Top 10 # Xem Nhiều Nhất Giải Bt Sgk Hàm Số Lớp 7 Mới Nhất 2/2023 # Top Like | Asianhubjobs.com

Giải Bài Tập Sgk Toán Lớp 7 Bài 5: Hàm Số

Giải bài tập SGK Toán lớp 7 bài 5

Giải bài tập Toán lớp 7 bài 5: Hàm số

Giải bài tập SGK Toán lớp 7 bài 5: Hàm số với lời giải chi tiết, rõ ràng theo khung chương trình sách giáo khoa Toán lớp 7. Lời giải hay bài tập Toán 7 này gồm các bài giải tương ứng với từng bài học trong sách giúp cho các bạn học sinh ôn tập và củng cố các dạng bài tập, rèn luyện kỹ năng giải môn Toán. Mời các bạn tham khảo

Trả lời câu hỏi Toán 7 Tập 1 Bài 5 trang 63: Tính các giá trị tương ứng của m khi V = 1; 2; 3; 4

Lời giải

Ta có: m = 7,8 V

V = 1 ⇒ m = 7,8 . 1 = 7,8

V = 2 ⇒ m = 7,8 . 2 = 15,6

V = 3 ⇒ m = 7,8 . 3 = 23,4

V = 4 ⇒ m = 7,8 . 4 = 31,2

Trả lời câu hỏi Toán 7 Tập 1 Bài 5 trang 63: Tính và lập bảng các giá trị tương ứng của t khi v = 5; 10; 25; 50

Lời giải

Ta có: t = 50/v

⇒ v = 5 thì t = 50 : 5 = 10

V = 10 thì t = 50 : 10 = 5

V = 25 thì t = 50 : 25 = 2

V = 50 thì t = 50 : 50 = 1

Bài 24 (trang 63 SGK Tập 1): Các giá trị tương ứng của hai đại lượng x và y được cho trong bảng sau:

Đại lượng y có phải là hàm số của đại lượng x không?

Lời giải:

Vì mỗi giá trị của x ta xác định đượsc chỉ một giá trị tương ứng của y nên đại lượng y là hàm số của đại lượng x.

Bài 25 (trang 64 SGK Toán 7 Tập 1): Cho hàm số y = f(x) = 3x 2 + 1. Tính

Lời giải:

Ta có y = f(x) = 3x 2 + 1. Do đó:

f(1) = 3.12 + 1 = 4.

f(3) = 3.32 + 1 = 3.9 + 1 = 28.

Bài 26 (trang 64 SGK Toán 7 Tập 1): Cho hàm số y= 5x – 1. Lập bảng giá trị tương ứng của y khi:

Lời giải:

Ta có y = 5x – 1

Khi x = -5 thì y = 5.(-5) – 1 = -25 – 1 = -26

Khi x = -4 thì y = 5.(-4) – 1 = -20 – 1 = -21

Khi x = -3 thì y = 5.(-3) – 1 = -15 – 1 = -16

Khi x = -2 thì y = 5.(-2) – 1 = -10 – 1 = -11

Khi x = 0 thì y = 5.(0) – 1 = 0 – 1 = -1

Bài 27 (trang 64 SGK Toán 7 Tập 1): Đại lượng y có phải là hàm số của đại lượng x không, nếu bảng các giá trị tương ứng của chúng là

a)

b)

Lời giải:

a) Vì mọi giá trị của x ta xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y nên đại lượng y là hàm số của đại lượng x.

b) Đại lượng y là hàm số của đại lượng x.

Nhận xét: Với mọi x thì y luôn nhận một giá trị là 2 nên đây là một hàm hằng.

Bài 28 (trang 64 SGK Toán 7 Tập 1): Cho hàm số

a) f(5) =? ; f(-3) =?

b) Hãy điền các giá trị tương ứng của hàm số vào bảng sau:

Lời giải:

b) Lần lượt thay x bởi -6, -4 ; -3 ; 2 ; 5 ; 6 ; 12 vào công thức

ta được các giá trị tương ứng y là -2, -3, -4, 6, 2, 4, 2, 1.

