Top 8 # Xem Nhiều Nhất Bài Toán Giải Phương Trình Vô Tỉ Mới Nhất 6/2023 # Top Like

II.MÔ TẢ GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI: 1/ Thuyết minh : Thực hiện đề tài này, tôi sử dụng các phương pháp sau đây: – Phương pháp nghiên cứu lý luận – Phương pháp khảo sát thực tiễn – Phương pháp phân tích – Phương pháp tổng hợp – Phương pháp khái quát hóa – Phương pháp quan sát – Phương pháp kiểm tra – Phương pháp tổng kết kinh nghiệm 2/Các phương pháp giải phương trình vô tỉ 1. Phương pháp nâng lên lũy thừa a) Dạng 1: Û Ví dụ. Giải phương trình: (1) Giải: (1) Û Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = 3 b) Dạng 2: Ví dụ. Giải phương trình: (2) Giải: Với điều kiện x ≥ 2. Ta có: (2) Û Û Û Û Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = 6 c) Dạng 3: Ví dụ. Giải phương trình: (3) Giải: Với điều kiện 7 ≤ x ≤ 12. Ta có: (3) Û Û Û Û 4(19x – x2 – 84) = x2 – 8x + 16 Û 76x – 4x2 – 336 – x2 + 8x – 16 = 0 Û 5x2 – 84x + 352 = 0 Û x1 = ; x2 = 8 Vậy: phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = ; x2 = 8 d) Dạng 4: Ví dụ. Giải phương trình: (4) Giải: Với điều kiện x ≥ 4. Ta có: (4) Û Û Û Û Û 45 + 14x + 14 = 0 Với x ≥ 4 Þ vế trái của phương trình luôn là một số dương Þ phương trình vô nghiệm 2. Phương pháp trị tuyệt đối hóa Ví dụ 1. Giải phương trình: (1) Giải: (1) Û Với điều kiện x ≤ 8. Ta có: – Nếu x < 2: (1) Þ 2 – x = 8 – x (vô nghiệm) – Nếu 2 ≤ x ≤ 8: (1) Þ x – 2 = 8 – x Û x = 5 HD: Đáp số: x = 5. Ví dụ 2. Giải phương trình (2) Giải: (2) Û Û Đặt y = (y ≥ 0) Þ phương trình đã cho trở thành: – Nếu 0 ≤ y < 1: y + 1 + 3 – y = 2 – 2y Û y = –1 (loại) – Nếu 1 ≤ y ≤ 3: y + 1 + 3 – y = 2y – 2 Û y = 3 Với y = 3 Û x + 1 = 9 Û x = 8 Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm là x = 8 3. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức a) Chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau, khi đó phương trình vô nghiệm Ví dụ 1. Giải phương trình Cách 1. điều kiện x ≥ 1 Với x ≥ 1 thì: Vế trái: Þ vế trái luôn âm Vế phải: ≥ 1 Þ vế phải luôn dương Vậy: phương trình đã cho vô nghiệm Cách 2. Với x ≥ 1, ta có: Û Û Vế trái luôn là một số âm với x ≥ 1, vế phải dương với x ≥ 1 Þ phương trình vô nghiệm b) Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế Ví dụ 2. Giải phương trình: (1) Giải: Ta có (1) Û Û Ta có: Vế trái ≥ . Dấu “=” xảy ra Û x = –1 Vế phải ≤ 5. Dấu “=” xảy ra Û x = –1 Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = –1 c) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số (tìm một nghiệm, chứng minh nghiệm đó là duy nhất) Ví dụ 1. Giải phương trình: Giải: điều kiện x ≥ Dễ thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x = 2 Ví dụ 2. Giải phương trình: Giải: Thử với x = 2. Ta có: (1) Û Nếu x VP Vậy: x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình Ví dụ 3. Giải phương trình: Giải: ĐK: x < 2. Bằng cách thử, ta thấy x = là nghiệm của phương trình. Ta cần chứng minh đó là nghiệm duy nhất. Thật vậy: Với x < : và Þ . Tương tự với < x < 2: Ví dụ 4. Giải phương trình: (1) Giải: (1) Nếu 3x = –(2x + 1) Û x = thì các biểu thức trong căn ở hai vế bằng nhau. Vậy x = là một nghiệm của phương trình. Hơn nữa nghiệm của (1) nằm trong khoảng . Ta chứng minh đó là nghiệm duy nhất. Với : 3x < –2x – 1 < 0 Suy ra: Þ (1) không có nghiệm trong khoảng này. Chứng minh tương tự, ta cũng đi đến kết luận (1) không có nghiệm khi d) Sử dụng điều kiện xảy ra dấu “=” ở bất đẳng thức không chặt Ví dụ. Giải phương trình Giải: điều kiện Với điều kiện . Nên: . Dấu “=” xảy ra Û Û 4. Phương pháp đưa về phương trình tích Ví dụ 1. Giải phương trình: Giải. ĐK: x ≥ 2. Để ý thấy: (2x + 1) – (x – 2) = x + 3. Do đó, nhân lượng liên hợp vào hai vế của phương trình: Û Þ PT vô nghiệm Ví dụ 2. Giải phương trình: (1) Û x1 = 0; x2 = Ví dụ 3. Giải phương trình: (1) Giải. Chú ý: x4 – 1 = (x – 1)(x3 + x2 + x + 1). (1) Û Û x = 2 5. Phương pháp đặt ẩn phụ a) Sử dụng một ẩn phụ Ví dụ 1. Giải phương trình: (1) Giải. Đặt = y (y ≥ 0) Þy2 = x + 1 Û x = y2 – 1 Û x2 = (y2 – 1)2 Þ (2) Û (y2 – 1)2 + y – 1 = 0 Û y(y - 1)(y2 + y - 1) = 0. Từ đó suy ra tập nghiệm của phương trình là: Ví dụ 2. Giải phương trình: (1) HD: ĐK: x ≥ 1. Đặt = y (1) Û Û y3 + y2 – 2 = 0 Û (y – 1)(y2 + 2y + 2) = 0 Û y = 1 Û x = 1 b) Sử dụng hai ẩn phụ Ví dụ 1. Giải phương trình: 2(x2 + 2) = 5 (3) Giải. Đặt u = , v = (ĐK: x ≥ -1, u ≥ 0, v ≥ 0). Khi đó: u2 = x + 1, v2 = x2 – x + 1, u2v2 = x3 + 1. Þ (3) Û 2(u2 + v2) = 5uv Û (2u - v)(u - 2v) = 0 Giải ra, xác định x. Kết quả là: x Î Ví dụ 2. Giải phương trình: (1) Giải. ĐK: x ≥ –2. (1) Û Đặt: = u, = v (u, v ≥ 0)Þ u2 – v2 = 3. (1) Û (a – b)(1 + ab) = a2 – b2 Û (a – b)(1 – a + ab – b) = 0 Û (a – b)(1 – a)(1 – b) = 0 Giải ra: x = –1 là nghiệm duy nhất Ví dụ 3. Giải phương trình: (1) Giải. ĐK: x ≥ 0. Đặt = u, = v (u, v ≥ 0): (1) Û b – a = a2 – b2 Û (a – b)(a + b + 1) = 0 Ví dụ 4. Giải phương trình: (1) Giải. Đặt = u, = v (u, v ≥ 0) (1) Û Û u – (v2 – u2) – v = 0 c) Sử dụng ba ẩn phụ Ví dụ 1. Giải phương trình: (1) Giải. ĐK: x ≥ 2. (1) Û Đặt: = a, = b, = c (a, b, c ≥ 0): (1) Û ab + c = b + ac Û (a – 1)(b – c) = 0 Û a = 1 hoặc b = c. Thay ngược trở lại ta được x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình Ví dụ 2. Giải phương trình : Giải. Đặt : ; ; (u ; v ; t ≥ 0) Þ x = 2 − u2 = 3 − v2 = 5 − t2 = uv + vt + tu Từ đó ta có hệ: Nhân từng vế của (1), (2), (3) ta có : [ (u + v)(v + t)(t + u) ]2 = 30 Vì u ; v ; t ≥ 0 nên: (4) Kết hợp (4) với lần lượt (1) ; (2) ; (3) dẫn đến: Cộng từng vế của (5) ; (6) ; (7) ta có: (8) Kết hợp (8) với lần lượt (5) ; (6) ; (7) ta có: d) Sử dụng ẩn phụ đưa về hệ phương trình Ví dụ 1. Giải phương trình Cách 1: Giải tương tự bài 1. Ta được x = 5 Cách 2: Đặt và . Ta có hệ: Û Û x = 5. Ví dụ 2. Giải phương trình: Giải. ĐK: 0 ≤ x ≤ 25. Đặt = u , (u, v ≥ 0): ÞGiải ra ta có x = 1 là nghiệm duy nhất. Ví dụ 3. Giải phương trình: Giải. ĐK: –3 ≤ x ≤ 3: Đặt = u, = v (u, v ≥ 0) Þ Û . Thế ngược trở lại: x = 0 là nghiệm duy nhất. Ví dụ 4. Giải phương trình: Giải. ĐK: – 4 ≤ x ≤ 1. Đặt (u, v ≥ 0) Þ Þ Ví dụ 5. Giải phương trình: Giải. ĐK: –2 ≤ x ≤ 2: Đặt (u, v ≥ 0) Þ Giải ra ta được: (a, b) = {(0 ; 2), (2 ; 0)}. Từ đó thế ngược trở lại: x = ±2 Ví dụ 6. Giải phương trình: (1) Giải. Đặt = u, = v (u, v ≥ 0) Þ (1) Û Ví dụ 7. Giải phương trình: Giải. Đặt (1) Û Þ kết quả 6. Giải và biện luận phương trình vô tỉ Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình: Giải. Ta có: Û – Nếu m = 0: phương trình vô nghiệm – Nếu m ≠ 0: . Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m Û ≥ m + Nếu m < 0: m2 + 4 ≤ 2m2 Û m2 ≥ 4 Û m ≤ –2 Tóm lại: – Nếu m ≤ –2 hoặc 0 < m ≤ 2: phương trình có một nghiệm – Nếu –2 2: phương trình vô nghiệm Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình với m là tham số: Giải. Ta có: – Nếu m = 0: phương trình vô nghiệm – Nếu m ≠ 0:. Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m Û + Nếu m < 0: m2 + 3 ≤ 2m2 Û m2 ≥ 3 Û m ≤ Tóm lại: – Nếu hoặc . Phương trình có một nghiệm: – Nếu hoặc : phương trình vô nghiệm Ví dụ 3. Giải và biện luận theo tham số m phương trình: Giải. Điều kiện: x ≥ 0 – Nếu m < 0: phương trình vô nghiệm – Nếu m = 0: phương trình trở thành Þ có hai nghiệm: x1 = 0, x2 = 1 + Nếu 0 < m ≤ 1: phương trình có hai nghiệm: x1 = m; x2 = C.Một số sai lầm thường mắc phải Khi giảng dạy cho học sinh tôi nhận thấy: 1. Khi gặp bài toán: Giải phương trình = x - 2 (1) Sách giáo khoa đại số 10 đã giải như sau điều kiện pt(1) là x (*) (1) 2x - 3 = x2 - 4x + 4 x2 - 6x + 7 = 0 Phương trình cuối có nghiệm là x = 3 + và x = 3 - . Cả hai nghiệm đều thoả mãn điều kiện (*) của phương trình (1) nhưng khi thay