Top 6 # Xem Nhiều Nhất Giải Bài Tập Toán Bài 3 Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp Mới Nhất 1/2023 # Top Like

§3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP A. KIẾN THỨC CĂN BẢN PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT Đốl VỚI MỘT HÀM số LƯỢNG GIÁC .Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng at + b = 0 (a * 0) (1) trong đó a, b là các hằng số, t là một trong các biểu thức sinx, cosx, tanx hoặc cotx. Cách giải: Chuyển vế rồi chia hai vế của phương trình (1) cho a ta đưa phương trình (1) vể phương trình lượng giác cơ bản. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐÔÌ VỚI MỘT HÀM số LƯỢNG GIÁC Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng at2 + bt + c = 0 (a * 0) trong đó a, b, c là các hằng số và t là một trong các biểu thức sinx, cosx, tanx hoặc cotx. Cách giải: Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình theo ẩn phụ này. Cuối cùng ta đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT Đốl VỚI SINX VÀ cosx asinx + bcosx = c (1) (a2 + b2 * 0) Cách giải thứ nhất: Chia hai vế phương trình cho Va2 + b2 ta được: a b . c , cos X + , sinx = , Va2 +b2 Va2 + b2 Va2 +b2 Đặt , a =CQS(p thì , b =sin<p * V^Tb^ Đưa phương trình về dạng: COSXCOSỌ + sinxsincp - , c hay cos(x - ọ) = -. c = Điều kiện có nghiêm: 7a2+b2 7a2+b2 Va2 + b2 _ . ,, c Gọi a là cung sao cho cosa = Va2 +b2 Ta có: cos(x -ọ) = cosa X = ọ ± a + k2rc , X Cách giải thứ hai: Dùng ẩn phụ t = tan (x * 71 + k2n) Trước hết xem X = 7T + k2n có là nghiêm không. Nếu có ta nhận đó là một nghiêm. Nêu X = 71 + k27t không là nghiêm thì đặt t = tan ~ . 1-t2 B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP 1. Giải phương trình: sin2x - s1nx = 0. ốịíài sin2x - sinx = 0 sinx(sinx - 1) = 0 2. Giải các phương trình: a) 2cos2x - 3cosx +1=0; a) Đặt t = cosx; -1 < t < 1 Ta có 2t2 - 3t + 1 = 0 sin X = 0 sinx = 1 X = kĩt X = 7- + k2n. 2 b) 2sin2x + V2sin4x = 0. (k e Z) Ốịlải 't = 1 cosx = 1 1 1 t = - cosx = - 2 L 2 L X = k2ĩi X = ±-^ + k2rc. 3 (k e Z) b) 2sin2x + 72 sin4x = 0 2sin2x(l + 72 cos2x) = 0 sin2x = 0 cos2x = - 72 x = k-. 2' X = ±-- + krc. 8 (k e Z) 3. Giải các phương trình: a) sin2 - 2cos^ + 2 = 0; 2 2 2tan2x + 3tanx +1=0; b) 8cos2x + 2sinx -7 = 0; tanx - 2cotx +1=0. Ốjiải a) sin24-2cos^ + 2 = 0 1 - cos2^-2cos^ + 2 = 0 cos2^ + 2cos; 2 2 2 2 2 í cos^ = l ^ = k2rc X = k4ĩt (k G Z) cos^ = -3 (loại) ỵ ' 'b) 8cos2x + 2sinx - 7 = 0 8(1 - sin2x) + 2sinx -7 = 0 8sin2x - 2sinx - 1 = 0 sin x = 4 2 sin X = - - L' X = -^ + k2n; X = + k2ji 6 6 X = arcsin I - 4 I + k2ĩi; X = n - arcsin (k e Z) + k2n tan X = -1 c) 2tan2x + 3tanx + 1 = 0 X = - - + kĩt, 4 tan X = - X = arctan -4 + krr. 2. 't = 1 tan X = 1 t =-2 tan X = -2 L X = -7 + krt 4 X = arctan (-2) + krt 4. Giải các phương trinh: a) 2sin2x + sinxcosx - 3cos2x = 0; (k e Z) c) sin2x + sin2x - 2cosJx = 4 ; 2 tan X = 1 2tan2x + tanx - 3 = 0 tan X = - 3 ! X = - + kĩi 4 X = arctan (-1) (k G Z) + k?t b) Ta có với cosx = 0 thì sin2x = 1 nên giá trị X mà cosx = 0 không thỏa mãn phương trình. Chia hai vê phương trình cho cos2x * 0 ta được 3tan2x - 4tanx + 5 = 2( 1 + tan2x) tan2x - 4tanx + 3 = 0 tan X = 1 tan X = 3 X = -7 + krc 4 (k e Z) X = arctan 3 + kn Đặt t = tanx ta có phương trình t - - + l = 0t2 + t- 2 = 0 t b) 3sin2x - 4sinxcosx + 5cos2x = 2; 2cos2x - 3 Ự3 Sin2x - 4sin2x = -4. íìiẰi Ta có với COSX = 0 thì sin2x = 1 nên giá tri X