Ta được bảng sau:

Bài 29 (trang 64 SGK Toán 7 Tập 1): Cho hàm số y = f(x) = x 2 – 2. Hãy tính f(2); f(1); f(0); f(-1); f(-2)

Lời giải:

Ta có y= f(x) = x 2 – 2

Do đó f(2) = 2 2 – 2 = 4 – 2 = 2

Bài 30 (trang 64 SGK Toán 7 Tập 1): Cho hàm số y = f(x) = 1 – 8x. Khẳng định nào sau đây là đúng

a) f(-1) = 9?

b, f(-1/2) = -3?

c) f(3) = 25?

Lời giải:

Ta có y = f(x) = 1 – 8x

a) f(-1) = 1 – 8(-1) = 1 + 8 = 9 nên khẳng định là đúng.

c) f(3) = 1 – 8.3 = 1 – 24 = -23 nên khẳng định là sai

Bài 31 (trang 65 SGK Toán 7 Tập 1): Cho hàm số

Điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau

Lời giải:

Từ công thức

Lần lượt thay các giá trị x, y đã cho trong bảng vào hai biểu thức trên để tìm các giá trị còn lại. Ta được bảng sau:

Giải Bài Tập Sgk Toán Lớp 7: Ôn Tập Chương Ii: Hàm Số Và Đồ Thị

Ôn tập chương II: Hàm số và đồ thị

Giải bài tập Toán lớp 7: Ôn tập chương II: Hàm số và đồ thị

Giải bài tập SGK Toán lớp 7: Ôn tập chương II: Hàm số và đồ thị với lời giải chi tiết, rõ ràng theo khung chương trình sách giáo khoa Toán lớp 7. Lời giải hay bài tập Toán 7 này gồm các bài giải tương ứng với từng bài học trong sách giúp cho các bạn học sinh ôn tập và củng cố các dạng bài tập, rèn luyện kỹ năng giải môn Toán. Mời các bạn tham khảo

Câu hỏi ôn tập chương 2 Đại Số (trang 76 SGK Toán 7 tập 1):

1. a) Khi nào thì hai đại lượng y và x tỉ lệ thuận với nhau? Cho ví dụ.

b) Khi nào thì hai đại lượng y và x tỉ lệ nghịch với nhau? Cho ví dụ.

Lời giải

a) Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức: y = kx (với k là hằng số khác 0) thì ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k.

Ví dụ: Quãng đường đi được s (km) theo thời gian t (h) của một vật chuyển động đều với vận tốc 15 km/h

⇒ s = 15t (km) và khi đó hai đại lượng s tỉ lệ thuận với đại lượng t theo hệ số tỉ lệ k = 15

b) Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức: y=a/x hay xy = a (a là một hằng số khác 0) thì ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a.

Ví dụ: Số bút y (chiếc) trong mỗi hộp theo x khi chia đều 100 chiếc bút vào x hộp

⇒ y = 100/x và khi đó y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a=100

Câu hỏi ôn tập chương 2 Đại Số (trang 76 SGK Toán 7 tập 1): 2. Gọi x và y theo thứ tự là độ dài cạnh và chu vi của tam giác đều. Đại lượng y tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch với đại lượng x?

Lời giải

Chu vi của tam giác đều có độ dài cạnh x là: y = x + x + x = 3x

⇒ y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ là 3

Câu hỏi ôn tập chương 2 Đại Số (trang 76 SGK Toán 7 tập 1): 3. Các kích thước của hình hộp chữ nhật thay đổi sao cho thể tích của nó luôn bằng 36m 3. Nếu gọi diện tích đáy và chiều cao của hình hộp đó là y (m 2 ) và x (m) thì hai đại lượng y và x tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch với nhau?

Lời giải

Theo đề bài ta có: Thể tích hình hộp luôn bằng 36m 3 ⇒ xy = 36

⇒ y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ là 36

Câu hỏi ôn tập chương 2 Đại Số (trang 76 SGK Toán 7 tập 1): 4. Đồ thị của hàm số y = ax (a≠0) có dạng như thế nào?

Lời giải

Đồ thị của hàm số y = ax (a ≠ 0) là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ.

Bài 48 (trang 76 SGK Toán 7 Tập 1): Một tấn nước biển chứa 25kg muối. Hỏi 250g nước biển đó chứa bao nhiêu gam muối?

Lời giải:

Ta có: 1 tấn = 1000000g ; 25kg = 25000g

Gọi lượng muối trong 250g nước biển là x. Vì lượng nước biển và lượng muối chứa trong đó là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên theo tính chất của đại lượng tỉ lệ thuận ta có:

Vậy 250 gam nước biển chưa 6,25g muối

Bài 49 (trang 76 SGK Toán 7 Tập 1): Hai thanh sắt và chì có khối lượng bằng nhau. Hỏi thanh nào có thể tích lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu lần, biết rằng khối lượng riêng của sắt là 7,8 (g/cm 3) và của chì là 11,3 (g/cm 3).

Lời giải:

Vì m = V.D và m là hằng số có khối lượng bằng nhau nên V và D là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau với hệ số tỉ lệ dương.

Theo tính chất của đại lượng tỉ lệ nghịch ta có:

Vậy thể tích thanh sắt lớn hơn và lớn hơn khoảng 1,45 lần

Bài 50 (trang 77 SGK Toán 7 Tập 1): Ông Minh dự định xây một bể nước có thể tích là V. Nhưng sau đó ông muốn thay đổi kích thước so với dự định ban đầu như sau: Cả chiều dài và chiều rộng đáy bể đều giảm đi một nửa. Hỏi chiều cao phải thay đổi như thế nào để bể xây được vẫn có thể tích là V?

Gọi a,b là chiều rộng và chiều dài ban đầu thì

là chiều rộng và chiều dài lúc sau. Ta có:

Bài 51 (trang 77 SGK Toán 7 Tập 1): Viết tọa độ điểm A, B, C, D, E, F, G trong hình 32.

Lời giải:

Tọa độ các điểm đó là:

A(-2; 2) ; B(-4; 0)

C(1; 0) ; D(2; 4)

E(3; -2) ; F(0; -2)

G(-3; -2)

Bài 52 (trang 77 SGK Toán 7 Tập 1): Trong mặt phẳng tọa độ vẽ tam giác ABC với các đỉnh A (3; 5) ; B(3; -1) ; C(-5; -1). Tam giác ABC là tam giác gì?

Lời giải:

– Vẽ tam giác ABC trên mặt phẳng tọa độ:

– Tam giác ABC là tam giác vuông tại B.

Bài 53 (trang 77 SGK Toán 7 Tập 1): Một vận động viên xe đạp đi được quãng đường 140km từ TP Hồ Chí Minh đễn Vĩnh Long với vận tốc 35km/h. Hãy vẽ đồ thị của chuyển động trên trong hệ trục tọa độ Oxy (với một đơn vị trên trục hoành) biểu thị 1 giờ và một đơn vị trên trục tung biểu thị 20km.

Lời giải:

Ta có quãng đường đi được và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ thuận.

Ta có công thức S = 35t.

Ta được đồ thị chuyển động là đoạn thằng OB như trên hình vẽ.

Bài 54 (trang 77 SGK Toán 7 Tập 1): Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ đồ thị của các hàm số sau:

a) y = -x

Vẽ đồ thị:

Bài 55 (trang 77 SGK Toán 7 Tập 1): Những điểm nào sau đây không thuộc đồ thị của hàm số y = 3x – 1

Lời giải:

Ta có y = 3x – 1

Với C(0; 1) thì y = 3.0 – 1 = -1 nên điểm C không thuộc đồ thị.

Với D(0; -1) thì y = 3.0 – 1 = -1 nên điểm D thuộc đồ thị.

Vậy B và D thuộc đồ thị hàm số y = 3x – 1.

Xem hình 33 đố em biết được

a) Trẻ em trên 5 tuổi (60 tháng) cân nặng bao nhiêu là bình thường, là suy dinh dưỡng vừa, là suy dinh dương nặng, là suy dinh dưỡng rất nặng.

b) Một em bé cân nặng 9,5kg khi tròn 24 tháng tuổi thuộc loại bình thường, suy dinh dưỡng vừa, suy dinh dưỡng nặng, suy dinh dưỡng rất nặng.

Lời giải:

a) Trẻ em tròn 5 tuổi nặng 19kg là bình thường, 14kg là suy dinh dưỡng vừa, 12kg là suy dinh dưỡng nặng, 10kg là suy dinh dưỡng rất nặng.

b) Em bé cân nặng 9,5kg khi tròn 24 tháng là suy dinh dưỡng vừa.

Giải Sbt Toán 12 Ôn Tập Chương 2: Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ Và Hàm Số Logarit

VnDoc xin giới thiệu tới thầy cô và các bạn học sinh tài liệu Giải SBT Toán 12 ôn tập chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit, hy vọng qua bộ tài liệu các bạn học sinh sẽ có kết quả cao hơn trong học tập. Mời thầy cô và các bạn học sinh cùng tham khảo.

Giải SBT Toán 12 ôn tập chương 2

Bài 2.43 trang 132 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

Hướng dẫn làm bài:

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y=x √3

Tập xác định: D=(0;+∞)

Đồ thị không có tiệm cận

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y=x 1/π

Tập xác định: D=(0;+∞)

Đồ thị không có tiệm cận.

Bảng biến thiên:

Đồ thị

c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y=x −e

Tập xác định: D=(0;+∞)

y′<0,∀x∈D nên hàm số luôn nghịch biến

Đồ thị có tiệm cận ngang là trục hoành, tiệm cận đứng là trục tung.

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Bài 2.44 trang 132 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) y=2/ √−2

b) y=log 6 3x+2/1−x

c)

d)

Hướng dẫn làm bài:

a) Hàm số xác định khi:

Vậy tập xác định là D=(12;+∞)

b) D=(−2/3;1)

c)

logx+log(x+2)≥0

Vậy tập xác định là D=[−1+√2;+∞)

d) Tương tự câu c, D=[√2;+∞)

Bài 2.45 trang 133 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Cho hai hàm số:

a) Chứng minh rằng f(x) là hàm số chẵn, g(x) là hàm số lẻ.

b) Tìm giá trị bé nhất của f(x) trên tập xác định.

Hướng dẫn làm bài:

a) Ta có tập xác định của cả hai hàm số f(x), g(x) đều là R. Mặt khác:

Vậy f(x) là hàm số chẵn, g(x) là hàm số lẻ.

Vậy min f(x) = f(0) = 1.

Hướng dẫn làm bài:

Vậy (1) đúng và ta có điều phải chứng minh.

b) Chứng minh tương tự.

Bài 2.47 trang 133 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Vẽ đồ thị các hàm số sau:

Hướng dẫn làm bài:

a) Đồ thị của hàm số y=(1/2) x+3 nhận được từ đồ thị của hàm số y=(1/2) x bằng phép tịnh tiến song song với trục tung lên trên 3 đơn vị.

b) Đồ thị của hàm số y=2 x+1 nhận được từ đồ thị của hàm số y=2 x bằng phép tịnh tiến song song với trục hoành sang trái 1 đơn vị.

c) Đồ thị của hàm số y=3 x−2 nhận được từ đồ thị của hàm số y=3 x bằng phép tịnh tiến song song với trục hoành sang bên phải 2 đơn vị.

Bài 2.48 trang 133 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

Hướng dẫn làm bài:

a) Đồ thị của hàm số y=log 3(x−1) nhận được từ đồ thị của hàm số y=log 3 x bằng cách tịnh tiến song song với trục hoành sang bên phải 1 đơn vị.

b) Đồ thị của hàm số y=log 1/3(x+1) nhận được từ đồ thị của hàm số y=log 1/3 x bằng cách tịnh tiến song song với trục hoành sang bên trái 1 đơn vị.

c) Đồ thị của hàm số y=1+log 3x nhận được từ đồ thị của hàm số y=log 3 x bằng cách tịnh tiến song song với trục tung lên trên 1 đơn vị.

Bài 2.49 trang 133 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

b)

c)

g) y=ln(cosx)

Hướng dẫn làm bài:

a) y′=−6(2+3x) −3

b)

−2(2−3x) −1/3,∀x<2/3

c)

d) y′=−9x −4 −1/xln3

g) y′=−tanx

h) y′=e x(sinx+cosx)

Bài 2.50 trang 133 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Giải các phương trình sau:

d) 2−1−3=3−1−2+2

Hướng dẫn làm bài:

a) x = 1

⇔(t−2)(t+2)(t−3)=0

⇔t=2;t=−2(loại);t=3

Do đó

c)

d)

1/2.2−3=1/3.3−4.2

⇔9/2.2=4/3.3⇔(2/3)=(2/3) 3

⇔x 2=3⇔x=√3;x=−√3

Bài 2.51 trang 133 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

a) Giải phương trình: 7 2x+1−8.7 x+1=0

(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2011)

b) Giải phương trình: 3 2x+1−9.3 x+6=0

(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2008)

Hướng dẫn làm bài:

a) Đáp số: x = 0; x = -1

b) Đáp số x=0;x=log 3 2

Bài 2.52 trang 133 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Giải các phương trình sau:

a) ln(4x+2)−ln(x−1)=lnx

c) 2 log3.5 log3x=400

Hướng dẫn làm bài:

ln(4x+2)=ln[x(x−1)]

⇔x=5+√33/2;x=5−√33/2(l)

⇔x=5+√33/2

⇔x=0(loại);x=9

⇔x=9

4log3x.5log3x=400

t 3-3t 2 -4t+12=0⇔(t-2)(t+2)(t-3)=0

Đạo Hàm Của Hàm Nhiều Biến Số

Hàm nhiều biến số có ứng dụng rất rộng rãi trong các bài toán học máy vì đa số các các thuộc tính của hiện tượng ta theo dõi không phải chỉ có 1 mà rất nhiều tham số. Các tham số này được liên kết với nhau một cách đặc biệt bởi các hàm số khác nhau để có thể đưa ra được các kết quả mong muốn. Nên việc tìm hiểu về hàm nhiều biến là rất cần thiết để có thể hiểu được các lý thuyết của học máy. $$ mathsf{D} subset mathbb{R}^n, f: mathsf{D} mapsto mathbb{R} $$ Hay: $$ (x_1, x_2, …, x_n) mapsto f(x_1, x_2, …, x_n) in mathbb{R} $$

Hay biểu diễn dưới dạng véc-tơ: $$ [x]_n in mathbb{R}^n mapsto f(x) in mathbb{R} $$

Ví dụ, cho $ x, y in mathbb{R} $ và khi đó ánh xạ $ z = f(x, y) = x^2 + y^2 $ gọi là hàm số của biến $ x, y $.

Khi làm việc với các bài toán học máy đầu ra của ta có thể không phải là một số mà là 1 tập các số nên ta thường xuyên phải làm việc với các hàm nhiều biến dạng mở rộng kiểu này. Tập các số đầu ra này ta có thể biểu diễn dưới dạng một véc-tơ, hay nói cách khác hàm nhiều biến của ta sẽ cho kết quả là một véc-tơ. Những hàm như vậy được gọi là hàm véc-tơ $ f: mathbb{R}^n mapsto mathbb{R}^m $. Ví dụ: $$ f(x, y) = begin{bmatrix} x^2 + sin(y) cr 2xy + y^2 end{bmatrix} $$

Để tiện giải thích và minh hoạ, trong bài này tôi sẽ đề cập tới trường hợp hàm của ta có 2 biến số. Tuy nhiên các tính chất, phép toán và phương pháp làm việc có thể mở rộng ra cho các hàm nhiều biến số hơn.

2. Đạo hàm riêng

Đạo hàm riêng theo 1 biến của một hàm số là đạo hàm theo biến đó với giả thuyết rằng các biến khác là hằng số. Cụ thể, cho hàm số $ f(x, y) $ và một điểm $ M(x_0, y_0) $ thuộc tập xác định của hàm, khi đó đạo hàm theo biến $ x $ tạo điểm $ M $ được gọi là đạo hàm riêng của $ f $ theo $ x $ tại $ M $. Lúc này $ y $ sẽ được cố định bằng giá trị $ y_0 $ và hàm của ta có thể coi là hàm 1 biến của biến $ x $.

Đạo hàm riêng của $ f $ theo $ x $ lúc này sẽ được kí hiệu là: $ f_x^{prime}(x_0, y_0) $ hoặc $displaystyle frac{partial{f(x_0, y_0)}}{partial{x}} $, còn đạo hàm theo biến $ y $ được biểu diễn tương tự: $ f_y^{prime}(x_0, y_0) $ hoặc $displaystyle frac{partial{f(x_0, y_0)}}{partial{y}} $.

Với tôi thì tôi thích biểu diễn dưới dạng $ f_x^{prime} $ vì dễ nhìn và không bị nhầm lẫn với phân số.

Ví dụ: $ f(x, y) = x^2y + sin(y) $ sẽ có đạo hàm $ f_x^{prime} = 2xy $ và $ f_y^{prime} = x^2 + cos(y) $.

Còn $displaystyle f(x, y) = begin{bmatrix} x^2 + sin(y) cr 2xy + y^2 end{bmatrix} $ có đạo hàm là $displaystyle f_x^{prime} = begin{bmatrix} 2x & 2y end{bmatrix} $ và $displaystyle f_y^{prime} = begin{bmatrix} cos(y) & 2x + 2y end{bmatrix} $

Một cách hình thức đạo hàm riêng tại điểm $ M(x_0, y_0) $ theo biến $ x $ được tính toán như sau:

$$ f_x^{prime}(x_0, y_0) = limlimits_{triangle_x rightarrow 0} frac{triangle_xf}{triangle_x} = limlimits_{triangle_x rightarrow 0} frac{f(x_0 + triangle_x, y_0) – f(x_0, y_0)}{triangle_x} $$

Theo biến $ y $:

$$ f_y^{prime}(x_0, y_0) = limlimits_{triangle_y rightarrow 0} frac{triangle_yf}{triangle_y} = limlimits_{triangle_y rightarrow 0} frac{f(x_0, y_0 + triangle_y) – f(x_0, y_0)}{triangle_y} $$ begin{cases} displaystyle{frac{partial{f}}{partial{x}}} = 2xy crcr displaystyle{frac{partial{f}}{partial{y}}} = x^2 + 2y end{cases} $$

và có đạo hàm cấp 2 là:

$ begin{cases} displaystyle{frac{partial^2f}{partial{x^2}} = frac{partial}{partial{x}}Bigg(frac{partial{f}}{partial{x}}Bigg)} = 2y crcr displaystyle{frac{partial^2f}{partial{y}partial{x}} = frac{partial}{partial{y}}Bigg(frac{partial{f}}{partial{x}}Bigg)} = 2x end{cases} $      $ begin{cases} displaystyle{frac{partial^2f}{partial{x}partial{y}} = frac{partial}{partial{x}}Bigg(frac{partial{f}}{partial{y}}Bigg)} = 2x crcr displaystyle{frac{partial^2f}{partial{y^2}} = frac{partial}{partial{y}}Bigg(frac{partial{f}}{partial{y}}Bigg)} = 2 end{cases} J = nabla{f} = begin{bmatrix} nabla{f_1} & cdots & nabla{f_n} end{bmatrix} = begin{bmatrix} displaystyle{frac{partial{f_1}}{partial{x_1}}} & cdots & displaystyle{frac{partial{f_n}}{partial{x_1}}} cr vdots & ddots & vdots cr displaystyle{frac{partial{f_1}}{partial{x_m}}} & cdots & displaystyle{frac{partial{f_n}}{partial{x_m}}} end{bmatrix} begin{cases} f_x^{prime} = f_u^{prime}u_x^{prime} + f_v^{prime}v_x^{prime} cr f_y^{prime} = f_u^{prime}u_y^{prime} + f_v^{prime}v_y^{prime} end{cases} $$

Nhìn hơi khó nhớ phải không? Giờ ta viết lại dưới dạng giống như phân số thì chắc là dễ nhớ hơn chút:

$$ begin{cases} displaystyle{frac{partial{f}}{partial{x}} = frac{partial{f}}{partial{u}}frac{partial{u}}{partial{x}} + frac{partial{f}}{partial{v}}frac{partial{v}}{partial{x}}} crcr displaystyle{frac{partial{f}}{partial{y}} = frac{partial{f}}{partial{u}}frac{partial{u}}{partial{y}} + frac{partial{f}}{partial{v}}frac{partial{v}}{partial{y}}} end{cases} begin{cases} displaystyle{frac{partial{f}}{partial{x}} = frac{partial{f}}{partial{u}}frac{partial{u}}{partial{x}} + frac{partial{f}}{partial{v}}frac{partial{v}}{partial{x}} + frac{partial{f}}{partial{w}}frac{partial{w}}{partial{x}}} crcr displaystyle{frac{partial{f}}{partial{y}} = frac{partial{f}}{partial{u}}frac{partial{u}}{partial{y}} + frac{partial{f}}{partial{v}}frac{partial{v}}{partial{y}} + frac{partial{f}}{partial{w}}frac{partial{w}}{partial{y}}} end{cases} $$