các giá trị của các nghiệm tìm được vào phương trình (1) thì giá trị x = 3 - bị loại . Vậy nghiệm phương trình (1) là x = 3 + . Mặt khác, một số học sinh còn có ý kiến sau khi giải được nghiệm ở phương trình cuối chỉ cần so sánh với điều kiện x (*) để lấy nghiệm và nghiệm phương trình là x = 3 + và x = 3 - . Theo tôi cách giải vừa nêu trên rất phức tạp ở việc thay giá trị của nghiệm vào phương trình ban đầu để thử sau đó loại bỏ nghiệm ngoại lai và dễ dẫn đến sai lầm của một số học sinh khi lấy nghiệm cuối cùng vì nhầm tưởng điều kiện x là điều kiện cần và đủ. 2. Khi gặp bài toán: Giải phương trình = Học sinh thường đặt điều kiện sau đó bình phương hai vế để giải phương trình Điều chú ý ở đây là học sinh cứ tìm cách để biểu thị hệ điều kiện của phương trình mà không biết rằng chỉ cần điều kiện x + 1 0 là điều kiện cần và đủ mà không cần đặt đồng thời cả hai điều kiện . 3. Khi gặp bài toán: Giải phương trình (x + 1) = 0 Một số HS đã có lời giải sai như sau: Ta có: (x + 1) = 0 ó ó Nhận xét: Đây là một bài toán hết sức đơn giản nhưng nếu giải như vậy thì đã mắc một sai lầm mà không đáng có. Rõ ràng x = - 1 không phải là nghiệm của phương trình trên. Chú ý rằng: ở đây đã bị bỏ qua mất điều kiện là: B ≥ 0 (x ≥ 2). 4. Khi gặp bài toán: Giải phương trình = x2 -2x+3 Một số học sinh thường đặt điều kiện rồi bình phương hai vế đi đến một phương trình bậc bốn và rất khó để giải được kết quả cuối cùng vì phương trình bậc bốn chưa có cách giải cụ thể đối với học sinh bậc phổ thông . 5. Khi gặp bài toán: Giải phương trình (x+2) = x+1 Một số HS đã có lời giải sai như sau: Ta có: (x+2) = x+1 =x+1 (vô nghiệm) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Nhận xét: Rỏ ràng x = -3 là nghiệm của phương trình. Lời giải trên đã làm cho bài toán có nghiệm trở thành vô nghiệm. Cần chú ý rằng: Lời giải trên đã xét thiếu trường hợp A < 0; B < 0 Lúc này vai trò của người giáo viên là rất quan trọng, phải hướng dẫn chỉ rõ cho học sinh phương pháp giải từng dạng toán, nên giải như thế nào cho hợp lý đối với từng loại toán để được một bài toán đúng biến đổi đúng và suy luận có logic tránh được các tình huống rườm rà phức tạp dễ mắc sai lầm. Trên cơ sở đó hình thành cho học sinh kỹ năng tốt khi giải quyết các bài toán về phương trình vô tỉ 1/ Giải pháp 1: * Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng 1 : = g(x) (1) a, Phương pháp: Giáo viên: chỉ cho học sinh thấy được rằng nếu khi bình phương hai vế để đi đến phương trình tương đương thì hai vế đó phải không âm pt = g(x) Điều kiện gx) 0 là điều kiện cần và đủ vì f(x) = g2(x) 0 . Không cần đặt thêm điều kiện fx) 0 b, Các ví dụ: + Ví dụ 1: Giải phương trình = x -2 . (1) Điều kiện x 2 (*) (Chú ý: không cần đặt thêm điều kiện 2x - 1 0) Khi đó pt(1) 2x - 1 = (x - 2)2 x2 - 4x + 4= 2x - 1 x2 - 6x + 5 = 0 đối chiếu với điều kiện (*) ta thu được nghiệm của phương trình (1) là x = 5 ! Lưu ý: không cần phải thay giá trị của các nghiệm vào phương trình ban đầu để thử mà chỉ cần so sánh với điều kiện x 2 (*) để lấy nghiệm. + Ví dụ 2: Giải phương trình = x-1 . (2) .Nhận xét : Biểu thức dưới dấu căn là biểu thức bậc hai, nên nếu sử dụng phương pháp biến đổi hệ quả sẽ gặp khó khăn khi biểu thị điều kiện để 2x2- x -1 0 và thay giá trị của các nghiệm vào phương trình ban đầu để lấy nghiệm. Ta có thể giải như sau: . Điều kiện: x 1 (**) Khi đó pt(2) 2x2 - x - 1 = (x -1)2 2x2 - x - 1 = x2 - 2x + 1 x2 + x -2 = 0 x+2)(x-1)=0 đối chiếu với điều kiện (**) ta thu được nghiệm pt(2) là x = 1 *Như vậy khi gặp các bài toán thuộc các dạng nêu trên học sinh chủ động hơn trong cách đặt vấn đề bài giải : điều kiện phương trình là gì? đặt cái gì ? biến đổi như thế nào là biến đổi tương đương ? biến đổi như thế nào là biến đổi hệ quả? kết luận nghiệm cuối cùng dựa vào điều kiện nào? 2/ Giải pháp 2 * Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng 2: . (2) a. Phương pháp: Giáo viên hướng dẫn học sinh đặt điều kiện và biến đổi pt(2) Chú ý: Không cần đặt đồng thời cả g(x) và f(x) vì f(x) = g(x) . b. Các ví dụ: + Ví dụ 1: Giải phương trình = , (1) .