mà cosx = 0 không thỏa mãn phương trình. Chia hai vê phương trình cho cos2x * 0 được Ta có với sin2x + sin2x - 2cos2x = Ậ sin2x + 2sinxcosx - 2cos2x = - 2 Giá trị X mà cox = 0 không thỏa mãn phương trình. Chia hai vê phương trình cho COS2X * 0 ta được: 2tan2x + 4tanx -4=1 + tan2x o tan X + 4tanx -5 = 0 it tan X = 1 tan X = -5 X = - + kn 4 ' (k e Z) 6cos2x - 6 73 sinxcosx = 0 cosx (cosx - 73 sinx) = 0 cos X = 0 71 1 X = - + ktt 2 X = - + kĩt 2 /- ° cos X - 73 sin X = 0 r , * ^3 tan X = -- 3 X = - + kít. 6 Giải các phương trình a) cosx - 73sinx= 72; b) 3sin3x - 4cos3x = 5; c) 2sinx + 2cosx - 72 = 0; d) 5cos2x + 12sin2x - 13 = 0 ỐịiẢl a) Chia hai vế phương trình cho FW =■ 2 ta được: d) X - arctan (-5) + kn 2cos2x - 6 73 sinxcosx - 4sin2x + 4 = 0 (k e Z) 72 - cosx 2 -- sinx = -- cosxcos 77 - sin 77 sinx = 2 2 3 3 2 COS (X + 7- ) = = COS - 3 2 4 n 71 , l.n. X + - = - + k2rc n 71 l.o_ X + - = + k2n. (k e Z) 3 4 71 - _ + k2rt 12 7- , X = - 7-7 + k2-t. 12 (k e Z) Chia hai vế phương trình cho ^32 + (-4)2 = 5 ta được 4 - sin 3x - - cos3x = 1 sin3xcosa - sinacos3x = 1 5 5 (trong đó cosa = Ệ và sincx = 4 ) 5 Ta có: sin(3x - a) = sin^ 3x - a = -^ + k27t X = 7 + -r + k^7,keZ 2 2 6 3 3 2 72 sin X + ^ = 72 . 7t = - = sin - 6 o sin Ị X + 71 _ 7t , X + - = 77 + k2ĩt 6 ,71 5ĩt . X + - = -- + k2n 4 6 X = --777 + k2rc 12 _ 771 , , X = -777 + k2z 12 (k e Z) Ta có 2sinx + 2cosx - 72 = 0 2(sinx + cosx) = 72 7t Chia hai vế phương trình cho Võ2 + 122 = 13 ta được 5 12 --cos2x + - sin2x = 1 cos2xcosa + sin2xsina = 1 13 13 12 (trong đó cosa = -- và sina = -) 13 13 Ta có: cos(2x - a) = 1 2x - a = k2n X = - + kĩi, k e z 2 6. Giải các phương trình sau: tan(2x + 1 )tan(3x - 1) = 1; tanx + tan I X + I = 1. ốjiài Điều kiện cos(2x + 1) * 0, cos(3x - 1) * 0 tan(2x + l)tan(3x - 1) = 0 sin(2x + l)sin(3x - 1) = cos(2x + l)cos(3x - 1) cos(2x + l)cos(3x - 1) - sin(2x + l)sin(3x - 1) = 0 COS [(2x + 1) + (3x -1)] = 0 cos5x = 0 5x = ỊỊ + krc 2 x = ^- + k^,k e z 10 5 Điều kiện cosx * 0; cos(x + 4 tanx + tan(x + y) = 1 tanx + -- = 1 4 1 - tan X tanx - tan2x + tanx +1 = 1- tanx o tan2x - 3tanx = 0 tanx(tanx - 3) = 0 o tan X = 0 tan X = 3 X = kĩi X = arctan 3 + kĩi (k e Z). c. BÀI TẬP LÀM THÊM 1. Giải các phương trình sau: a) 6cos2x + 5sinx -7 = 0; b) cos2x + 3sinx = 2; c) 1 + cosx + cos2x = 0; d) tan3x - 3tan2x - 2tanx + 4 = 0. *'Htíớnỹ ỉẫn Đặt t = sinx; t = -; t = - ; 3 Đặt t = cosx; t = 0; t = - - ; 2 Giải các phương trình sau: Đặt t = sinx; t = 1; t = - 2 Đặt t = tanx; t = 1; t = 1 +V5 a) sin2 X + 3tanzx + 4(tanx + cotx) -1=0; b) 2cos: 6x , , - 8x . + 1 = 3cos-^-; c) sinBx + COS8X = ^Xcos22x. 16 *Hướng dẫn ' 9 1 71 Áp dụng công thức: 1 + cot2x = , đặt t = tanx + cotx, X = -y + kn, k e z sin2 X 4 5 Áp dụng công thức nhân đôi và nhân ba ta được: 4t2 - 6t2 - 3t + 5 = 0 có nghiệm t = 1 sin8x + COS8X = (sin4x + cos4x)2 - 2sin4xcos4x = 11 Đặt t = sin22x (0 < t < 1). 3. Giải các phương trình sau: ■ vsm X + cos x; - ZSU1 xcus X fl-ịsin22xì -ịsin4 2x = 1-sin2 2x + ịsin42x <2 ) 8 8 sinx + cosx = 72 sin7x; sinx + cosx = cos2x; 1 + sinx + cosx + sinxcosx = 0; 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0. *Hưởng dẫn Áp dụng kết quả: sinx + cosx = 72 sin^x + Áp dụng công thức nhân đôi: cos2x = COS2X - sin2x Đưa phương trình về tích: (sinx + cosx)(l + sinx - cosx) =' 0 Đưa về tích: (1 + sinx)(l + cosx) = 0 Đưa về tích (sinx + cosx)(2cosx + 1) = 0.

Chương I: Hàm Số Lượng Giác Và Phương Trình Lượng Giác – Đại Số & Giải Tích Lớp 11

Bài 3: Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp

Nội dung bài học cuối cùng trong chương I hàm số lượng giác và phương trình lượng giác các em sẽ được giới thiệu đến các em phương trình bậc nhất với một hàm số lượng giác, phương trình bậc hai đối với sin-cos-tan-cot, phương trình bậc nhất với sinx và cosx. Thông qua bài học nội dung lý thuyết các em sẽ được tham khảo một vài ví dụ, tạo thành một nền tảng để giải các phương trình lượng giác từ cơ bản đến nâng cao.

Tóm Tắt Lý Thuyết

1. Phương trình bậc nhất với một hàm số lượng giác a) Định nghĩa: b) Phương pháp: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

2. Phương trình bậc hai đối với sinx, cosx, tanx, cotx a) Dạng phương trình b) Cách giải c) Chú ý

3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx a) Dạng phương trình b) Cách giải

Các Bài Tập & Lời Giải Bài Tập SGK Bài 3 Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp

Bài Tập 1 Trang 36 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11

Giải phương trình: ()(sin^2x – sinx = 0.)

Bài Tập 2 Trang 36 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11

Giải các phương trình sau:

a) (2cos^2x – 3cosx + 1 = 0)

b) (2sin2x + sqrt 2sin4x = 0)

Bài Tập 3 Trang 37 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11

Giải các phương trình sau:

a) (sin^2(frac{x}{2}) – 2cos(frac{x}{2}) + 2 = 0);

b) ( 8cos^2x + 2sinx – 7 = 0);

c) (2tan^2x + 3tanx + 1 = 0);

d) ( tanx -2cotx + 1 = 0).

Bài Tập 4 Trang 37 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11

Giải các phương trình sau:

a) (2sin^ 2x + sinxcosx – 3cos^2x = 0)

b) (3sin^2x – 4sinxcosx + 5cos^2x = 2)

c) (3sin^2x – sin2x + 2cos^2x = frac{1}{2})

d) (2cos^2x -3sqrt{3}sin2x -4sin^2x = -4)

Bài Tập 5 Trang 37 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11

Giải các phương trình sau:

a) (cosx – sqrt{3}sinx = sqrt{2})

b) (3sin3x – 4cos3x = 5)

c) (2sin2x + 2cos2x -sqrt{2} = 0)

d) (5cos2x + 12sin2x – 13 = 0)

Bài Tập 6 Trang 37 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11

Giải phương trình:

a. (tan(2x + 1) tan(3x – 1) = 1)

b. (tanx + tan(x + frac{π}{4}) = 1)

Trong các kí thì chúng ta thường bắt gặp các phương trình lượng giác và những bài phương trình lượng giác này đã gây không ít khó khăn đối với nhiều em học học sinh, có lẽ lí do mà các em học sinh thường lo sợ khi giải các phương trình lượng giác là có nhiều công thức biến đổi lượng giác nên không biết sử dụng công thức nào để biến đổi phương trình đã cho. Trong chuyên đề này tôi xin trao đổi một chút kinh nghiệm nho nhỏ với các em học sinh đang học lớp 11,12 và những em đang ngày đêm ôn tập để hướng tới kì thi ĐH năm tới.

Trước hết thì các bạn cần nắm được nh ữ ng phương trình lượng giác thường gặp. Trong những phương trình này tôi xin bàn với các bạn một chút về phương trình đẳng cấp đối với sin và cos.

Với lí do: về dạng này SGK chỉ trình bày cho chúng ta phương trình đẳng cấp bậc hai mà trong các kì thi ta vẫn thấy xuất hiện những phương trình đẳng cấp bậc ba hay cao hơn. Minh chứng là đề thi khối B – 2008

“Giải phương trình : (ĐH Khối B – 2008 ).”

Trước hết ta nhớ lại khái niệm biểu thức gọi là đẳng cấp bậc k nếu .

Từ đây ta có thể định nghĩa được phương trình đẳng cấp bậc k đối với phương trình chứa sin và cos là phương trình có dạng trong đó:

Tuy nhiên ta xét phương trình : mới nhìn ta thấy đây không phải là phương trình đẳng cấp, những các bạn lưu ý là nên ta có thể viết lại phương trình đã cho như sau: , dễ thấy phương trình này là phương trình đẳng cấp bậc 3. Do vậy với phương trình lượng giác thì ta có thể định nghĩa lại khái niệm phương trình đẳng cấp như sau:

“Là phương trình có dạng trong đó luỹ thừa của sinx và cosx cùng chẵn hoặc cùng lẻ.”

Cách giải: Chia hai vế phương trình cho (k là số mũ cao nhất) ta được phương trình một hàm số là .

Ví dụ: Giải các phương trình sau

1) Giải bài thi ĐH Khối B – 2008 nêu trên

2)

3)

Những phương trình trên xin dành cho các bạn tự giải (vì đã có phương pháp giải).

Bây giờ tôi xin đi vào cách phân tích để tìm lời giải cho loại phương trình mà chúng ta không ưa gì mấy mà ta thường gọi là phương trình lượng giác không mẫu mực. Không riêng gì phương trình lượng giác không mẫu mực mà đối với mọi phương trình đại số hay phương trình mũ, logarit.. để giải những phương trình này ta phải tìm cách biến đổi phương trình đã có cách giải và một trong những phương pháp ta thường dùng là biến đổi về phương trình tích và đưa về phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác.

Ví dụ 1:Giải phương trình : (Trích đề thi ĐH Khối A – 2008 )

Với bài toán này có lẽ khó khăn mà chúng ta gặp phải là đó là sự xuất hiện hai cung và cung .

Các bạn lưu ý là ta luốn tính được giá trị đúng các giá trị lượng giác của các cung có dạng trong đó nên điều đầu tiên ta nghĩ tới là sử dụng công thức cộng để phá bỏ hai cung đó

Ta có:

Nên phương trình đã cho

Nhận xét: * Để phá bỏ hai cung mà gây khó khăn cho chúng ta ngoài cách đã nêu ở trên ta có thể làm theo cách khác như sau:

.

.

* Ta thấy sau khi phá bỏ hai cung và cung thì trong phương trình chỉ còn lại một cung duy nhất nên ta dẽ biến đổi hơn. Điều này cũng hoàn toàn tự nhiên thôi phải không các bạn? Khi giải các bài toán toán học hay các bài toán trong cuộc sống đặc biệt là bài toán so sánh thì điều chúng ta cần làm là đưa về cùng một đơn vị hay là cùng một dạng. Chẳng hạn tôi xin nêu ví dụ đơn giản nhưng vô cùng thú vị mà tôi thường hỏi các em học sinh là 5 quả cam trừ 3 quả cam còn mấy quả ? và học sinh chỉ cười và trả lời ngay bằng hai quả. Thế tôi hỏi tiếp 5 quả cam trừ 3 quả táo bằng bao nhiêu? Lúc này trên khuôn mặt các em không còn những nụ cười nữa mà thay vào đó là một sự tò mò và cuối cùng thì các em trả lời là không trừ được, dĩ nhiên câu hỏi tiếp theo là vì sao? Các em trả lời là vì không cùng một loại!

Chắc các em hiểu tôi muốn nói điều gì rồi chứ ?

Vậy nguyên tắc thứ nhất tôi xin đưa ra cho các bạn là:

Đưa về cùng một cung .

Ví dụ 2: Giải phương trình : ( ĐH Khối D – 2006 ).

Lời giải:

Vận dụng nguyên tắc trên ta sẽ chuyển hai cung và về cung

Áp dụng công thức nhân đôi và nhân ba ta có:

Đặt .

Ta có:

Từ đây các bạn tìm được

* Trong SGK không đưa ra công thức nhân ba tuy nhiên các em cũng nên biết công thức này nếu trong lúc khó khăn có thể mang ra sử dụng vì chứng minh nó không mấy khó khăn

* Cách giải trên không phải là cách giải duy nhất và cũng không phải là cách giải hay nhất nhưng cách giải đó theo tôi nó tự nhiên và các bạn dẽ tìm ra lời giải nhất. Cách giải ngắn gọn và đẹp nhất đối với phương trình trên là ta biến đổi về phương trình tích như sau

PT

giải phương trình này ta được nghiệm như trên.

Ví dụ 3: Giải phương trình : (Dự bị Khối B – 2003 ).

Lời giả i:

Ta chuyển cung về cung

Ta có:

Nên phương trình đã cho

Đặt Ta có: .

.

Từ đây ta tìm được các nghiệm

Chú ý : Vì trong phương trình chỉ chứa lũy thừa bậc chẵn của cos, do đó ta có thể chuyển về cung 2x nhờ công thức hạ bậc và công thức nhân đôi .

PT

.

Ví dụ 4: Giải phương trình : (ĐH Khối D – 2008 ).

Lời giải: Trong phương trình chỉ chứa hai cung và , nên ta chuyển cung về cung .

PT

.

Tuy nhiên không phải phương trình lượng giác nào ta cũng đưa về được cùng một cung. Chẳng hạn ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 5 : Giải phương trình : .

phương trình này việc đưa về một cung gặp quá nhiều khó khăn, vì trong phương trình xuất hiện bốn cung !

Tuy nhiên giữa các cung này cũng có mối quan hệ nhất định đó là quan hệ hiệu hai cung bằng nhau , hơn nữa hai vế của hai phương trình là tích của hai hàm số lượng giác nên ta nghĩ đến công thức biến đổi tích thành tổng. Thật vậy :

Phương trình

Cũng tương tự như trên vì hai vế của phương trình là tổng của các hàm số lượng giác, hơn nữa ta nhận thấy mỗi vế của phương trình đều chứa ba cung x, 2x, 3x và ba cung này có quan hệ điều này gợi ta nhớ đến công thức biến đổi tổng thành tích.

Phương trình

Qua hai ví dụ trên tôi muốn đưa ra nguyên tắc thứ hai mà ta thường hay sử dụng là

Biến đổi tích thành tổng và ngược lại

Trong phương trình xuất hiện tích của các hàm số lượng giác sin và cos thì ta có thể biến đổi thành tổng (mục đích là tạo ra những đại lượng giống nhau để thực hiện các phép rút gọn). Nếu xuất hiện tổng thì ta biến đổi về tích (Mục đích làm xuất hiện thừa số chung ), đặc biệt là ta sẽ gép những cặp sao cho tổng hoặc hiệu hai cung bằng nhau.

Với phương trình này ta không thể chuyển về một cung, cũng không thể biến đổi tổng thành tích được! Nguyên nhâ mà ta không nghĩ tới đưa về một cung thì quá rõ, còn vì sao mà ta lại không sử dụng biến đổi tổng thành tích được là các hàm số xuất hiện ở hai vế của phương trình đều chứa lũy thừa bậc hai mà công thức biến đổi chỉ áp dụng cho các hàm số có lũy thừa bậc nhất thôi. Điều này dẫ tới ta tìm cách đưa bậc hai về bậc nhất và để thực hiện điều này ta liên tưởng đến công thức hạ bậc.

Phương trình

.

Khi giải phương trình lượng giác ta phải sử dụng các công thức biến đổi lượng giác. Tuy nhiên những công thức này chỉ sử dụng khi hàm số lượng giác có số mũ bằng 1, do đó nếu trong phương trình có số mũ của các hàm số lượng giác là chẵn thì ta có thể hạ bậc để thuận tiện cho việc biến đổi . Vậy nguyên tắc thứ ba mà tôi muốn trao đổi với các bạn là nguyên tắc hạ bậc

Phương trình

.

Nhận xét: * Ở (1) ta có thể sử dụng công thức nhân ba, thay và chuyển về phương trình trùng phương đối với hàm số lượng giác .

* Ta cũng có thể sử dụng các công thức nhân ngay từ đầu, chuyển phương trình đã cho về phương trình chỉ chứa cosx và đặt . Tuy nhiên cách được trình bày ở trên là đẹp hơn cả vì chúng ta chỉ sử dụng công thức hạ bậc và công thức biến đổi tích thành tổng ( Vì công thức nhân ba chúng ta không được học).

Trước hết ta đặt điều kiện cho phương trình Đk: .

Phương trình

Chú ý : Nếu trong phương trình xuất hiện tan, cot và sin, cos thì ta thay tan, cot bởi sin và cos và lúc đó chúng ta dễ dàng tìm được lời giải hơn. Chú ý khi gặp phương trình chứa tan hay cot, ta nhớ đặt điệu kiện cho phương trình

Điều kiện : .

Phương trình

.

Trên là một số nguyên tắc chung thường được sự dụng trong các phép biến đổi phương trình lượng giác. Mục đích của các phép biến đổi đó là nhằm :

1. Đưa phương trình ban đầu về phương trình lượng giác thường gặp (Thường là đưa về phương trình đa thức đối với một hàm số lượng giác).

Phương trình .

Đây là phương trình đẳng cấp bậc ba nên ta chia hai vế của phương trình cho (do ), ta được phương trình :

thỏa điều kiện .

Nhận xét: Để giải phương trình này ngay từ đầu ta có thể chia hai về của phương trình cho hoặc sử dụng công thức và chuyển phương trình ban đầu về phương trình chỉ chứa hàm tan như trên.

Phương trình

(do )

.

Chú ý : Ta cần lưu ý đến công thức: và .

Nên phương trình

.

.

Nên phương trình

.

.

2. Đưa phương trình về phương trình dạng tích :

Tức là ta biến đổi phương trình về dạng . Khi đó việc giải phương trình ban đầu được quy về giải hai phương trình : .

Trong mục đích này, ta cần làm xuất hiện nhân tử chung. Một số lưu ý khi tìm nhân tử chung :

* Các biểu thức ;

nên chúng có thừa số chung là .

* Các biểu thức có thừa số chung là .

* có thừa số chung . Tương tự có thừa số chung .

.

.

. Mặc dù hai cách biến đổi trên khác nhau nhưng chúng đều dựa trên nguyên tắc “đưa về một cung”.

Phương trình

.

Giải: Đk: Phương trình

.

Nhận xét: Khi sử dụng công thức nhân đôi, ta cần lưu ý là có ba công thức để thay nên tuy từng phương trình mà chúng ta chọn công thức phù hợp.

Nguyễn Tất Thu @ 22:40 19/02/2012 Số lượt xem: 2362

Published on

Website: www.toanhocdanang.com Phone: 0935 334 225 Facebook: ToanHocPhoThongDaNang

1. DANAMATH chúng tôi chúng tôi ĐẠI SỐ 11 GV:Phan Nhật Nam PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẬC MỘT THEO SIN, COS

2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẬC MỘT THEO SIN, COS GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 chúng tôi PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẬC MỘT THEO SIN, COS Kiến thức chẩn bị Phương trình lượng giác cơ bản 1. 2 sin sin sin 2 x k x a x x k                 (với 1 1a   ) 2. 2 cos cos cos 2 x k x a x x k                (với 1 1a   ) 3. tan tan tanx a x x k        4. cot cot cotx a x x k        Trường hợp riêng: sin 1 2 2 x x k      , sin 1 2 2 x x k        , sin 0x x k   cos 1 2x x k    , cos 1 2x x k      , cos 0 2 x x k      Công thức thường dùng trong bài viết : Hạ bậc: 2 21 cos2 1 cos2 , 2 2 a a sin a cos a     3 33sin sin 3 3cos cos3 , 4 4 a a a a sin a cos a     Biến đổi tích thành tổng :      )sin()sin( 2 1 chúng tôi )cos()cos( 2 1 chúng tôi )cos()cos( 2 1 chúng tôi bababa bababa bababa    Biến đổi tổng thành tích: cos cos 2cos .cos cos cos 2sin .sin 2 2 2 2 sin sin 2sin .cos sin sin 2cos .sin 2 2 2 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b                  Công thức cộng: sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin a b a b a b a b a b a b     

3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẬC MỘT THEO SIN, COS GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 3 chúng tôi Dấu hiệu : Dạng cơ bản : cxbxa  )(cos)(sin.  (1) với 2 2 2 a b c  222222 )(cos)(sin)1( ba c x ba b x ba a        )( 2)( 2)( sin))(sin( Zk kx kx x          Với  sin;sin;cos 222222       ba c ba b ba a Chú ý : Phương trình (1) có 2 2 2 a b c  thì nó vô nghiệm. Các dạng phương trình sau có thể giải được bằng phương pháp trên Dạng MR 1:     )(cos. )(sin. )(cos)(sin. xc xc xbxa    Với ĐK: 222 cba  Dạng MR 2: )(cos)(sin)(cos)(sin. 2211 xbxaxbxa   Với ĐK: 2 2 2 2 2 1 2 1 baba  Dạng MR 3:   02cos2sin3;cos3sin  xxxxf hoặc   02cos32sin;cos3sin  xxxxf Chú ý: (quan trọng) Trong PTLG có chứa 3 thì thông thường ta có 2 hướng sử lý như sau: Hướng 1: (dùng cho pt chứa bậc cao và dạng tích của hai biểu thức lượng giác) Sử dụng công thức hạ bậc và tích thành tổng để quy tất cả các số hạng về bậc 1 và không còn tích khi đó ta sẽ có được phương trình ở một trong bốn dạng trên Hướng 2: (dùng cho pt không chứa bậc cao) Sử dụng công thức tổng thành tích, nhân đôi để biến đổi phương trình về dạng phương trình tích Dấu hiệu sử dụng công thức tổng thành tích: PT chứa 2 số hạng thỏa mãn: cùng loại hàm (sin hoặc cos), cùng hệ số, cùng tính chẵn, lẻ của cung Thông thường phương trình chứa 3

5. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẬC MỘT THEO SIN, COS GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 5 chúng tôi Ví dụ 3: Giải pt: 2sin6 2sin4 3 os2 3 sin2x x c x x    4cos5 sin 3 os2 3 sin2x x c x x     2 4cos5 sin 3 1 2sin 3 2sin cosx x x x x      2sin 2cos5 3sin cos 0x x x x    (1) sin 0 cos 3sin 2cos5 x x k x x x        1 3 (1) cos sin cos5 2 2 x x x   12 2 cos cos sin sin cos5 cos5 cos 3 3 3 18 3 x k x x x x x x k                            Ví dụ 4: Giải pt:   2 2cos3 .cos 3 1 sin 2 2 3 cos 2 4 x x x x          Ta có: 2cos3 .cos cos4 cos2x x x x  2 1 cos 4 1 cos4 cos sin 4 sin 1 sin 42 2 2cos 2 4 2 2 2 x x x x x                      Do đó : cos4 cos2 3 3sin2 3 3sin4pt x x x x      cos4 3sin 4 cos2 3sin 2 0x x x x     1 3 1 3 cos4 sin 4 cos2 sin 2 0 2 2 2 2 x x x x     cos 4 cos 2 0 3 3 cos 0 2 2 2cos 3 cos 0 cos 3 03 33 3 2 18 3 x x x x k x k x x x x k x k                                                                Dấu hiệu sử dụng công thức: Tổng thành tích Mục tiêu: chuyển về phương trình tích nên ta phải phân tích các số hạng còn lại phải xuất hiện sin x hoặc cos5x DDDạng MR 1 Dấu hiệu sử sụng công thức tích thành tổng và hạ bậc Dạng MR 2 hoặc MR3

6. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẬC MỘT THEO SIN, COS GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 6 chúng tôi Ví dụ 5: (A – 2009 ) Giải phương trình . Điều kiện: 2 2 sin 1 21 6sin 2 7 2 6 x k x x k x x k                          Khi đó phương trình tương đương với phương trình sau:  2 cos 2sin cos 3 1 sin 2sinx x x x x    cos sin 2 3cos2 3sinx x x x    cos 3sin 3cos2 sin 2x x x x    cos cos 2 3 6 x x                 2 2 2 ( ) 6 3 2 2 2 2 18 36 3 x x k x k loai x kx x k                                 Bài tập áp dụng: Bài 1: (B – 2012 ) Giải phương trình :  2 cos 3sin cos cos 3sin 1x x x x x    Bài 2: Giải phương trình :  sin 2 cos 3 cos2 sin 0 2sin 2 3 x x x x x      Bài 3: Giải phương trình : xx x sin 1 cos 3 sin8  Bài 4: Giải phương trình : 4sin .sin 5 3sinx 3(cos 2) 3 1 1 2cos x x x x            Bài 5: Giải phương trình :   2sin 1 os2 sinx 1 3 2cos 3sinx sin 2 x c x x x       Bài 6: Giải phương trình :   tan cos3 2cos2 1 3 sin 2 cos 1 2sin x x x x x x      Bài 7: Giải phương trình : 2cos6 2cos4 3cos2 sin2 3x x x x    Bài 8: Giải phương trình : 2 sin .sin 4 2 2 os 4 3 os sin cos2 6 x x c x c x x x         (1 2sin x)cosx 3 (1 2sin x)(1 sin x)     Dạng MR 2

7. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẬC MỘT THEO SIN, COS GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 7 chúng tôi Bài 9: Giải phương trình : sin3 2sin 4 tan 2 3 os2 cos x x x c x x    Bài 10: Giải phương trình : 2sin 1 cos2 2cos 7sin 5 2cos 3 cos2 2cos 1 3(cos 1) x x x x x x x x           Bài 11: Giải phương trình :  2 3 4 2sin 2 2 cot 1 3 cos sin 2 x x x x      Bài 12: Giải phương trình : 2 2 3 4sin 2 2sin 4 3 6sin 2cos sin 3 x x x x x                  

Recommended