Với hàm ẩn của hàm véc-tơ thì đạo hàm cũng được tính tương tự như vậy, nhưng có chút khác biệt khi ta sử dụng phép toán của véc-tơ. Giả sử ta có hàm véc-tơ $ f(g, h) $ có đầu ra là véc-tơ $ overrightarrow{v}(x, y) = begin{bmatrix} g(x, y) cr h(x, y) end{bmatrix} $ thì đạo hàm riêng của $ f $ sẽ là:

$$ begin{cases} displaystyle{frac{partial{f}}{partial{x}} = frac{partial{f}}{partial{g}}frac{partial{g}}{partial{x}} + frac{partial{f}}{partial{h}}frac{partial{h}}{partial{x}}} crcr displaystyle{frac{partial{f}}{partial{y}} = frac{partial{f}}{partial{g}}frac{partial{g}}{partial{y}} + frac{partial{f}}{partial{h}}frac{partial{h}}{partial{y}}} end{cases} iff begin{cases} displaystyle{frac{partial{f}}{partial{x}}} = begin{bmatrix} displaystyle{frac{partial{f}}{partial{g}}} cr displaystyle{frac{partial{f}}{partial{h}}} end{bmatrix} odot begin{bmatrix} displaystyle{frac{partial{g}}{partial{x}}} cr displaystyle{frac{partial{h}}{partial{x}}} end{bmatrix} crcr displaystyle{frac{partial{f}}{partial{y}}} = begin{bmatrix} displaystyle{frac{partial{f}}{partial{g}}} cr displaystyle{frac{partial{f}}{partial{h}}} end{bmatrix} odot begin{bmatrix} displaystyle{frac{partial{g}}{partial{y}}} cr displaystyle{frac{partial{h}}{partial{y}}} end{bmatrix} end{cases} iff begin{cases} displaystyle{frac{partial{f}}{partial{x}}} = nabla{f} odot overrightarrow{v^{prime}_x} crcr displaystyle{frac{partial{f}}{partial{y}}} = nabla{f} odot overrightarrow{v^{prime}_y} end{cases} $$

Như vậy ta có thể thấy đạo hàm của hàm hợp véc-tơ có thể tính bằng tích của gradient hàm hợp với đạo hàm riêng véc-tơ đầu ra.

6. Đạo hàm của hàm ẩn

Hàm ẩn là một hàm mà ta chưa biết dạng của nó nhưng ta biết rằng nó có thể biểu diễn qua một biến khác trong hàm số. Hơi khó hiểu chút ha!

Cho $ f(x, y) = 0 $, lúc này ta nói $ y(x) $ là hàm ẩn khi tồn tại $ y = y_0 $ sao cho $ f(x, y_0) = 0 $ với mọi $ x $. Khi đó ta còn có thể coi $ f $ là hàm một biến theo $ x $.

Mặc dù chưa biết dạng của $ y(x) $ nhưng lúc này ta có thể tính được đạo hàm của nó như sau: $displaystyle y_x^{prime} = -frac{f_x^{prime}}{f_y^{prime}} $

Đương nhiên là khi đó $ f_y^{prime} not = 0 $ thì công thức mới xác định được. Ta có thể chứng minh đơn giản như sau:

$$ f(x, y) = 0 implies f(x, y)^{prime} = 0 iff f_x^{prime} + f_y^{prime}y_x^{prime} = 0 iff y_x^{prime} = -frac{f_x^{prime}}{f_y^{prime}} $$

Viết dưới dạng loằng ngoằng ta sẽ được:

$$ frac{dy}{dx} = -frac{displaystyle{frac{partial{f}}{partial{x}}}}{displaystyle{frac{partial{f}}{partial{y}}}} $$

Trường hợp tổng quá cũng sẽ được tính tương tự. Ví dụ: $ f(x, y, u) $ có hàm ẩn $ u(x, y) $ thì đạo hàm riêng của $ u $ sẽ được tính như sau:

$$ begin{cases} displaystyle{u_x^{prime} = -frac{f_x^{prime}}{f_u^{prime}}} crcr displaystyle{u_y^{prime} = -frac{f_y^{prime}}{f_u^{prime}}} end{cases} $$