Điều kiện x -1, (*) pt (1) x + 1 = 2x -7 x = 8 (thoả mãn với điều kiện (*) ) Vậy nghiệm của phương trình là x = 8 . ! Lưu ý: Điều kiện x -1 , (*) là điều kiện cần và đủ của phương trình (1) nên ta chỉ cần đối chiếu với điều kiện (*) để lấy nghiệm cuối cùng của phương trình. + Ví dụ 2: Giải phương trình = , (2) . Nhận xét: Biểu thức dưới dấu căn ở vế trái là biểu thức bậc hai nên ta đặt điều kiện cho vế phải không âm. . ĐK: x , (*). pt(2) x2 - x +1 = 2x -1 x2 - 3x -+2 = 0 Đối chiếu với điều kiện (*), nghiệm của phương trình là x = 1 và x=2 . + Ví dụ 3: Giải phương trình = (*) Tóm tắt bài giải (*) (vô nghiệm) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm 3/ Giải pháp 3 : Hướng dẫn học sinh giải một số phương trình không mẫu mực (Phương trình không tường minh). + Ví dụ1: Giải phương trình - = 1 (2) Điều kiện x (**) Chuyển vế và bình phương hai vế ta được pt(2) = 1+ với điều kiện (**) nên hai vế luôn không âm , bình phương hai vế ta được. 2x + 1 = x + 1 + 2 x= 2 tiếp tục bình phương hai vế x2 = 4x (thoả mãn điều kiện (**)) Vậy nghiệm của phương trình là x = 0 V x = 4. + Ví dụ2 : Giải phương trình : 2 + = + Lời giải : Ta có Pt 2 + = 2 + Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Lưu ý: Học sinh có thể đưa ra lời giải sai như sau Ta có : 2 + = + 2 + = 2 + = x=2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2. Nhận xét: Ta nhận ra ngay x = 2 không phải là nghiệm đúng của phương trình đã cho nhưng. Chú ý rằng: + Ví dụ 3: Giải phương trình = (3) Hướng dẫn : Đk (***) ! Lưu ý: Hệ điều kiện (***) rất phức tạp nên ta không cần giải ra cụ thể. Từ ĐK (***) nên hai vế không âm ,bình phương hai vế ta được pt(3) 7 - x2 + x = 3 - 2x - x2 x = - 2x - 4 x = -1 Thay giá trị của x = -1 vào hệ ĐK (***) , thoả mãn Vậy nghiệm của phương trình là x = -1 + Ví dụ4 : Giải phương trình + = 3x + 2 - 16 , (4) HD: Điều kiện x -1 (****) NX: Đây là phương trình khá phức tạp nếu bình phương hai vế của phương trình ta cũng không thu được kết quả thuận lợi khi giải nên ta có thể giải như sau. Đặt + = t , (ĐK: t 0) 3x + 2 = t2 - 4 pt(4) t2 - t - 20 = 0 t = 5 (nhận) V t = - 4 (loại) . Với t = 5 2 =21 - 3x ( là phương trình thuộc dạng 1) x = 118 - (thoả mãn ĐK) Vậy nghiệm phương trình là x = 118 - + Ví dụ 5: Giải phương trình x2 – 7x + 12 = Lời giải sai: Ta có x2 – 7x + 12 = (x-3)(x-4) = (x-3)(x-4) = Giải (1) = (x-3)(x-4) Giải (2) = (x-3)(x-4) Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : x = 2 v x = 3 v x = 7. Nhân xét: Bài toán này HS có thể giải mắc sai lầm như sau: Lời giải sai: Ta có: x2 – 7x + 12 = (x-3)(x-4) = (x-3)(x-4) = = (x-3)(x-4) Giải ta có Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 3 và x = 7. HS có thể kết luận với x =3 và x = 7 là hai nghiệm thoả mãn của phương trình. Mà không ngờ rằng phương trình đã cho còn có một nghiệm nữa là x = 2 cũng thoả mãn. Chú ý rằng: Lời giải trên đã bỏ sót mất trường hợp A ≤ 0 Bài tập Giải phương trình a. = 2x-5 b. = c. +x-4 = 0 HD: Biến đổi theo dạng 1 và dạng 2 2. Giải phương trình: x2 - x + = 1 HD: Đặt t = (t) ĐS: x = 0 v x = 1 3. Giải phương trình: + = HD: Đặt đk sau đó bình phương hai vế ĐS: x = 2 4. Giải phương trình: HD : ĐS : Nghiệm phương trình là : x = -3. 5. Giải phương trình: HD: ĐS: Nghiệm của phương trình là: x = 14 6. Giải phương trình: + = + 7. Giải phương trình: + = 4 8. Giải phương trình: x + = 2 9. Giải phương trình: x2 + 3x + 1 = (x + 3) 10. Giải phương trình: (4x - 1) = 2x3 + 2x +1 11. Giải phương trình: x2 - 1 = 2x 12. Giải phương trình: x2 + 4x = (x + 2)

CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 1. Bình phương 2 vế của phương trình Phương pháp Thông thường nếu ta gặp phương trình dạng : , ta thường bình phương 2 vế , điều đó đôi khi lại gặp khó khăn hãy giải ví dụ sau và ta sử dụng phép thế :ta được phương trình : Ví dụ Giải phương trình sau : Giải: Đk Bình phương 2 vế không âm của phương trình ta được:, để giải phương trình này dĩ nhiên là không khó nhưng hơi phức tạp một chút . Phương trình giải sẽ rất đơn giản nếu ta chuyển vế phương trình : Bình phương hai vế ta có : Thử lại x=1 thỏa Nhận xét : Nếu phương trình : Mà có : , thì ta biến đổi phương trình về dạng : sau đó bình phương ,giải phương trình hệ quả Bài 2. Giải phương trình sau : Giải: Điều kiện : Bình phương 2 vế phương trình ? Nếu chuyển vế thì chuyển như thế nào? Ta có nhận xét : , từ nhận xét này ta có lời giải như sau : Bình phương 2 vế ta được: Thử lại : l nghiệm Qua lời giải trên ta có nhận xét : Nếu phương trình : Mà có : thì ta biến đổi 2. Trục căn thức 2.1. Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung Phương pháp Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm như vậy phương trình luôn đưa về được dạng tích ta có thể giải phương trình hoặc chứng minh vô nghiệm , chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía vô nghiệm Ví dụ Bài 1 . Giải phương trình sau : Giải: Ta nhận thấy : v Ta có thể trục căn thức 2 vế : Dể dàng nhận thấy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình . Bài 2. Giải phương trình sau (OLYMPIC 30/4 đề nghị) : Giải: Để phương trình có nghiệm thì : Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trình , như vậy phương trình có thể phân tích về dạng , để thực hiện được điều đó ta phải nhóm , tách như sau : Dễ dàng chứng minh được : Bài 3. Giải phương trình : Giải :Đk Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình Ta chứng minh : Vậy pt có nghiệm duy nhất x=3 2.2. Đưa về “hệ tạm “ a) Phương pháp Nếu phương trình vô tỉ có dạng , mà : ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của . Ta có thể giải như sau : , khi đĩ ta có hệ: b) Ví dụ Bài 4. Giải phương trình sau : Giải: Ta thấy : không phải là nghiệm Xét Trục căn thức ta có : Vậy ta có hệ: Thử lại thỏa; vậy phương trình có 2 nghiệm : x=0 v x= Bài 5. Giải phương trình : Ta thấy : , như vậy không thỏa mãn điều kiện trên. Ta có thể chia cả hai vế cho x và đặt thì bài toán trở nên đơn giản hơn Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau : (HSG Toàn Quốc 2002) (OLYMPIC 30/4-2007) 3. Phương trình biến đổi về tích Sử dụng đẳng thức Bài 1. Giải phương trình : Giải: Bi 2. Giải phương trình : Giải: + , không phải là nghiệm + , ta chia hai vế cho x: Bài 3. Giải phương trình: Giải: pt Bài 4. Giải phương trình : Giải: Đk: Chia cả hai vế cho : Dùng hằng đẳng thức Biến đổi phương trình về dạng : Bài 1. Giải phương trình : Giải: Đk: khi đó pt đ cho tương đương : Bài 2. Giải phương trình sau : Giải: Đk: phương trình tương đương : Bài 3. Giải phương trình sau : Giải : pttt II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẦN PHỤ 1. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ , để giải chúng ta có thể đặt và chú ý điều kiện của nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến quan trọng hơn ta có thể giải được phương trình đó theo thì việc đặt phụ xem như “hoàn toàn ” .Nói chung những phương trình mà có thể đặt hoàn toàn thường là những phương trình dễ . Bài 1. Giải phương trình: Điều kiện: Nhận xét. Đặt thì phương trình có dạng: Thay vào tìm được Bài 2. Giải phương trình: Giải Điều kiện: Đặt thì . Thay vào ta có phương trình sau: Ta tìm được bốn nghiệm là: Do nên chỉ nhận các gái trị Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình l: Cách khác: Ta có thể bình phương hai vế của phương trình với điều kiện Ta được: , từ đó ta tìm được nghiệm tương ứng. Đơn giản nhất là ta đặt : và đưa về hệ đối xứng (Xem phần dặt ẩn phụ đưa về hệ) Bài 3. Giải phương trình sau: Điều kiện: Đặt thì phương trình trở thnh: ( với Từ đó ta tìm được các giá trị của Bài 4. (THTT 3-2005) Giải phương trình sau : Giải: đk Đặt pttt Bài 5. Giải phương trình sau : Giải: Điều kiện: Chia cả hai vế cho x ta nhận được: Đặt , ta giải được. Bài 6. Giải phương trình : Giải: không phải là nghiệm , Chia cả hai vế cho x ta được: Đặt t=, Ta có : Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau Nhận xét : đối với cách đặt ẩn phụ như trên chúng ta chỉ giải quyết được một lớp bài đơn giản, đôi khi phương trình đối với lại quá khó giải 2. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến : Chúng ta đã biết cách giải phương trình: (1) bằng cách Xét phương trình trở thành : thử trực tiếp Các trường hợp sau cũng đưa về được (1) Chúng ta hãy thay các biểu thức A(x) , B(x) bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vô tỉ theo dạng này . a) . Phương trình dạng : Như vậy phương trình có thể giải bằng phương pháp trên nếu Xuất phát từ đẳng thức : Hãy tạo ra những phương trình vô tỉ dạng trên ví dụ như: Để có một phương trình đẹp , chúng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phương trình bậc hai giải “ nghiệm đẹp” Bài 1. Giải phương trình : Giải: Đặt phương trình trở thnh : Tìm được: Bài 2. Giải phương trình : Bài 3: giải phương trình sau : Giải: Đk: Nhận xt : Ta viết Đồng nhất thứ ta được Đặt , ta được: Ta được : Bài 4. Giải phương trình : Giải: Nhận xét : Đặt ta hy biến pt trn về phương trình thuần nhất bậc 3 đối với x và y : Pt có nghiệm : b).Phương trình dạng : Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện “ hơn dạng trên , nhưg nếu ta bình phương hai vế thì đưa về được dạng trên. Bài 1. giải phương trình : Giải: Ta đặt : khi đó phương trình trở thành : Bài 2.Giải phương trình sau : Giải Đk . Bình phương 2 vế ta có : Ta có thể đặt : khi đó ta có hệ : Do . Bài 3. giải phương trình : Giải: Đk . Chuyển vế bình phương ta được: Nhận xét : không tồn tại số để : vậy ta không thể đặt . Nhưng may mắn ta có : Ta viết lại phương trình: . Đến đây bài toán được giải quyết . Các em hãy tự sáng tạo cho mình những phương trình vô tỉ “đẹp “ theo cách trên 3. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn Từ những phương trình tích , Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát . Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này .Phương pháp giải được thể hiện qua các ví dụ sau . Bài 1. Giải phương trình : Giải: , ta có : Bài 2. Giải phương trình : Giải: Đặt : Khi đó phương trình trở thnh : Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t có chẵn : Từ một phương trình đơn giản : , khai triển ra ta sẽ được pt sau Bài 3. Giải phương trình sau : Giải: Nhận xét : đặt , pttt: (1) Ta rt thay vo thì được pt: Nhưng không có sự may mắn để giải được phương trình theo t không có dạng bình phương . Muốn đạt được mục đích trên thì ta phải tách 3x theo Cụ thể như sau : thay vào pt (1) ta được: Bài 4. Giải phương trình: Giải . Bình phương 2 vế phương trình: Ta đặt : . Ta được: Ta phải tách làm sao cho có dạng chình phương . Nhận xét : Thông thường ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ đạt được mục đích 4. Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích Xuất phát từ một số hệ “đại số “ đẹp chúng ta có thể tạo ra được những phương trình vô tỉ mà khi giài nó chúng ta lại đặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ giữa các ẩn phụ để đưa về hệ Xuất phát từ đẳng thức , Ta có Từ nhận xét này ta có thể tạo ra những phương trình vô tỉ có chứa căn bậc ba . Bài 1. Giải phương trình : Giải : , ta có : , giải hệ ta được: Bài 2. Giải phương trình sau : Giải . Ta đặt : , khi đó ta có : Bài 3. Giải các phương trình sau 5. Đặt ẩn phụ đưa về hệ: 5.1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường Đặt và tìm mối quan hệ giữa và từ đó tìm được hệ theo u,v Bài 1. Giải phương trình: Đặt Khi đó phương trình chuyển về hệ phương trình sau: , giải hệ này ta tìm được . Tức là nghiệm của phương trình là Bài 2. Giải phương trình: Điều kiện: Đặt Ta đưa về hệ phương trình sau: Giải phương trình thứ 2: , từ đó tìm ra rồi thay vào tìm nghiệm của phương trình. Bài 3. Giải phương trình sau: Điều kiện: Đặt thì ta đưa về hệ phương trình sau: Vậy Bài 8. Giải phương trình: Giải Điều kiện: Đặt . Khi đó ta được hệ phương trình: 5.2 Xây dựng phương trình vô tỉ từ hệ đối xứng loại II Ta hãy đi tìm nguồn gốc của những bài toán giải phương trình bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II Ta xét một hệ phương trình đối xứng loại II sau : việc giải hệ này thì đơn giản Bây giời ta sẽ biến hệ thành phương trình bằng cách đặt sao cho (2) luôn đúng , , khi đó ta có phương trình : Vậy để giải phương trình : ta đặt lại như trên và đưa về hệ Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc 2 : , ta sẽ xây dựng được phương trình dạng sau : đặt , khi đó ta có phương trình : Tương tự cho bậc cao hơn : Tóm lại phương trình thường cho dưới dạng khia triển ta phải viết về dạng : v đặt để đưa về hệ , chú ý về dấu của ??? Việc chọn thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng : là chọn được. Giải phương trình: Điều kiện: Ta có phương trình được viết lại là: Đặt thì ta đưa về hệ sau: Trừ hai vế của phương trình ta được Giải ra ta tìm được nghiệm của phương trình là: Bài 6. Giải phương trình: Giải Điều kiện Ta biến đổi phương trình như sau: Đặt ta được hệ phương trình sau: Với Với Kết luận: Nghiệm của phương trình là Các em hãy xây dựng một sồ hệ dạng này ? Dạng hệ gần đối xứng Ta xt hệ sau : đây không phải là hệ đối xứng loại 2 nhưng chúng ta vẫn giải hệ được , và từ hệ này chúng ta xây dưng được bài toán phương trình sau : Bài 1 . Giải phương trình: Nhận xét : Nếu chúng ta nhóm như những phương trình trước : Đặt thì chúng ta không thu được hệ phương trình mà chúng ta có thể giải được. Để thu được hệ (1) ta đặt : , chọn sao cho hệ chúng ta có thể giải được , (đối xứng hoặc gần đối xứng ) Ta có hệ : Để giải hệ trên thì ta lấy (1) nhân với k cộng với (2): và mong muốn của chúng ta là có nghiệm Nên ta phải có : , ta chọn được ngay Ta có lời giải như sau : Điều kiện: , Đặt Ta có hệ phương trình sau: Với Với Kết luận: tập nghiệm của phương trình là: Chú ý : khi đã làm quen, chúng ta có thể tìm ngay bằng cách viết lại phương trình ta viết lại phương trình như sau: khi đó đặt , nếu đặt thì chúng ta không thu được hệ như mong muốn , ta thấy dấu của cùng dấu với dấu trước căn. Một cách tổng quát . Xét hệ: để hệ có nghiệm x = y thì : A-A’=B và m=m’, Nếu từ (2) tìm được hàm ngược thay vào (1) ta được phương trình Như vậy để xây dựng pt theo lối này ta cần xem xét để có hàm ngược và tìm được và hơn nữa hệ phải giải được. Một số phương trình được xây dựng từ hệ. Giải các phương trình sau Giải (3): Phương trình : Ta đặt : Các em hãy xây dựng những phương trình dạng này ! III. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 1. Dùng hằng đẳng thức : Từ những đánh giá bình phương : , ta xây dựng phương trình dạng Từ phương trình ta khai triển ra có phương trình : 2. Dùng bất đẳng thức Một số phương trình được tạo ra từ dấu bằng của bất đẳng thức: nếu dấu bằng ỏ (1) và (2) cùng dạt được tại thì là nghiệm của phương trình Ta có : Dấu bằng khi và chỉ khi và , dấu bằng khi và chỉ khi x=0. Vậy ta có phương trình: Đôi khi một số phương trình được tạo ra từ ý tưởng : khi đó : Nếu ta đoán trước được nghiệm thì việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn, nhưng có nhiều bài nghiệm là vô tỉ việc đoán nghiệm không được, ta vẫn dùng bất đẳng thức để đánh giá được Bài 1. Giải phương trình (OLYMPIC 30/4 -2007): Giải: Đk Ta có : Dấu bằng Bài 2. Giải phương trình : Giải: Đk: Biến đổi pt ta có : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: Áp dụng bất đẳng thức Côsi: Dấu bằng Bài 3. giải phương trình: Ta chứng minh : và Bài tập đề nghị . Giải các phương trình sau 3. Xây dựng bài toán từ tính chất cực trị hình học 3.1 Dùng tọa độ của véc tơ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho các véc tơ: khi đó ta có Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi hai véc tơ cùng hướng , chú ý tỉ số phải dương , dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi 3.2 Sử dụng tính chất đặc biệt về tam giác Nếu tam giác là tam giác đều , thì với mọi điểm M trên mặt phẳng tam giác, ta luôn có với O là tâm của đường tròn .Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi . Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và điểm M tùy ý trong mặt mặt phẳng Thì MA+MB+MC nhỏ nhất khi điểm M nhìn các cạnh AB,BC,AC dưới cùng một góc Bài tập IV. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 1.Xây dựng phương trình vô tỉ dựa theo hàm đơn điệu Dựa vào kết quả : “ Nếu là hàm đơn điệu thì ” ta có thể xây dựng được những phương trình vô tỉ Xuất phát từ hàm đơn điệu : mọi ta xây dựng phương trình : , Rút gọn ta được phương trình Từ phương trình thì bài toán sẽ khó hơn Để gải hai bài toán trên chúng ta có thể làm như sau : Đặt khi đó ta có hệ : cộng hai phương trình ta được: = Hãy xây dựng những hàm đơn điệu và những bài toán vô tỉ theo dạng trên ? Bài 1. Giải phương trình : Giải: Xét hàm số , là hàm đồng biến trên R, ta có Bài 2. Giải phương trình Giải . Đặt , ta có hệ : Xét hàm số : , là hàm đơn điệu tăng. Từ phương trình Bài 3. Giải phương trình : V. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA 1. Một số kiến thức cơ bản: Nếu thì có một số t với sao cho : và một số y với sao cho Nếu thì có một số t với sao cho : và một số y với sao cho Với mỗi số thực x có sao cho : Nếu : , là hai số thực thỏa: , thì có một số t với , sao cho Từ đó chúng ta có phương pháp giải toán : Nếu : thì đặt với hoặc với Nếu thì đặt , với hoặc , với Nếu : , là hai số thực thỏa: , thì đặt với Nếu , ta có thể đặt : , với , tương tự cho trường hợp khác X là số thực bất kỳ thi đặt : Tại sao lại phải đặt điều kiện cho t như vậy ? Chúng ta biết rằng khi đặt điều kiện thì phải đảm bảo với mỗi có duy nhất một , và điều kiện trên để đảm bào điều này . (xem lại vòng tròn lượng giác ) 2. Xây dựng phương trình vô tỉ bằng phương pháp lượng giác như thế nào ? Từ công phương trình lượng giác đơn giản: , ta có thể tạo ra được phương trình vô tỉ Chú ý : ta có phương trình vô tỉ: (1) Nếu thay bằng ta lại có phương trình : (2) Nếu thay x trong phương trình (1) bởi : (x-1) ta sẽ có phương trình vố tỉ khó: (3) Việc giải phương trình (2) và (3) không đơn giản chút nào ? Tương tự như vậy từ công thức sin 3x, sin 4x,.hãy xây dựng những phương trình vô tỉ theo kiểu lượng giác . 3. Một số ví dụ Bài 1. Giải phương trình sau : Giải: Điều kiện : Với : thì (ptvn) ta đặt : . Khi đó phương trình trở thành: vậy phương trình có nghiệm : Bài 2. Giải các phương trình sau : DH: Đs: HD: chứng minh vô nghiệm Bài 3 . Giải phương trình sau: Giải: Lập phương 2 vế ta được: Xét : , đặt . Khi đó ta được mà phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm vậy đó cũng chính là tập nghiệm của phương trình. Bài 4. .Giải phương trình Giải: đk: , ta có thể đặt Khi đó ptt: Phương trình có nghiệm : Bài 5 .Giải phương trình : Giải: đk Ta có thể đặt : Khi đó pttt. Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm Bài tập tổng hợp Giải các phương trình sau (HSG Toàn Quốc 2002) (OLYMPIC 30/4-2007) CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ PHƯƠNG PHÁP BIỂN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Dạng 1 : Phương trình Lưu ý: Điều kiện (*) được chọn tuỳ thuôc vào độ phức tạp của hay Dạng 2: Phương trình Dạng 3: Phương trình (chuyển về dạng 2) và ta sử dụng phép thế :ta được phương trình : Bài 1: Giải phương trình: a) b) c) d) e) f) g) h) i) Bài 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: Bài 3: Cho phương trình: Giải phương trình khi m=1 Tìm m để phương trình có nghiệm. Bài 4: Cho phương trình: Giải phương trình khi m=3 Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường. Nếu bài toán có chứa và khi đó đặt (với điều kiện tối thiểu là . đối với các phương trình có chứa tham số thì nhất thiết phải tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ). Nếu bài toán có chứa , và (với k là hằng số) khi đó có thể đặt : , khi đó Nếu bài toán có chứa và khi đó có thể đặt: suy ra Nếu bài toán có chứa thì đặt với hoặc với Nếu bài toán có chứa thì đặt với hoặc với Nếu bài toán có chứa ta có thể đặt với Bài 1: Giải phương trình: a) b) c) d) e) f) g) h) i) Bài 2: Giải phương trình: a) b) c) d) e) f) Bài 3: Cho phương trình: Giải phương trình với m=3 Tìm m để phương trình có nghiệm Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất Bài 4: Cho phương trình: Giải phương trình với Tìm m để phương trình có nghiệm. Bài 5: Cho phương trình: Giải phương trình với m = 9 Tìm m để phương trình có nghiệm. 2. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn Là việc sử dụng một ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một phương trình với một ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa x. Từ những phương trình tích , Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát. Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này .Phương pháp giải được thể hiện qua các ví dụ sau . Bài 1. Giải phương trình : Giải: , ta có : Bài 2. Giải phương trình : Giải: Đặt : Khi đó phương trình trở thnh : Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t có chẵn Từ một phương trình đơn giản : , khai triển ra ta sẽ được pt sau Bài 3. Giải phương trình sau : Giải: Nhận xét : đặt , pttt: (1) Ta rt thay vo thì được pt: Nhưng không có sự may mắn để giải được phương trình theo t không có dạng bình phương . Muốn đạt được mục đích trên thì ta phải tách 3x theo Cụ thể như sau : thay vào pt (1) ta được: Bài 4. Giải phương trình: Giải . Bình phương 2 vế phương trình: Ta đặt : . Ta được: Ta phải tách làm sao cho có dạng chình phương . Nhận xét : Thông thường ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ đạt được mục đích. Bài tập: Giải các phương trình sau: a) b) c) d) 3. Phương pháp đặt ẩn phụ chuyển về hệ. a) Dạng thông thường: Đặt và tìm mối quan hệ giữa và từ đó tìm được hệ theo u,v. Chẳng hạn đối với phương trình: ta có thể đặt: từ đó suy ra . Khi đó ta có hệ Bài tập: Giải các phương trình sau: a) b) c) b) Dạng phương trình chứa căn bậc hai và lũy thừa bậc hai: với Cách giải: Đặt: khi đó phương trình được chuyển thành hệ: Nhận xét: Dể sử dụng được phương pháp trên cần phải khéo léo biến đổi phương trình ban đầu về dạng thỏa mãn điều kiện trên để đặt ẩn phụ.Việc chọn thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng : là chọn được. c) Dạng phương trình chứa căn bậc ba và lũy thừa bậc ba. với Cách giải: Đặt khi đó phương trình được chuyển thành hệ: Bài tập: Giải các phương trình sau: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Sử dụng các tính chất của hàm số để giải phương trình là dạng toán khá quen thuộc. Ta có 3 hướng áp dụng sau đây: Hướng 1: Thực hiện theo các bước: Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: Bước 2: Xét hàm số Bước 3: Nhận xét: Với do đó là nghiệm Với do đó phương trình vô nghiệm Với do đó phương trình vô nghiệm Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình Hướng 2: thực hiện theo các bước Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: Bước 2: Dùng lập luận khẳng định rằng và g(x) có những tính chất trái ngược nhau và xác định sao cho Bước 3: Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình. Hướng 3: Thực hiện theo các bước: Bước 1: Chuyển phương trình về dạng Bước 2: Xét hàm số , dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu Bước 3: Khi đó Ví dụ: Giải phương trình : Giải: pt Xét hàm số , là hàm đồng biến trên R, ta có Bài tập: Giải phương trình: a) b) c) d) e) f)

Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá cực hay

Phương pháp giải

Bước 1: Tìm đkxđ

Bước 2: Đánh giá một vế lớn hơn hoặc bằng vế còn lại hoặc đánh giá cả hai vế.

Phương trình có nghiệm ⇔ A = B = C = … = 0.

+ Cách 2 : Sử dụng các BĐT để đánh giá.

BĐT Cô-si áp dụng cho hai số dương : a 2 + b 2 ≥ 2ab

BĐT Cô-si áp dụng cho ba số dương : a 3 + b 3 + c 3 ≥ 3abc

…

Bước 3 : Xét dấu = xảy ra và đối chiếu tìm nghiệm của phương trình.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình:

Hướng dẫn giải:

Dấu “=” khi (x – 2) 2 = 0 ⇔ x = 2.

Vậy phương trình có nghiệm x = 2.

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

Hướng dẫn giải:

⇔

Ta có:

Suy ra

Suy ra pt (1) ⇔

Vậy phương trình có nghiệm x = 1; y = 2; z = 3.

Ví dụ 3: Giải phương trình

Hướng dẫn giải:

Đkxđ : x ≠ 0.

Nhân cả hai vế với 3x ta được : (1) .

Ta có :

Áp dụng BĐT Cô si cho ba số ta có :

⇒ VT (1) ≤ VP (1).

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = ±√3 .

Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Bài 2: Phương trình có tổng các nghiệm bằng :

A. 0 B. 1

C. 2 D. 3

A. Phương trình có một nghiệm âm

B. Phương trình có một nghiệm dương

C. Phương trình có hai nghiệm trái dấu

D. Phương trình vô nghiệm.

Bài 5: Phương trình có số nghiệm là :

A. 0 B. 1

C. 2 D. 3

Bài 6: Giải phương trình

Hướng dẫn giải:

Đkxđ : x ≥ -1.

Nhận thấy : VT = với mọi x.

PT có nghiệm ⇔ ⇔ x = 3 (t.m)

Vậy phương trình có nghiệm x = 3.

Bài 7: Giải phương trình:

Hướng dẫn giải:

Ta có :

VT

Phương trình có nghiệm ⇔

Vậy phương trình vô nghiệm

Bài 8: Giải phương trình :

Hướng dẫn giải:

Đkxđ : 5 ≤ x ≤ 7 .

⇒ VT ≤ VP với mọi x.

Phương trình có nghiệm ⇔ ⇔ x = 6.

Vậy phương trình có nghiệm x = 6.

Bài 9: Giải phương trình :

Hướng dẫn giải:

Đkxđ : 0 ≤ x ≤ 1 .

+ Nếu x = 1, VT (*) = 3 ; VP (*) = 3.

⇒ x = 1 là nghiệm của phương trình.

+ Với 0 ≤ x ≤ 1 thì

⇒ Phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

Bài 10: Giải phương trình :

Hướng dẫn giải:

Gợi ý: PT có nghiệm x = 1/2 . Do đó ta thêm bớt các số để đánh giá BĐT sao cho dấu = đều xảy ra tại x = 1/2 .

Giải :

Khi đó áp dụng BĐT Cô-si cho VT ta có :

Áp dụng BĐT Cô-si cho vế trái ta được :

⇒ VT ≥ VP

Phương trình có nghiệm ⇔ x = 2.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: chúng tôi

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp sử dụng biểu thức liên hợp cực hay

Phương pháp giải

Bước 1: Tìm đkxđ.

Bước 2: Nhẩm nghiệm (thường là nghiệm nguyên). Giả sử phương trình có nghiệm x = a

Bước 3: Tách, thêm bớt rồi nhân liên hợp sao cho xuất hiện nhân tử chung (x – a).

Các biểu thức liên hợp thường dùng:

Bước 4. Chứng minh biểu thức còn lại luôn âm hoặc dương

Bước 5. Đối chiếu điều kiện, kết luận nghiệm.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình:

Hướng dẫn giải:

Phân tích: Để ý thấy x = 2 là nghiệm của phương trình, do đó ta có thể liên hợp và 1; và 2.

Đkxđ: x ≥ -2 .

Ta có:

⇔ x = 2 (t.m đkxđ)

Vậy phương trình có nghiệm x = 2.

Ví dụ 2: Giải phương trình:

Hướng dẫn giải:

Đkxđ: ∀ x ∈ R

Ta có:

Vậy phương trình có hai nghiệm .

Ví dụ 3: Giải phương trình

Hướng dẫn giải:

Gợi ý: Nhẩm được phương trình có nghiệm x = 2 nên ta tách các biểu thức để liên hợp sao cho xuất hiện nhân tử (x – 2).

Đkxđ: ∀ x ∈ R

Khi đó:

Lại có

(*) ⇔ x – 2 = 0 ⇔ x = 2.

Vậy phương trình có nghiệm x = 2.

Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Bài 1: Biểu thức liên hợp của là:

Bài 2: Biểu thức liên hợp của là:

Bài 5: Nghiệm của phương trình có nghiệm là:

A. x = √2 B. x = -√2

C. x = √3 D. x = -√3

Bài 6: Giải phương trình

Hướng dẫn giải:

Đkxđ:

⇔ x – 2 = 0 (Vì biểu thức trong […] luôn dương)

⇔ x = 2 (t.m đkxđ).

Vậy phương trình có nghiệm x = 2.

Bài 7: Giải phương trình

Hướng dẫn giải:

Đkxđ: x ≥ -9/2; x ≠ 0 .

⇔ x = -9/2 (t.m đkxđ).

Vậy phương trình có nghiệm x = -9/2 .

Bài 8: Giải phương trình

Hướng dẫn giải:

Đkxđ: x ≥ 1.

Ta chứng minh được:

Khi đó (*) ⇔ x – 3 = 0 ⇔ x = 3 (t.m đk xđ).

Vậy phương trình có nghiệm x = 3.

Bài 9: Giải phương trình:

Hướng dẫn giải:

Đkxđ: 1 ≤ x ≤ 5 .

Ta thấy: với 1 ≤ x ≤ 5 .

Ta chứng minh

Thật vậy: Với 1 ≤ x ≤ x thì:

(*) ⇔ ⇔ x = 5 (t.m đkxđ).

Vậy phương trình có nghiệm x = 5.

Bài 10: Giải phương trình:

Hướng dẫn giải:

⇔ x 2 – 3 = 0(Vì biểu thức trong [ ] luôn dương)

⇔ x = ±√3(t.m đkxđ).

Vậy phương trình có hai nghiệm x = ±√3 .

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: chúng tôi

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube: