tỉnh, X là chữ cái (26 chũ cái). N gồm các số 0, 1, …, 9. Hỏi một tỉnh nào đó cần đăng ký cho 10 triệu xe thì cần bao nhiêu serial (X).
Giải
Bài toán này có 02 cách hiểu: serial ở đây có thể là 02 ký tự NN đầu tiên hoặc là 02 ký tự XN cuối cùng. Cách hiểu 1: (serial là 02 ký tự XN cuối cùng). Hai số NN đầu là mã tỉnh, do nhà nước quy định nên không ảnh hưởng đến kết quả bài toán. Sáu ký tự còn lại có 5 ký tự là N, như vậy có 510 trường hợp. Theo nguyên lý Dirichlet, số serial X tối thiểu phải thỏa mãn: 100000.100000.000.10=⎢⎣⎡⎥⎦⎤. Điều này không hợp lý vì số ký tự chữ cái chỉ là 26. Do vậy, nếu bài toán sửa lại là 1 triệu bảng số xe thì kết quả hợp lý hơn, khi đó số serial là: 10000.100000.000.1=
⎢⎣⎡⎥⎦⎤. Cách hiểu 2: (serial là 02 ký tự NN đầu tiên) Bốn ký tự NNNN sẽ có 104 trường hợp, 02 ký tự XN sẽ có 26*10 = 260 trường hợp. Theo quy tắc nhân, tổng số trường hợp sẽ là: 104*260 = 2.600.000. Do đó, theo nguyên lý Dirichlet, số serial tối thiểu phải là:
Bài 3: Có bao nhiêu xâu nhị phân có độ dài 10: a. Bắt đầu bằng 00 hoặc kết thúc bằng 11. b. Bắt đầu bẳng 00 và kết thúc bằng 11.
Giải
a. Bắt đầu bằng 00 hoặc kết thúc bằng 11. Xâu nhị phân bắt đầu bằng 00 có dạng: 00.xxxxxxxx. Ký tự x có thể là 0 hoặc 1, có 8 ký tự x do vậy có 82 xâu. Xâu nhị phân kết thúc bằng 11 có dạng: xxxxxxxx11. Tương tư ta cũng tính được có 82 xâu. Xâu nhị phân bắt đầu bằng 00 và kết thúc bằng 11 có dạng 00.xxxxxx11. Tương tự như trên, ta cũng tính được có 62 xâu. Vậy số xâu nhị phân bắt đầu bằng 00 hay kết thúc bằng 11 là: Links downloaded from ToanDHSP.COMBai tap toan roi rac co giai
BT Toan roi rac 2 4486451222*268=−=−=n xâu. b. Bắt đầu bằng 00 và kết thúc bằng 11. Xâu nhị phân thỏa mãn đề bài phải có dạng: 00.xxxxxx11. Hai ký tự đầu và 02 ký tự cuối là không đổi, do vậy chỉ còn 06 ký tự ở giữa. Do đó số xâu nhị phân thỏa mãn đề bài là: 26
xâu.
Bài 4: Khóa 29 CNTT có 150 SV học NNLT Java, 160 SV hoc Delphi, 40 SV học cả hai môn trên. a. Tìm tất cả SV của khóa 29 biết rằng SV nào cũng phải học ít nhất 01 môn. b. Biết tổng số SV là 285, hỏi có bao nhiêu SV không học Java hoặc Delphi.
Giải
Gọi J: SV học Java D: SV học Delphi a. Số SV của khóa 29 là: 270401601501=−+=−+== DJDJDJn IU SV b. Câu b có 02 cách hiểu: Cách 01: không học ít nhất 01 môn. Số SV không học Java hoặc Delphi là (áp dụng nguyên lý bù trừ) ta tính được: 245402852=−=−= DJnn I SV Cách 02: không học Java cũng chẳng học Delphi: Theo cách hiểu này, áp dụng nguyên lý bù trừ ta tính được số SV như sau: 1540160150285‘2=+−−=+−−== DJDJnDJn IU SV
Giải
Bài toán này cũng có thể được hiểu theo 02 cách. Cách 01: phân biệt chữ thường với chữ hoa. Chữ cái thường: 26 Chữ cái hoa: 26 Chữ số: 10 Do đó, tổng cộng có 26 + 26 + 10 = 62 ký tự khác nhau. Nếu password có n ký tự. Tổng số trường hợp: n62 Số password không có chữ số: n52 Suy ra số password có ít nhất 01 chữ số: nnnn 5262 −= Áp dụng cho các trường hợp n = 6, 7, 8. Tổng số password thỏa yêu cầu đề bài là: 040.583.949.410.167526252625262887766876=−+−+−=++= nnnn
Cách 02: không phân biệt chữ thường với chữ hoa: Cách làm hoàn toàn tương tự, nhưng thay vì sử dụng các số 62 và 52 thì ở đây sử dụng 02 số: 36 và 26. Kết quả sẽ là:
063.3602.684.483.263626362636887766876=−+−+−=++= nnnnBài 6: Có n lá thư bỏ vào n bì thư. Hỏi xác suất để xảy ra trường hợp không có lá thư nào bỏ đúng được bì thư của nó.
Giải Links downloaded from ToanDHSP.COMBai tap toan roi rac co giai
Bài 7: Chỉ ra rằng nếu chọn 5 số từ tập 8 số {1, 2, …, 7, 8} thì bao giờ cũng có ít nhất 01 cặp số có tổng là 9.
Giải
Từ 8 số ở trên, ta chia thành 04 cặp: {1, 8}, {2, 7}, {3, 6}, {4, 5} và tổng của mỗi cặp đều bằng 9. Như vậy, đề bài sẽ trở thành chọn 5 số từ 4 cặp số trên. Theo nguyên lý Dirichlet, phải có ít nhất 01 cặp số được chọn hết. Vậy bài toán đã được chứng minh.
Bài 8: Chứng minh rằng trong bất kỳ một nhóm 27 từ tiếng Anh nào cũng có ít nhất 2 từ bắt đầu từ cùng 01 chữ cái.
Giải
Bảng chữ cái của tiếng anh gồm 26 ký tự: a, b, c, …, x, y, z. Vì có 27 từ tiếng Anh và mỗi từ bắt đầu bằng 01 chữ cái nên theo nguyên lý Dirichlet phải có ít nhất 02 từ bắt đầu bằng cùng 01 chữ cái.
Bài 9: Cần phải có bao nhiêu SV ghi tên vào lớp TRR để chắc chắn có ít nhất 65 SV đạt cùng điểm thi, giả sử thang điểm thi gồm 10 bậc.
Giải Gọi n là số sinh viên tối thiểu thỏa mãn đề bài, theo nguyên lý Dirichlet thì ] [6510=n. Do vậy 641164*10 =+=n SV.
Bài 10: Tìm hệ thức truy hồi và cho điều kiện đầu để tính số các xâu nhị phân có độ dài n và không có 2 số 0 liên tiếp. Có bao nhiêu xâu nhị phân như thế có độ dài bằng 5.
Giải
Với xâu nhị phân có độ dài n, ta chia thành 02 trường hợp: Nếu ký tự cuối cùng là 1 thì ký tự trước đó (ký tự thứ n – 1) có thể là 1 hay là 0 đều được. Nếu ký tự cuối cùng là 0 thì ký tự trước đó (ký tự thứ n – 1) chỉ có thể là 1 (vì nếu là 0 thì vi phạm yêu cầu bài toán) nhưng ký tự trước đó nữa (thứ n – 2) có thể là 0 hay 1 đều được. Từ 02 trường hợp trên ta suy ra được: 21 −−+=nnnfff Các điều kiện đầu: 21=f , 32=f Có 13 xâu nhị phân có độ dài 5 và không có 2 số 0 liên tiếp. Links downloaded from ToanDHSP.COMBai tap toan roi rac co giai
BT Toan roi rac 4
Giải
Giải
Vậy nghiệm của hệ thức truy hồi là: nnna 3)2(35 −−+=
Bài 13: Tìm hệ thức truy hồi và nr . Với nr là số miền của mặt phẳng bị phân chia bởi n đường thẳng. Biết rằng không có 2 đường thẳng nào song song và cũng không có 03 đường thẳng nào đi qua cùng 1 điểm.
Giải
Links downloaded from ToanDHSP.COMBai tap toan roi rac co giai
BT Toan roi rac 5 Với n đường thẳng, theo đề bài thì đường thẳng thứ n sẽ cắt n – 1 đường thẳng còn lại tại n – 1 điểm, tức là sẽ cắt n – 1 + 1 = n phần mặt phẳng. Do đó, số phần mặt phẳng tăng lên là n. Từ đó, ta có được hệ thức truy hồi: nrrnn+=−1. Các điều kiện đầu là: n = 0: r0 = 1. n = 1: r1 = 2.
BÀI TẬP CHƯƠNG II
Bài 14 Chứng minh rằng trong một đơn đồ thị luôn có ít nhất 02 đỉnh có cùng bậc.
Giải
Trong đồ thị đơn, số bậc tối đa cung TH1: Giả sử đồ thì không có đỉnh treo, do đó số bậc tối thiểu của các đỉnh là 1, số bậc tối đa của các đỉnh là n-1 (vì là đơn đồ thị). Có n đỉnh, số bậc của các đỉnh đi từ 1 đến n-1 (n-1) giá trị. Do đó theo nguyên lý Dirichlet phải có ít nhất 02 đỉnh có cùng bậc. TH2: Giả sử đồ thị có ít nhất 01 đỉnh treo, khi đó số bậc tối thiểu của các đỉnh là 0, và số bậc tối đa chỉ là n-2 (vì là đơn đồ thị, đồng thời có đỉnh treo). Có n đỉnh, số bậc của các đỉnh chỉ có thể đi từ 0 đến n-2 (n-1) giá trị. Do đó theo nguyên lý Dirichlet phải có ít nhất 02 đỉnh có cùng bậc.
Bài 15: Tính tổng số bậc của nK (đơn đồ thị đủ).
Giải
Với đồ thị đủ thì mỗi đỉnh đều nối với các đỉnh còn lại. Do vậy, khi có n đỉnh thì mỗi đỉnh đều nối với n -1 đỉnh còn lại, tức là bậc của mỗi đỉnh đều bằng n – 1. Vậy, tổng số bậc của cả đồ thị là: n*(n – 1) bậc.
II. Các bài tập trong giấy kiểm tra lần 1. Bài 16: (giống bài 12 phần trước).
Bài 17: Links downloaded from ToanDHSP.COMBai tap toan roi rac co giai
BT Toan roi rac 6
Trong tổng số 2504 sinh viên của một khoa công nghệ thông tin, có 1876 theo học môn NNLT Pascal, 999 học môn ngôn ngữ Fortran và 345 học môn ngôn ngữ C. Ngoài ra còn biết 876 sinh viên học cả Pascal và Fortran, 232 học cả Fortran và C, 290 học cả Pascal và C. Nếu 189 sinh viên học cả 03 môn Psacal, Fortran và C thì trong trường hợp đó có bao nhiêu sinh viên không học môn nào trong cả 03 môn nói trên.
Giải
Gọi P: là tập gồm các SV học Pascal F: là tập gồm các SV học Fortran C: là tập gồm các SV học C N: là tổng số SV (2504 SV) Gọi K là số SV học ít nhất 01 môn Theo nguyên lý bù trừ, ta có: KPFCPFCPFFCCPPFC==++−−−+UU I I I II 4932011250420111892902328763459991876 =−=−=⇒=+−−−++= KNKK SV Vậy có 493 SV không học môn nào trong 03 môn: Pascal, Fortran và C.
Bài 18: Hãy tìm số đỉnh, số cạnh, số bậc của mỗi đỉnh và xác định các đỉnh cô lập, đỉnh treo, ma trận liền kề, ma trận liên thuộc trong mỗi đồ thị vô hướng sau:
Giải
Câu 18.1. Số đỉnh: 8 Số cạnh: 11 Đỉnh cô lập: D Đỉnh treo: không có
Tên đỉnh a b C d e g h i Bậc của định 3 2 4 0 5 3 2 3
Câu 18.2. Số đỉnh: 5 Số cạnh: 12 Đỉnh cô lập: không có Đỉnh treo: không có
Tên đỉnh a b c d e Bậc của định 6 5 5 5 3
Giải
Dựa vào ma trận liền kề của hai đơn đồ thị ta có thể vẽ lại các đồ thị bằng hình vẽ: Theo hình vẽ của hai đơn đồ thị ta thấy chúng không có cùng số cạnh, một bên có 4 cạnh và một bên có 5 cạnh. Vậy hai đồ thị có ma trận liền kề đã cho ở trên không đẳng cấu. Bài toán này có thể không cần vẽ hình lại cũng được, từ ma trận kề ta cũng có thể dễ dàng xác định được số cạnh của mỗi đồ thị lần lượt là 4 và 5. Do vậy chúng không thể đẳng cấu.
Bài 20: Xét xem các đồ thị cho sau đây có đẳng cấu với nhau không?
Giải
a. Hình 01. Hai đồ thị cho ở trên có: số đỉnh, số cạnh, tổng số bậc và số bậc của mỗi đỉnh bằng nhau. Đặc biệt, các đỉnh của đồ thị thứ nhất và thứ hai khi sắp theo thứ tự sau đây thì chúng hoàn toàn tương đương về mọi mặt:
Links downloaded from ToanDHSP.COMBai tap toan roi rac co giai
BT Toan roi rac 9Số bậc của mỗi đỉnh 3 4 4 3 5 5
Chính vì vậy, hai đồ thị trên là đẳng cấu. b. Hình 02. Hai đồ thị có hướng cho ở trên khi sắp theo thứ tự sau đây về các đỉnh thì chúng tương đương về tất cả các mặt: từ số đỉnh, tổng số bậc, bậc vào, bậc ra của mỗi đỉnh, tổng số cạnh, thứ tự và chiều của các cạnh đều tương ứng:
Vì vậy, hai đồ thị có hướng ở trên là đẳng cấu với nhau.
Bài 21: (3.1) Cho G là đồ thị có v đỉnh và e cạnh, còn m và M tương ứng là bậc nhỏ nhất và lớn nhất các đỉnh của G. Chứng tỏ rằng: 2emMv≤≤
Giải
Vì m và M tương ứng là bậc nhỏ nhất và lớn nhất các đỉnh của G, do đó ta dễ dàng có được:
Bài 22: (3.2) Chứng minh rằng nếu G là đơn đồ thị phân đôi có v đỉnh và e cạnh, khi đó chứng minh bất đẳng thức sau đây: 2(1)4ve ≤Giải
Bài 24: (3.6) Tìm ma trận liền kề cho các đồ thị sau:
Hai đồ thị với ma trận liền kề ở trên không thể đẳng cấu với nhau vì: chúng có số cạnh khác nhau: đồ thị thứ nhất có 4 cạnh, đồ thị thứ hai có 5 cạnh.
Bài 26: (3.9)
Thưa thầy, theo em nghĩ thì đây là hai ma trận liên thuộc chứ không phải là hai ma trận liền kề. Và nếu là hai ma trận liên thuộc thì chúng đẳng cấu với nhau vì: Links downloaded from ToanDHSP.COMBai tap toan roi rac co giai
Giải
Bài này hoàn toàn giống bài số 20 đã giải ở trên.
Bài 28: (3.11) Cho V = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} và E là tập hợp các cặp phần tử (u, v) của V sao cho u < v và u với v là các số nguyên tố cùng nhau. Hãy vẽ đồ thị có hướng (),GVE= . Tìm số đường đi phân biệt độ dài 3 từ đỉnh 2 tới đỉnh 8. Giải 72438Links downloaded from ToanDHSP.COMBai tap toan roi rac co giai
BT Toan roi rac 13 Bài 29: (3.12)
Hãy tìm số đường đi độ dài n giữa hai đỉnh liền kề (t.ư không liền kề) tùy ý trong K3,3 với mỗi giá trị của n sau: a. n = 2, b. n = 3, c. n = 4, d. n = 5.
Giải
Hai đỉnh liền kề phải ở 2 phần khác nhau. Một cạnh chỉ có thể nối từ 1 đỉnh ở phần (I) đến 1 đỉnh ở phần (II) và ngược lại. Gọi m là số đường đi giữa 2 đỉnh bất kỳ trong K3,3 có độ dài n. TH1: n chẵn. Nếu n chẵn thì đỉnh đầu và đỉnh cuối của đường đi phải ở cùng 1 phần, do vậy chúng không thể liền kề. TH2: n lẻ.
Nếu n lẻ thì đỉnh đầu và đỉnh cuối của đường đi phải ở trên 2 phần khác nhau, do vậy chúng phải liền kề (vì đây là K3,3). Mặc khác mỗi một đỉnh ở phần này luôn có 3 phương án để đi qua 1 đỉnh ở phần kia. Do vậy ta có được các kết luận sau đây: o Hai đỉnh liền kề, n chẵn: m = 0, o Hai đỉnh liền kề, n lẻ: m = 3n-1, o Hai đỉnh không liền kề, n chẵn: m = 3n-1, o Hai đỉnh không liền kề, n lẽ: m = 0.
Áp dụng cho các trường hợp:
BT Toan roi rac 14Bài tập chương III
Câu 1: Cho G là đồ thị có v đỉnh và e cạnh, còn M, m tương ứng là bậc lớn nhất và nhỏ nhất của các đỉnh của G. Chứng tỏ rằng: m ≤ ve2 ≤ M. Câu 2: Chứng minh rằng nếu G là đơn đồ thị phân đôi có v đỉnh và e cạnh, khi đó e ≤ v2/4.
BT Toan roi rac 15Câu 10: Các đồ thị G và G’ sau có đẳng cấu với nhau không? a) b) Câu 11: Cho V={2,3,4,5,6,7,8} và E là tập hợp các cặp phần tử (u,v) của V sao cho u<v và u,v nguyên tố cùng nhau. Hãy vẽ đồ thị có hướng G=(V,E). Tìm số các đường đi phân biệt độ dài 3 từ đỉnh 2 tới đỉnh 8.
Câu 12: Hãy tìm số đường đi độ dài n giữa hai đỉnh liền kề (t.ư. không liền kề) tùy ý trong K3,3 với mỗi giá trị của n sau: a) n=2, b) n=3, c) n=4, d) n=5. u1
Links downloaded from ToanDHSP.COMBai tap toan roi rac co giai
BT Toan roi rac 16Câu 1:
Vì m và M tương ứng là bậc nhỏ nhất và lớn nhất các đỉnh của G, do đó ta dễ dàng có được: deg() , i=1,vimvM≤≤ ⇔
Khi đó, số cạnh nhiều nhất sẽ là:12 12 (2)ddd edd=× ⇔≤ Ta dễ dàng có được: 22 22 212 1 122 1 122 12()0 2 0 2 4dd d ddd d ddd dd− ≥⇔− +≥⇔+ +≥
Câu 4:
Links downloaded from ToanDHSP.COMBai tap toan roi rac co giai
Links downloaded from ToanDHSP.COMBai tap toan roi rac co giai
Links downloaded from ToanDHSP.COMBai tap toan roi rac co giai
BT Toan roi rac 20Câu 8: Dựa vào ma trận liền kề của hai đơn đồ thị ta có thể vẽ lại các đồ thị bằng hình vẽ: Dựa vào hình vẽ của hai đơn đồ thị ta thấy hai đơn đồ thị không có cùng số cạnh, một bên có 4 cạnh và một bên có 5 cạnh. Vậy hai đơn đồ thị có ma trận liền kề đã cho không đẳng cấu.
Câu 9: Theo em dề ra là hai ma trận liên thuộc Dựa vào hai ma trận liên thuộc ta có thể vẽ lại đồ thị của hai ma trận như sau:
Hai đồ thị có các cạnh tương ứng là:
Links downloaded from ToanDHSP.COMBai tap toan roi rac co giai
b/ Hai đồ thị có hướng G1, G2 cho ở trên khi sắp lại thứ tự về các đỉnh thì chúng tương đương về tất cả các mặt: từ số đỉnh, tổng số bậc, bậc vào, bậc ra của mỗi đỉnh, tổng số cạnh, thứ tự và chiều đi và đến của các cạnh đều tương ứng với nhau:
Bậc vào: 1 2 1 2 2 1 Bậc ra: 2 1 2 1 1 2
Vì vậy, hai đồ thị G1,G2 có hướng cho ở trên là đẳng cấu với nhau. Câu 12: Hai đỉnh liền kề phải ở 2 phần khác nhau cảu đồ thị. Một cạnh chỉ có thể nối từ 1 đỉnh ở phần (I) đến 1 đỉnh ở phần (II) và ngược lại. Gọi b là số đường đi giữa 2 đỉnh bất kỳ trong K3,3 có độ dài n. TH1: n chẵn. Nếu n chẵn thì đỉnh đầu và đỉnh cuối của đường đi phải ở cùng 1 phần, do vậy chúng không thể liền kề. TH2: n lẻ. Nếu n lẻ thì đỉnh đầu và đỉnh cuối của đường đi phải ở trên 2 phần khác nhau, do vậy chúng phải liền kề (vì đây là K3,3). Mặc khác mỗi một đỉnh ở phần này luôn có 3 đường đi để đi qua 1 đỉnh ở phần kia. Do vậy ta có được các kết quả sau đây rút ra từ suy luận trên: o Hai đỉnh liền kề, n chẵn: b = 0, o Hai đỉnh liền kề, n lẻ: b = 3n-1, (II) (I) 1 43 2 56Links downloaded from ToanDHSP.COMBai tap toan roi rac co giai
BT Toan roi rac 22o Hai đỉnh không liền kề, n chẵn: b = 3n-1, o Hai đỉnh không liền kề, n lẽ: b = 0. Áp dụng cho các trường hợp:
Số cạnh n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 Liền kề 0 9 0 81 Không liền kề 3 0 27 0
BÀI TẬP CHƯƠNG 4 ĐỒ THỊ EULER VÀ ĐỒ THỊ HAMILTON Bài 1: Với giá trị nào của n thì các đồ thị sau đây là đồ thị Euler? a. Kn b. Cn c. Wn d. QnGiải:
Bài 2:
Với các giá trị nào của m và n thì đồ thị phân đôi đầy đủ Km,n có: a. Chu trình Euler. b. Đường đi Euler.
Giải
a. Vì các đỉnh của đồ thị phân đôi đủ Km,n có bậc là m hoặc n. Do vậy, để nó là đồ thị Euler thì m và n đều phải là một số chẵn. b. Để một đồ thị có đường đi Euler thì phải có đúng 2 đỉnh bậc lẻ, các đỉnh còn lại phải là bậc chẵn. Vậy một trong 2 giá trị m, n phải là 2, giá trị còn lại phải là số lẻ. Links downloaded from ToanDHSP.COMBai tap toan roi rac co giai
BT Toan roi rac 23Bài 3: Với giá trị nào của m và n thì đồ thị phân đôi đầy đủ Km,n có chu trình Hamilton.
Giải
Theo định lý Dirac, nếu G là đơn đồ thị có n đỉnh và mọi đỉnh của G đều có bậc không nhỏ hơn 2n thì G là một đồ thị Hamilton. Với Km,n các đỉnh có bậc m hoặc n, nên để đồ thị đầy đủ Km,n là đồ thị Hamilton thì phải có điều kiện sau:
Câu 4: Chứng minh rằng đồ thị lập phương Qn là một đồ thị Hamilton. Vẽ cây liệt kê tất cả các chu trình Hamilton của đồ thị lập phương Q3.
Câu 5: Trong một cuộc họp có 15 người mỗi ngày ngồi với nhau quanh một bàn tròn một lần. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho mỗi lần ngồi họp, mỗi người có hai người bên cạnh là bạn mới, và sắp xếp như thế nào ?
Câu 6: Hiệu trưởng mời 2n (n ≥ 2) sinh viên giỏi đến dự tiệc. Mỗi sinh viên giỏi quen ít nhất n sinh viên giỏi khác đến dự tiệc. Chứng minh rằng luôn luôn có thể xếp tất cả các sinh viên giỏi ngồi xung quanh một bàn tròn, để mỗi người ngồi giữa hai người mà sinh viên đó quen. Giải Giả sử có đồ thị G = (V, E) mà trong đó ta có: V là tập hợp các sinh viên được mời dự tiệc, E = (u,v) với u, v thuộc V và u, v có quan hệ là quen biết nhau (theo giả thiết của đề bài). Như vậy theo giả thiết của bài toán ta sẽ xác lập được một đồ thị là một đơn đồ thị có 2n đỉnh, mỗi đỉnh có bậc tối thiểu là n (vì theo đề bài cho: mỗi sinh viên quen biết với ít nhất là n sinh viên khác).Cho nên ta có: số bậc của mỗi đỉnh 2
Do đó, theo định lý Dirac thì G là đồ thị Hamilton. Mặc khác, đây là đồ thị vô hướng Vậy theo các lập luận trên thì luôn luôn có thể xếp tất cả các sinh viên giỏi ngồi xung quanh một bàn tròn, để mỗi người ngồi giữa hai người mà sinh viên đó quen. (đpcm) Câu 7: Một ông vua đã xây dựng một lâu đài để cất báu vật. Người ta tìm thấy sơ đồ của lâu đài (hình sau) với lời dặn: muốn tìm báu vật, chỉ cần từ một trong các phòng bên ngoài cùng (số 1, 2, 6, 10, ), đi qua tất cả các cửa phòng, mỗi cửa chỉ một lần; báu vật được giấu sau cửa cuối cùng. Hãy tìm nơi giấu báu vật? 21 3 4 567Links downloaded from ToanDHSP.COMBai tap toan roi rac co giai
Câu 9: Giải bài toán người phát thư Trung Hoa với đồ thị cho trong hình sau:
Đồ thị G có đường đi Hamilton từ s tới r nhưng không có chu trình Hamilton thì ta cần tìm một đường đi từ s tới r qua tất cả các đỉnh còn lại nhưng không trở về đỉnh xuất phát . Đường đi Hamilton là : s Æ a Æ b Æ c Æ e Æ f Æ g Æ d Æ h Æ r Từ đồ thị ta nhận thấy sẽ không có bất kỳ chu trình Hamilton nào xuất phát từ s và lại trở về s. Câu 11: Cho thí dụ về: a) Đồ thị có một chu trình vừa là chu trình Euler vừa là chu trình Hamilton; b) Đồ thị có một chu trình Euler và một chu trình Hamilton, nhưng hai chu trình đó không trùng nhau; c) Đồ thị có 6 đỉnh, là đồ thị Hamilton, nhưng không phải là đồ thị Euler; d) Đồ thị có 6 đỉnh, là đồ thị Euler, nhưng không phải là đồ thị Hamilton. Giải a) b) acbsrfedgh13 2 1 2 34 65