Top 9 # Xem Nhiều Nhất Giải Tích 1 Có Khó Không Mới Nhất 2/2023 # Top Like | Asianhubjobs.com

Tích Có Hướng Của Hai Véc Tơ Trong Không Gian

I. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA 2 VECTO TRONG KHÔNG GIAN

Tích vô hướng của hai vecto trong không gian hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng. Ở đây chúng ta chỉ đề cập đến công thức tính tích vô hướng 2 véc tơ bằng tọa độ. Công thức tích vô hướng:

Nếu ít nhất một trong hai véc tơ bằng véc tơ – không thì tích có hướng hai vectơ đó bằng véc tơ – không.

Tích có hướng của 2 vecto khác véc tơ – không là một véc tơ có đồng thời vuông góc với hai véc tơ đó. Có xác định theo quy tắc cái đinh ốc (quy tắc vặn nút chai-hình). Và có (mô đun) xác định theo công thức:

Công thức tính tích có hướng trong hình học giải tích

Phần định nghĩa bên trên giúp chúng ta hiểu ý nghĩa tíςh có hướng. Ở hình học giải tích lớp 12 ta thường dùng công thức tích có hướng thông qua qua độ của hai véc tơ. Cụ thể, tích có hướng của 2 vectơ trong không gian Oxyz được tính như sau:

III. CÁCH BẤM MÁY TÍNH TÍCH CÓ HƯỚNG

* Define Vector: Nhập dữ liệu cho các véc tơ. Chúng ta có thể nhập đông thời tối đa 4 véc tơ.

* Edit Vector: Nếu véc tơ nhập nhầm dữ liệu hoặc muốn thay đổi dữ liệu ta chọn chức năng này.

* Dimension: Số chiều của véc tơ. Chúng ta luôn chọn 3 cho nội dung hình học Oxyz.

* OPTN: Option. Máy 580 VNX khác các thế hệ máy tính bỏ túi trước là các chức năng con của 1 chương trình đều được gọi ra từ phím này.

Cách tính tích vô hướng bằng máy tính chỉ khác một chút là ở vị trí giữa 2 véc tơ ta chèn Option Dot Product. (Dấu * giữa VctA và VctB).

* TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC

Cho tam giác ABC. Khi đó diện tích tam giác ABC có thể tính theo công thức sau:

* TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH BÌNH HÀNH

Cho hình bình hành ABCD. Khi đó diện tích hình hành ABCD có thể tính theo công thức sau:

Phương pháp tọa độ trong không gian Tính diện tích tam giác trong hệ tọa độ oxyz

200 Bài Tập Tích Phân Hay Và Khó

, Cộng tác viên at Đồng Phục Đẹp chúng tôi

Published on

1. Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân Trang 1 TP1: TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỈ Dạng 1: Tách phân thức Câu 1. x I dx x x 2 2 2 1 7 12 = – + ò · I dx x x 2 1 16 9 1 4 3 æ ö = + -ç ÷ – -è øò = ( )x x x 2 116ln 4 9ln 3+ – – – = 1 25ln2 16ln3+ – . Câu 2. dx I x x 2 5 3 1 = + ò · Ta có: x xx x x x3 2 3 2 1 1 1 ( 1) 1 = – + + + + Þ I x x x 2 2 21 1 3 1 3 ln ln( 1) ln2 ln5 2 2 2 812 é ù = – – + + = – + +ê ú ë û Câu 3. x I dx x x x 5 2 3 2 4 3 1 2 5 6 + = – – + ò · I 2 4 13 7 14 ln ln ln2 3 3 15 6 5 = – + + Dạng 2: Đổi biến số Câu 4. x I dx x 2 4 ( 1) (2 1) – = + ò · Ta có: x x f x x x 2 1 1 1 ( ) . . 3 2 1 2 1 ¢æ ö æ ö- – = ç ÷ ç ÷ + +è ø è ø Þ x I C x 3 1 1 9 2 1 æ ö- = +ç ÷ +è ø Câu 5. ( ) ( ) x I dx x 991 101 0 7 1 2 1 – = + ò · ( ) x dx x x I d x x xx 99 991 1 2 0 0 7 1 1 7 1 7 1 2 1 9 2 1 2 12 1 æ ö æ ö æ ö- – – = =ç ÷ ç ÷ ç ÷ + + +è ø è ø è ø+ ò ò x x 100 1001 1 7 1 11 2 1 09 100 2 1 900 æ ö- é ù= × = ë – ûç ÷ +è ø Câu 6. x I dx x 1 2 2 0 5 ( 4) = + ò · Đặt t x2 4= + Þ I 1 8 = Câu 7. I dx x x 4 3 4 1 1 ( 1) = + ò · Đặt t x2 = Þ t I dt t t 3 2 1 1 1 1 3 ln 2 4 21 æ ö = – =ç ÷ +è ø ò Câu 8. dx I x x 3 6 2 1 (1 ) = + ò

2. Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng Trang 2 · Đặt : x t 1 = Þ t I dt t t dt t t 3 163 4 2 2 2 1 3 3 1 1 1 1 æ ö = – = – + -ç ÷ + +è ø ò ò = 117 41 3 135 12 p- + Câu 9. dx I x x 2 10 2 1 .( 1) = + ò · x dx I x x 2 4 5 10 2 1 . .( 1) = + ò . Đặt t x5 = Þ dt I t t 32 2 2 1 1 5 ( 1) = + ò Câu 10. x I dx x 1 7 2 5 0 (1 ) = + ò · Đặt t x dt xdx2 1 2= + Þ = Þ t I dt t 2 3 5 5 1 1 ( 1) 1 1 . 2 4 2 – = =ò Câu 11. x I dx x x 2 7 7 1 1 (1 ) – = + ò · x x I dx x x 2 7 6 7 7 1 (1 ). .(1 ) – = + ò . Đặt t x7 = Þ t I dt t t 128 1 1 1 7 (1 ) – = +ò Câu 12. x I dx x 2 2001 2 1002 1 . (1 ) = + ò · x I dx dx x x x x 2 22004 3 2 1002 1002 1 1 3 2 1 . . (1 ) 1 1 = = + æ ö +ç ÷ è ø ò ò . Đặt t dt dx x x2 3 1 2 1= + Þ = – . Cách 2: Ta có: x xdx I x x 1 2000 2 2000 2 2 0 1 .2 2 (1 ) (1 ) = + + ò . Đặt t x dt xdx2 1 2= + Þ = Þ t I dt d t tt t 10002 21000 1000 2 1001 1 1 1 ( 1) 1 1 1 1 1 1 2 2 2002.2 æ ö æ ö- = = – – =ç ÷ ç ÷ è ø è ø ò ò Câu 13. I x x dx 1 5 3 6 0 (1 )= -ò · Đặt dt t t t x dt x dx dx I t t dt x 1 7 8 3 2 6 2 0 1 1 1 1 3 (1 ) 3 3 7 8 1683 æ ö- = – Þ = – Þ = Þ = – = – =ç ÷ è øò Câu 14. xdx I x 1 0 3 ( 1) = + ò · Ta có: x x x x x x 2 3 3 3 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) – -+ – = = + – + + + I x x dx 1 2 3 0 1 ( 1) ( 1) 8 – -é ùÞ = + – + =ë ûò Câu 15. x I dx x 2 2 4 1 1 1 + = + ò · Ta có: x x x x x 2 2 4 2 2 1 1 1 11 + + = + + . Đặt t x dt dx x x2 1 1 1 æ ö = – Þ = +ç ÷ è ø Þ dt I dt t tt 3 3 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 22 æ ö = = -ç ÷ – +- è ø ò ò t t 3/ 21 2 1 2 1 .ln ln 12 2 2 2 2 2 1 æ ö- – = = ç ÷ ç ÷+ +è ø

3. Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân Trang 3 Câu 16. x I dx x 2 2 4 1 1 1 – = + ò · Ta có: x x x x x 2 2 4 2 2 1 1 1 11 – – = + + . Đặt t x dt dx x x2 1 1 1 æ ö = + Þ = -ç ÷ è ø Þ dt I t 5 2 2 2 2 = – + ò . Đặt du t u dt u2 2 tan 2 cos = Þ = ; u u u u1 2 5 5 tan 2 arctan2; tan arctan 2 2 = Þ = = Þ = Þ u u I du u u 2 1 2 1 2 2 2 5 ( ) arctan arctan2 2 2 2 2 æ ö = = – = -ç ÷ è ø ò Câu 17. x I dx x 1 4 6 0 1 1 + = + ò · Ta có: x x x x x x x x x x x x x x x x 4 4 2 2 4 2 2 2 6 6 2 4 2 6 2 6 1 ( 1) 1 1 1 1 ( 1)( 1) 1 1 1 + – + + – + = = + = + + + + – + + + + Þ d x I dx dx x x 1 1 3 2 3 2 0 0 1 1 ( ) 1 3 4 3 4 31 ( ) 1 p p p = + = + = + + ò ò Câu 18. x I dx x x 2 2 3 1 1- = + ò · Ta có: xI dx x x 2 2 1 1 1 1 – = + ò . Đặt t x x 1 = + Þ I 4 ln 5 = Câu 19. xdx I x x 1 4 2 0 1 = + + ò . · Đặt t x2 = Þ dt dt I t t t 1 1 2 22 0 0 1 1 2 2 6 31 1 3 2 2 p = = = + + æ öæ ö + + ç ÷ç ÷ è ø è ø ò ò Câu 20. x I dx x x 1 5 22 4 2 1 1 1 + + = – + ò · Ta có: x x x x x x 2 2 4 2 2 2 1 1 1 11 1 + + = – + + – . Đặt t x dt dx x x2 1 1 1 æ ö = – Þ = +ç ÷ è ø Þ dt I t 1 2 0 1 = + ò . Đặt du t u dt u2 tan cos = Þ = Þ I du 4 0 4 p p = =ò Câu 21. x I dx x 3 23 4 0 1 = – ò · x I dx dx x x x x 3 3 23 3 2 2 2 2 0 0 1 1 1 1 ln(2 3) 2 4 12( 1)( 1) 1 1 pæ ö = = + = – +ç ÷ – + – +è ø ò ò

4. Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng Trang 4 TP2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ Dạng 1: Đổi biến số dạng 1 Câu 1. x I dx x x2 3 9 1 = + – ò · x I dx x x x dx x dx x x dx x x 2 2 2 2 (3 9 1) 3 9 1 3 9 1 = = – – = – – + – ò ò ò ò + I x dx x C2 3 1 13= = +ò + I x x dx2 2 9 1= -ò x d x x C 3 2 2 2 2 2 1 1 9 1 (9 1) (9 1) 18 27 = – – = – +ò Þ I x x C 3 2 321 (9 1) 27 = – + + Câu 2. x x I dx x x 2 1 + = + ò · x x dx x x 2 1 + + ò x x dx dx x x x x 2 1 1 = + + + ò ò . + x I dx x x 2 1 1 = + ò . Đặt t= x x t x x2 1 1+ Û – = x t3 2 2 ( 1)Û = – x dx t t dt2 24 ( 1) 3 Û = – Þ t dt t t C2 34 4 4 ( 1) 3 9 3 – = – +ò = ( )x x x x C 3 1 4 4 1 1 9 3 + – + + + x I dx x x 2 1 = + ò = d x x x x 2 (1 ) 3 1 + + ò = x x C2 4 1 3 + + Vậy: ( )I x x C 3 4 1 9 = + + Câu 3. x I dx x 4 0 2 1 1 2 1 + = + + ò · Đặt t x2 1= + . I = t dt t 3 2 1 2 ln2 1 = + +ò . Câu 4. dx I x x 6 2 2 1 4 1 = + + + ò · Đặt t x4 1= + . I 3 1 ln 2 12 = – Câu 5. I x x dx 1 3 2 0 1= -ò · Đặt: t x2 1= – Þ ( )I t t dt 1 2 4 0 2 15 = – =ò . Câu 6. x I dx x 1 0 1 1 + = + ò · Đặt t x= Þ dx t dt2 .= . I = t t dt t 1 3 0 2 1 + +ò = t t dt t 1 2 0 2 2 2 1 æ ö – + -ç ÷ +è øò = 11 4ln2 3 – . Câu 7. x I dx x x 3 0 3 3 1 3 – = + + + ò

5. Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân Trang 5 · Đặt t x tdu dx1 2= + Þ = Þ t t I dt t dt dt tt t 2 2 23 2 1 1 1 2 8 1 (2 6) 6 13 2 – = = – + ++ + ò ò ò 3 3 6ln 2 = – + Câu 8. I x x dx 0 3 1 1 – = +ò · Đặt t t t x t x dx t dt I t dt 1 1 7 4 3 2 33 00 9 1 1 3 3( 1) 3 7 4 28 æ ö = + Þ = + Þ = Þ = – = – = -ç ÷ è øò Câu 9. x I dx x x 5 2 1 1 3 1 + = + ò · Đặt tdt t x dx 2 3 1 3 = + Þ = Þ t tdt I t t 2 2 4 2 2 1 1 3 2 . 31 . 3 æ ö- +ç ÷ ç ÷ è ø= – ò dt t dt t 4 4 2 2 2 2 2 ( 1) 2 9 1 = – + – ò ò t t t t 3 4 4 2 1 1 100 9 ln ln . 9 3 1 27 52 2 æ ö – = – + = +ç ÷ +è ø Câu 10. x x I dx x 3 2 0 2 1 1 + – = + ò · Đặt x t x t2 1 1+ = Û = – Þ dx tdt2= Þ t t t I tdt t t dt t t 2 2 22 2 2 5 4 2 3 11 1 2( 1) ( 1) 1 4 54 2 2 (2 3 ) 2 5 5 æ ö- + – – = = – = – =ç ÷ è øò ò Câu 11. x dx I x x 1 2 0 2 ( 1) 1 = + + ò · Đặt t x t x tdt dx2 1 1 2= + Þ = + Þ = t t I tdt t dt t t tt 222 22 2 3 3 11 1 ( 1) 1 1 16 11 2 .2 2 2 2 3 3 æ öæ ö- – Þ = = – = – – =ç ÷ç ÷ è ø è ø ò ò Câu 12. ( ) x I dx x 4 2 0 1 1 1 2 + = + + ò · Đặt dx t x dt dx t dt x 1 1 2 ( 1) 1 2 = + + Þ = Þ = – + và t t x 2 2 2 – = Ta có: I = t t t t t t dt dt t dt tt t t 4 4 42 3 2 2 2 2 2 2 2 1 ( 2 2)( 1) 1 3 4 2 1 4 2 3 2 2 2 æ ö- + – – + – = = – + -ç ÷ è ø ò ò ò = t t t t 2 1 2 3 4ln 2 2 æ ö – + +ç ÷ ç ÷ è ø = 1 2ln2 4 – Câu 13. x I dx x 8 2 3 1 1 – = + ò

7. Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân Trang 7 Câu 20. x I dx x x 2 5 2 2 2 ( 1) 5 = + + ò · Đặt t x2 5= + Þ dt I t 5 2 3 1 15 ln 4 74 = = – ò . Câu 21. x I dx x x 27 3 2 1 2- = + ò · Đặt t x6 = Þ t t I dt dt tt t t t 3 33 2 2 2 1 1 2 2 2 1 5 5 1 ( 1) 1 1 é ù- = = – + -ê ú + + +ë û ò ò 2 5 5 3 1 ln 3 12 pæ ö = – + -ç ÷ è ø Câu 22. I dx x x 1 2 0 1 1 = + + ò · Đặt t x x x2 1= + + + Þ dt I t t 1 3 1 3 1 1 2 3 2 3 ln(2 1) ln 2 1 3 + + + = = + = +ò Câu 23. x I dx x x 3 2 2 2 0 (1 1 ) (2 1 ) = + + + + ò · Đặt x t2 1+ + = Þ I t dt t t 4 2 3 42 36 4 2 16 12 42ln 3 æ ö = – + – = – +ç ÷ è ø ò Câu 24. x I dx x x x x 3 2 0 2( 1) 2 1 1 = + + + + + ò · Đặt t x 1= + Þ t t dt I t dt t t 2 22 2 2 2 1 1 2 ( 1) 2 ( 1) ( 1) – = = – + ò ò t 2 3 1 2 2 ( 1) 3 3 = – = Câu 25. x x x I dx x 32 2 3 4 1 2011- + = ò · Ta có: xI dx dx M N x x 3 2 2 2 22 3 3 1 1 1 1 2011 – = + = +ò ò xM dx x 3 2 2 2 3 1 1 1- = ò . Đặt t x 3 2 1 1= – Þ M t dt 3 7 32 3 0 3 21 7 2 128 – = – = -ò N dx x dx x x 2 22 2 2 2 3 3 2 1 1 1 2011 2011 14077 2011 162 – é ù = = = – =ê ú ë û ò ò Þ I 3 14077 21 7 16 128 = – . Câu 26. dx I x x 1 33 3 0 (1 ). 1 = + + ò · Đặt t x 3 3 1= + Þ t dt I dt t t t t 3 3 2 22 2 2 1 14 3 2 33 3.( 1) .( 1) = = – – ò ò

8. Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng Trang 8 dt dt t dt t tt t tt 3 3 3 2 3 2 2 2 3 2 2 4 1 1 1 3 342 3 33 1 1 11 1. 1 – æ ö -ç ÷ è ø= = = é ù æ öæ ö — ç ÷ê úç ÷ è øè øë û ò ò ò Đặt dt u du t t3 4 1 3 1= – Þ = Þ u u I du u du u 1 11 12 1 2 2 1 22 23 3 3 3 3 0 0 0 0 1 1 1 13 3 3 2 3 – – æ ö ç ÷ = = = = =ç ÷ ç ÷ç ÷ è ø ò ò Câu 27. x I dx x x x 2 2 4 23 1 1 = æ ö – +ç ÷ è ø ò · Đặt t x2 1= + Þ t I dt t 3 2 2 2 2 ( 1) 2 – = – ò = t t dt t dt dt t t 3 3 34 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 19 2 4 2 ln 3 4 4 22 2 æ ö- + + = + = + ç ÷ ç ÷– – è ø ò ò ò Dạng 2: Đổi biến số dạng 2 Câu 28. ( )x I x x dx x 1 0 1 2 ln 1 1 æ ö-ç ÷= – +ç ÷+è ø ò · Tính x H dx x 1 0 1 1 – = + ò . Đặt x t tcos ; 0; 2 pé ù = Îê ú ë û Þ H 2 2 p = – · Tính K x x dx 1 0 2 ln(1 )= +ò . Đặt u x dv xdx ln(1 ) 2 ì = + í =î Þ K 1 2 = Câu 29. I x x x dx 2 5 2 2 2 ( ) 4 – = + -ò · I = x x x dx 2 5 2 2 2 ( ) 4 – + -ò = x x dx 2 5 2 2 4 – -ò + x x dx 2 2 2 2 4 – -ò = A + B. + Tính A = x x dx 2 5 2 2 4 – -ò . Đặt t x= – . Tính được: A = 0. + Tính B = x x dx 2 2 2 2 4 – -ò . Đặt x t2sin= . Tính được: B = 2p . Vậy: I 2p= .

9. Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân Trang 9 Câu 30. ( )x dx I x 2 2 4 1 3 4 2 – – = ò · Ta có: x I dx dx x x 2 2 2 4 4 1 1 3 4 2 2 – = -ò ò . + Tính I1 = dx x 2 4 1 3 2 ò = x dx 2 4 1 3 7 2 16 – =ò . + Tính x I dx x 2 2 2 4 1 4 2 – = ò . Đặt x t dx tdt2sin 2cos= Þ = . Þ tdt I t dt t d t t t 22 2 2 2 2 2 4 2 6 6 6 1 cos 1 1 1 3 cot cot . (cot ) 8 8 8 8sin sin p p p p p p æ ö = = = – =ç ÷ è ø ò ò ò Vậy: ( )I 1 7 2 3 16 = – . Câu 31. x dx I x 1 2 6 0 4 = – ò · Đặt t x dt x dx3 2 3= Þ = Þ dt I t 1 2 0 1 3 4 = – ò . Đặt t u u dt udu2sin , 0; 2cos 2 pé ù = Î Þ =ê úë û Þ I dt 6 0 1 3 18 p p = =ò . Câu 32. x I dx x 2 0 2 2 – = +ò · Đặt x t dx tdt2cos 2sin= Þ = – Þ t I dt 2 2 0 4 sin 2 2 p p= = -ò . Câu 33. x dx I x x 1 2 2 0 3 2 = + – ò · Ta có: x dx I x 1 2 2 2 0 2 ( 1) = – – ò . Đặt x t1 2cos- = . Þ t t I dt t 22 2 2 3 (1 2cos ) 2sin 4 (2cos ) p p + = – – ò = ( )t t dt 2 3 2 3 4cos 2cos2 p p + +ò = 3 3 4 2 2 p + – Câu 34. x x dx 1 2 2 0 1 2 1- -ò · Đặt x tsin= Þ I t t tdt 6 0 3 1 (cos sin )cos 12 8 8 p p = – = + -ò

10. Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng Trang 10 Dạng 3: Tích phân từng phần Câu 35. I x dx 3 2 2 1= -ò · Đặt x du dxu x xdv dx v x 2 21 1 ì ì =ï ï= – Þí í -=ïî ï =î x I x x x dx x dx x x 3 3 2 2 2 2 2 2 3 1 1 . 5 2 1 2 1 1 é ù Þ = – – = – – +ê ú ê ú- -ë û ò ò dx x dx x 3 3 2 2 2 2 5 2 1 1 = – – – – ò ò I x x2 3 2 5 2 ln 1= – – + – Þ ( )I 5 2 1 ln 2 1 ln2 2 4 = – + + Chú ý: Không được dùng phép đổi biến x t 1 cos = vì [ ]2;3 1;1é ùÏ -ë û

11. Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân Trang 11 TP3: TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Dạng 1: Biến đổi lượng giác Câu 1. x x I dx x x 2 8cos sin2 3 sin cos – – = -ò · ( )x x x I dx x x x x dx x x 2 (sin cos ) 4cos2 sin cos 4(sin cos sin cos – + é ù= = – – +ë û-ò ò x x C3cos 5sin= – + . Câu 2. x x x I dx x cot tan 2tan2 sin4 – – = ò · Ta có: x x x x I dx dx dx C x x xx2 2cot2 2tan2 2cot 4 cos4 1 2 sin4 sin4 2sin4sin 4 – = = = = – +ò ò ò Câu 3. x I dx x x 2 cos 8 sin2 cos2 2 pæ ö +ç ÷ è ø= + + ò · Ta có: x I dx x 1 cos 2 1 4 2 2 1 sin 2 4 p p æ ö + +ç ÷ è ø= æ ö + +ç ÷ è ø ò x dx dx x x x 2 cos 2 1 4 2 2 1 sin 2 sin cos4 8 8 p p p p æ ö æ öç ÷+ç ÷ç ÷è ø= +ç ÷æ ö é ùæ ö æ öç ÷+ +ç ÷ + + +ç ÷ ç ÷ê ú ÷è øç è ø è øë û øè ò ò x dx dx x x2 cos 2 1 14 2 32 2 1 sin 2 sin 4 8 p p p æ öæ ö +ç ç ÷ ÷ è øç ÷= + æ ö æ öç ÷ + + +ç ÷ ç ÷ ÷ç è ø è ø øè ò ò x x C 1 3 ln 1 sin 2 cot 4 84 2 p pæ öæ ö æ ö = + + – + +ç ÷ç ÷ ç ÷÷ç è ø è øøè Câu 4. dx I x x 3 2 3sin cos p p = + – ò · dx I x 3 1 2 1 cos 3 p p p = æ ö – +ç ÷ è ø ò = dx I x2 3 1 4 2sin 2 6 p p p = æ ö +ç ÷ è ø ò = 1 4 3 . Câu 5. I dx x 6 0 1 2sin 3 p = – ò · Ta có: I dx dx x x 6 6 0 0 1 1 1 2 2 sin sin sin sin 3 3 p p p p = = – – ò ò

12. Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng Trang 12 x x dx dx x x x 6 6 0 0 coscos 2 6 2 63 sin sin 2cos .sin 3 2 6 2 6 p p p pp p p p æ öæ ö æ ö + – -ç ÷ç ÷ ç ÷ è ø è øè ø= = æ ö æ ö – + -ç ÷ ç ÷ è ø è ø ò ò x x dx dx x x 6 6 0 0 cos sin 2 6 2 61 1 2 2 sin cos 2 6 2 6 p pp p p p æ ö æ ö – +ç ÷ ç ÷ è ø è ø= + æ ö æ ö – +ç ÷ ç ÷ è ø è ø ò ò x x 6 6 0 0 ln sin ln cos ….. 2 6 2 6 p p p pæ ö æ ö = – – + =ç ÷ ç ÷ è ø è ø Câu 6. I x x x x dx 2 4 4 6 6 0 (sin cos )(sin cos ) p = + +ò . · Ta có: x x x x4 4 6 6 (sin cos )(sin cos )+ + x x 33 7 3 cos4 cos8 64 16 64 = + + Þ I 33 128 p= . Câu 7. I x x x dx 2 4 4 0 cos2 (sin cos ) p = +ò · I x x dx x d x 2 2 2 2 0 0 1 1 1 cos2 1 sin 2 1 sin 2 (sin2 ) 0 2 2 2 p p æ ö æ ö = – = – =ç ÷ ç ÷ è ø è ø ò ò Câu 8. I x x dx 2 3 2 0 (cos 1)cos . p = -ò · A = ( )xdx x d x 2 2 2 5 2 0 0 cos 1 sin (sin ) p p = -ò ò = 8 15 B = x dx x dx 2 2 2 0 0 1 cos . (1 cos2 ). 2 p p = +ò ò = 4 p Vậy I = 8 15 – 4 p . Câu 9. 2 2 0 I cos cos2x xdx p = ò · I x xdx x xdx x x dx 2 2 2 2 0 0 0 1 1 cos cos2 (1 cos2 )cos2 (1 2cos2 cos4 ) 2 4 p p p = = + = + +ò ò ò x x x 2 0 1 1 ( sin2 sin4 ) 4 4 8 p p = + + = Câu 10. x I dx x 3 2 0 4sin 1 cos p = +ò

13. Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân Trang 13 · x x x x x x x x x x 3 3 2 4sin 4sin (1 cos ) 4sin 4sin cos 4sin 2sin2 1 cos sin – = = – = – + I x x dx2 0 (4sin 2sin2 ) 2 p Þ = – =ò Câu 11. I xdx 2 0 1 sin p = +ò · x x x x I dx dx 22 2 0 0 sin cos sin cos 2 2 2 2 p p æ ö = + = +ç ÷ è øò ò x dx 2 0 2 sin 2 4 p pæ ö = +ç ÷ è øò x x dx dx 3 22 30 2 2 sin sin 2 4 2 4 p p p p p é ù ê úæ ö æ ö = + – +ê úç ÷ ç ÷ è ø è øê ú ê úë û ò ò 4 2= Câu 12. dx I x 4 6 0 cos p = ò · Ta có: I x x d x 4 2 4 0 28 (1 2tan tan ) (tan ) 15 p = + + =ò . Dạng 2: Đổi biến số dạng 1 Câu 13. xdx I x x sin2 3 4sin cos2 = + -ò · Ta có: x x I dx x x2 2sin cos 2sin 4sin 2 = + + ò . Đặt t xsin= Þ I x C x 1 ln sin 1 sin 1 = + + + + Câu 14. dx I x x3 5 sin .cos = ò · ò ò== xx dx xxx dx I 23233 cos.2sin 8 chúng tôi Đặt t xtan= . I t t t dt x x x C t x 3 3 4 2 2 3 1 3 1 3 tan tan 3ln tan 4 2 2tan -æ ö = + + + = + + – +ç ÷ è øò Chú ý: t x t2 2 sin2 1 = + . Câu 15. dx I x x3 sin .cos = ò · dx dx I x x x x x2 2 2 sin .cos .cos sin2 .cos = =ò ò . Đặt t xtan= dx t dt x x t2 2 2 ; sin2 cos 1 Þ = = + dt t I dt t t t 2 2 1 2 2 1 + Þ = = + ò ò t x t dt t C x C t 2 2 1 tan ( ) ln ln tan 2 2 = + = + + = + +ò

14. Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng Trang 14 Câu 16. x x I xdx x 2011 2011 2009 5 sin sin cot sin – = ò · Ta có: xxI xdx xdx x x 2011 2011 22 4 4 1 1 cotsin cot cot sin sin – – = =ò ò Đặt t xcot= Þ I t tdt t t C 2 4024 8046 22011 2011 20112011 2011 t (1 ) 4024 8046 = + = + +ò = x x C 4024 8046 2011 20112011 2011 cot cot 4024 8046 + + Câu 17. x x I dx x 2 0 sin2 .cos 1 cos p = +ò · Ta có: x x I dx x 22 0 sin .cos 2 1 cos p = +ò . Đặt t x1 cos= + Þ t I dt t 2 2 1 ( 1) 2 2ln2 1 – = = -ò Câu 18. I x xdx 3 2 0 sin tan p = ò · Ta có: x x x I x dx dx x x 23 3 2 0 0 sin (1 cos )sin sin . cos cos p p – = =ò ò . Đặt t xcos= Þ u I du u 1 22 1 1 3 ln2 8 – = – = -ò Câu 19. I x x dx2 2 sin (2 1 cos2 ) p p = – +ò · Ta có: I xdx x xdx H K2 2 2 2 2sin sin 1 cos2 p p p p = – + = +ò ò + H xdx x dx2 2 2 2sin (1 cos2 ) 2 2 p p p p p p p= = – = – =ò ò + K x x x xdx2 2 2 2 2 sin 2cos 2 sin cos p p p p = = -ò ò xd x2 2 2 2 sin (sin ) 3 p p = – =ò I 2 2 3 p Þ = –

15. Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân Trang 15 Câu 20. dx I x x 3 2 4 4 sin .cos p p = ò · dx I x x 3 2 2 4 4. sin 2 .cos p p = ò . Đặt t xtan= Þ dx dt x2 cos = . t dt t I t dt t tt t 3 3 32 2 3 2 2 2 11 1 (1 ) 1 1 8 3 4 2 2 3 3 æ öæ ö+ – = = + + = – + + =ç ÷ç ÷ è øè ø ò ò Câu 21. ( ) 2 2 0 sin 2 2 sin x I dx x p = + ò · Ta có: x x x I dx dx x x 2 2 2 2 0 0 sin2 sin cos 2 (2 sin ) (2 sin ) p p = = + + ò ò . Đặt t x2 sin= + . Þ t I dt dt t t tt t 33 3 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 ln æ ö æ ö- = = – = +ç ÷ ç ÷ è ø è ø ò ò 3 2 2ln 2 3 = – Câu 22. x I dx x 6 0 sin cos2 p = ò · x x I dx dx x x 6 6 2 0 0 sin sin cos2 2cos 1 p p = = – ò ò . Đặt t x dt xdxcos sin= Þ = – Đổi cận: x t x t 3 0 1; 6 2 p = Þ = = Þ = Ta được t I dt tt 3 1 2 2 31 2 1 1 2 2 ln 2 2 2 22 1 – = – = +- ò = 1 3 2 2 ln 2 2 5 2 6 – – Câu 23. x I e x x dx 22 sin 3 0 .sin .cos . p = ò · Đặt t x2 sin= Þ I = t e t dt 1 0 1 (1 ) 2 -ò = e 1 1 2 – . Câu 24. I x x dx 2 12sin sin 2 6 p p = × +ò · Đặt t xcos= . I 3 ( 2) 16 p= + Câu 25. x I dx x x 4 6 6 0 sin4 sin cos p = + ò

16. Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng Trang 16 · x I dx x 4 20 sin4 3 1 sin 2 4 p = – ò . Đặt t x23 1 sin 2 4 = – Þ I = dt t 1 4 1 2 1 3 æ ö -ç ÷ è ø ò = t 1 1 4 4 2 3 3 = . Câu 26. ( ) x I dx x x 2 3 0 sin sin 3 cos p = + ò · Ta có: x x xsin 3 cos 2cos 6 pæ ö + = -ç ÷ è ø ; x xsin sin 6 6 p pæ öæ ö = – +ç ÷ç ÷ è øè ø = x x 3 1 sin cos 2 6 2 6 p pæ ö æ ö – + -ç ÷ ç ÷ è ø è ø Þ I = x dx dx x x 2 2 3 20 0 sin 63 1 16 16 cos cos 6 6 p pp p p æ ö -ç ÷ è ø + æ ö æ ö – -ç ÷ ç ÷ è ø è ø ò ò = 3 6 Câu 27. x x I dx x 24 2 3 sin 1 cos cos p p – – = ò · x x I x dx x dx x x 4 4 2 2 2 3 3 sin sin 1 cos . sin cos cos p p p p – – = – =ò ò x x x dx x dx x x 0 4 2 2 0 3 sin sin sin sin cos cos p p – – = +ò ò = x x dx dx x x 0 2 24 2 2 0 3 sin sin cos cos p p – – +ò ò 7 3 1 12 p = – – . Câu 28. I dx x x 6 0 1 sin 3 cos p = + ò · I dx x x 6 0 1 sin 3 cos p = + ò = dx x 6 0 1 1 2 sin 3 p pæ ö +ç ÷ è ø ò = x dx x 6 20 sin 1 3 2 1 cos 3 p p p æ ö +ç ÷ è ø æ ö – +ç ÷ è ø ò . Đặt t x dt x dxcos sin 3 3 p pæ ö æ ö = + Þ = – +ç ÷ ç ÷ è ø è ø Þ I dt t 1 2 2 0 1 1 1 ln3 2 41 = = – ò Câu 29. I x xdx 2 2 0 1 3sin2 2cos p = – +ò

17. Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân Trang 17 · I x x dx 2 0 sin 3 cos p = -ò = I x x dx x x dx 3 2 0 3 sin 3 cos sin 3 cos p p p = – + -ò ò 3 3= – Câu 30. xdx I x x 2 3 0 sin (sin cos ) p = + ò · Đặt x t dx dt 2 p = – Þ = – Þ tdt xdx I t t x x 2 2 3 3 0 0 cos cos (sin cos ) (sin cos ) p p = = + + ò ò Þ dx dx 2I x x x x 2 2 4 2 2 00 0 1 1 cot( ) 1 2 2 4(sin cos ) sin ( ) 4 p p p p p = = = – + = + + ò ò Þ I 1 2 = Câu 31. x x I dx x x 2 3 0 7sin 5cos (sin cos ) p – = + ò · Xét: ( ) ( ) xdx xdx I I x x x x 2 2 1 23 3 0 0 sin cos ; sin cos sin cos p p = = + + ò ò . Đặt x t 2 p = – . Ta chứng minh được I1 = I2 Tính I1 + I2 = ( ) dx dx x x x x 2 2 2 20 0 1 tan( ) 122 4sin cos 02cos ( ) 4 p p pp p = = – = + – ò ò Þ I I1 2 1 2 = = Þ I I I1 27 -5 1= = . Câu 32. x x I dx x x 2 3 0 3sin 2cos (sin cos ) p – = + ò · Đặt x t dx dt 2 p = – Þ = – Þ t t x x I dt dx t t x x 2 2 3 3 0 0 3cos 2sin 3cos 2sin (cos sin ) (cos sin ) p p – – = = + + ò ò Þ x x x x I I I dx dx dx x x x x x x 2 2 2 3 3 2 0 0 0 3sin 2cos 3cos 2sin 1 2 1 (sin cos ) (cos sin ) (sin cos ) p p p – – = + = + = = + + + ò ò ò Þ I 1 2 = . Câu 33. x x I dx x2 0 sin 1 cos p = + ò · Đặt t t t x t dx dt I dt dt I t t2 2 0 0 ( )sin sin 1 cos 1 cos p p p p p – = – Þ = – Þ = = – + + ò ò

18. Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng Trang 18 t d t I dt I t t 2 2 2 0 0 sin (cos ) 2 4 4 81 cos 1 cos p p p p p p p p æ ö Þ = = – = + Þ =ç ÷ è ø+ + ò ò Câu 34. x x I dx x x 42 3 3 0 cos sin cos sin p = + ò · Đặt x t dx dt 2 p = – Þ = – Þ t t x x I dt dx t t x x 0 4 42 3 3 3 3 0 2 sin cos sin cos cos sin cos sin p p = – = + + ò ò Þ x x x x x x x x I dx dx xdx x x x x 4 4 3 32 2 2 3 3 3 3 0 0 0 cos sin sin cos sin cos (sin cos ) 1 1 2 sin2 2 2sin cos sin cos p p p + + = = = = + + ò ò ò Þ I 1 4 = . Câu 35. I x dx x 2 2 2 0 1 tan (cos ) cos (sin ) p é ù = -ê ú ê úë û ò · Đặt x t dx dt 2 p = – Þ = – Þ I t dt t 2 2 2 0 1 tan (sin ) cos (cos ) p é ù = -ê ú ê úë û ò x dx x 2 2 2 0 1 tan (sin ) cos (cos ) p é ù = -ê ú ê úë û ò Do đó: I x x dx x x 2 2 2 2 2 0 1 1 2 tan (cos ) tan (sin ) cos (sin ) cos (cos ) p é ù = + – -ê ú ê úë û ò = dt 2 0 2 p p=ò Þ I 2 p = . Câu 36. x x I dx x 4 0 cos sin 3 sin2 p – = – ò · Đặt u x xsin cos= + du I u 2 2 1 4 Þ = – ò . Đặt u t2sin= tdt I dt t 4 4 2 6 6 2cos 124 4sin p p p p p Þ = = = – ò ò . Câu 37. x I dx x x 3 2 0 sin cos 3 sin p = + ò · Đặt t x2 3 sin= + = x2 4 cos- . Ta có: x t2 2 cos 4= – và x x dt dx x2 sin cos 3 sin = + . I = x dx x x 3 2 0 sin . cos 3 sin p + ò = x x dx x x 3 2 2 0 sin .cos cos 3 sin p + ò = dt t 15 2 2 3 4 – ò = dt t t 15 2 3 1 1 1 4 2 2 æ ö -ç ÷ + -è ø ò

19. Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân Trang 19 = t t 15 2 3 1 2 ln 4 2 + – = 1 15 4 3 2 ln ln 4 15 4 3 2 æ ö+ + ç ÷- ç ÷- -è ø = ( ) ( )( )1 ln 15 4 ln 3 2 2 + – + . Câu 38. x x x x I dx x x 2 3 3 2 3 ( sin )sin sin sin p p + + = + ò · x dx I dx xx 2 2 3 3 2 3 3 1 sinsin p p p p = + +ò ò . + Tính x I dx x 2 3 1 2 3 sin p p = ò . Đặt u x du dx dx dv v x x2 cot sin ì = ï ì = Þí í= = -îïî Þ I1 3 p = + Tính dx dx dx I = x x x 2 2 2 3 3 3 2 2 3 3 3 4 2 3 1 sin 1 cos 2cos 2 4 2 p p p p p pp p = = = – + æ ö æ ö + – -ç ÷ ç ÷ è ø è ø ò ò ò Vậy: I 4 2 3 3 p = + – . Câu 39. x dx x x I 2 2 2 0 sin2 cos 4sin p + = ò · x x dx x I 2 2 0 2sin cos 3sin 1 p = + ò . Đặt u x2 3sin 1= + Þ udu du u I 2 2 1 1 2 2 23 3 3 = == ò ò Câu 40. x I dx x 6 0 tan 4 cos2 p pæ ö -ç ÷ è ø= ò · x x I dx dx x x 26 6 2 0 0 tan tan 14 cos2 (tan 1) p ppæ ö -ç ÷ +è ø= = – + ò ò . Đặt t x dt dx x dx x 2 2 1 tan (tan 1) cos = Þ = = + Þ dt I tt 1 1 3 3 2 00 1 1 3 1 2( 1) – = – = = ++ ò . Câu 41. x I dx x x 3 6 cot sin .sin 4 p p p = æ ö +ç ÷ è ø ò · x I dx x x 3 2 6 cot 2 sin (1 cot ) p p = + ò . Đặt x t1 cot+ = dx dt x2 1 sin Þ = – Þ ( )t I dt t t t 3 1 3 1 3 1 3 1 3 3 1 2 2 2 ln 2 ln 3 3 + + + + æ ö- = = – = -ç ÷ è ø ò

20. Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng Trang 20 Câu 42. dx I x x 3 2 4 4 sin .cos p p = ò · Ta có: dx I x x 3 2 2 4 4. sin 2 .cos p p = ò . Đặt dt t x dx t2 tan 1 = Þ = + Þ t dt t I t dt t tt t 3 2 2 33 3(1 ) 1 1 8 3 42( 2 ) ( 2 ) 2 2 3 31 1 1 + – = = + + = – + + =ò ò Câu 43. x I dx x x x 4 2 0 sin 5sin .cos 2cos p = + ò · Ta có: x I dx x x x 4 2 2 0 tan 1 . 5tan 2(1 tan ) cos p = + + ò . Đặt t xtan= , Þ t I dt dt t tt t 1 1 2 0 0 1 2 1 1 2 ln3 ln2 3 2 2 1 2 32 5 2 æ ö = = – = -ç ÷ + ++ + è ø ò ò Câu 44. xdx x x x I 24 4 2 4 sin cos (tan 2tan 5) p p – – + = ò · Đặt dt t x dx t2 tan 1 = Þ = + Þ t dt dt I t t t t 21 1 2 2 1 1 2 2 ln 3 32 5 2 5- – = = + – – + – + ò ò Tính dt I t t 1 1 2 1 2 5- = – + ò . Đặt t u I du 0 1 4 1 1 tan 2 2 8p p – – = Þ = =ò . Vậy I 2 3 2 ln 3 8 p = + – . Câu 45. x I dx x 22 6 sin sin3 p p = ò . · x x I dx dx x x x 22 2 3 2 6 6 sin sin 3sin 4sin 4cos 1 p p p p = = – – ò ò Đặt t x dt xdxcos sin= Þ = – Þ dt dt I t t 3 0 2 2 203 2 1 1 ln(2 3) 14 44 1 4 = – = = – – – ò ò Câu 46. x x I dx x 2 4 sin cos 1 sin2 p p – = + ò

21. Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân Trang 21 · Ta có: x x x x x1 sin2 sin cos sin cos+ = + = + (vì x ; 4 2 p pé ù Î ê úë û ) Þ x x I dx x x 2 4 sin cos sin cos p p – = +ò . Đặt t x x dt x x dxsin cos (cos sin )= + Þ = – I dt t t 22 11 1 1 ln ln2 2 Þ = = =ò Câu 47. I x x xdx 2 6 3 5 1 2 1 cos .sin .cos= -ò · Đặt t dt t x t x t dt x xdx dx x x 5 6 3 6 3 5 2 2 2 1 cos 1 cos 6 3cos sin cos sin = – Û = – Þ = Þ = t t I t t dt 1 1 7 13 6 6 00 12 2 (1 ) 2 7 13 91 æ ö Þ = – = – =ç ÷ è øò Câu 48. xdx I x x 4 2 0 tan cos 1 cos p = + ò · Ta có: xdx I x x 4 2 2 0 tan cos tan 2 p = + ò . Đặt 2 2 2 2 tan 2 tan 2 tan cos = + Þ = + Þ = x t x t x tdt dx x Þ 3 3 2 2 3 2= = = -ò ò tdt I dt t Câu 49. x I dx x x 2 3 0 cos2 (cos sin 3) p = – + ò · Đặt t x xcos sin 3= – + Þ t I dt t 4 3 2 3 1 32 – = = -ò . Câu 50. x I dx x x 4 2 4 0 sin4 cos . tan 1 p = + ò · Ta có: x I dx x x 4 4 4 0 sin4 sin cos p = + ò . Đặt t x x4 4 sin cos= + I dt 2 2 1 2 2 2Þ = – = -ò . Câu 51. x I dx x 4 2 0 sin4 1 cos p = + ò · Ta có: x x I dx x 24 2 0 2sin2 (2cos 1) 1 cos p – = + ò . Đặt t x2 cos= Þ t I dt t 1 2 1 2(2 1) 1 2 6ln 1 3 – = – = – +ò . Câu 52. x I dx x 6 0 tan( ) 4 cos2 p p – = ò

22. Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng Trang 22 · Ta có: 26 2 0 tan 1 (tan 1) p + = – +ò x I dx x . Đặt t xtan= Þ 1 3 2 0 1 3 ( 1) 2 – = – = +ò dt I t . Câu 53. 36 0 tan cos2 p = ò x I dx x · Ta có: 3 36 6tan tan 2 2 2 2cos sin cos (1 tan )0 0 p p = =ò ò – – x x I dx dx x x x x . Đặt t xtan= Þ 3 33 1 1 2 ln 2 6 2 310 = = – -ò – t I dt t . Câu 54. x I dx x 2 0 cos 7 cos2 p = + ò · x dx I x 2 2 2 0 1 cos 2 6 22 sin p p = = – ò Câu 55. dx x x 3 4 3 5 4 sin .cos p p ò · Ta có: dx x x x 3 3 84 4 3 1 sin .cos cos p p ò dx xx 3 24 3 4 1 1 . costan p p = ò . Đặt t xtan= Þ ( )I t dt 33 84 1 4 3 1 – = = -ò Câu 56. 3 2 0 cos cos sin ( ) 1 cos x x x I x dx x p + + = +ò · Ta có: x x x x x I x dx x x dx dx J K x x 2 2 2 0 0 0 cos (1 cos ) sin .sin .cos . 1 cos 1 cos p p pæ ö+ + = = + = +ç ÷ ç ÷+ +è ø ò ò ò + Tính J x x dx 0 .cos . p = ò . Đặt u x du dx dv xdx v xcos sin ì ì= = Þí í= =î î J 2Þ = – + Tính x x K dx x2 0 .sin 1 cos p = + ò . Đặt x t dx dtp= – Þ = – t t t t x x K dt dt dx t t x2 2 2 0 0 0 ( ).sin( ) ( ).sin ( ).sin 1 cos ( ) 1 cos 1 cos p p p p p p p p – – – – Þ = = = + – + + ò ò ò x x x x dx x dx K dx K x x x2 2 2 0 0 0 ( ).sin sin . sin . 2 21 cos 1 cos 1 cos p p p p p p + – Þ = = Þ = + + + ò ò ò

23. Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân Trang 23 Đặt t xcos= dt K t 1 2 1 2 1 p – Þ = + ò , đặt t u dt u du2 tan (1 tan )= Þ = + u du K du u u 2 24 4 4 2 4 4 4 (1 tan ) . 2 2 2 41 tan p p p p p p p p p p – – – + Þ = = = = + ò ò Vậy I 2 2 4 p = – Câu 57. 2 2 6 cos I sin 3 cos p p = + ò x dx x x · Ta có: 2 2 2 6 sin cos sin 3 cos p p = + ò x x I dx x x . Đặt t x2 3 cos= + Þ ( )dt I t 15 2 2 3 1 ln( 15 4) ln( 3 2) 24 = = + – + – ò Dạng 3: Đổi biến số dạng 2 Câu 58. I x x dx 2 12sin sin . 2 6 p p = × +ò · Đặt x t t 3 cos sin , 0 2 2 pæ ö = £ £ç ÷ è ø Þ I = tdt 4 2 0 3 cos 2 p ò = 3 1 2 4 2 pæ ö +ç ÷ è ø . Câu 59. 2 2 2 0 3sin 4cos 3sin 4cos p + = +ò x x I dx x x · 2 2 2 2 2 2 0 0 0 3sin 4cos 3sin 4cos 3 cos 3 cos 3 cos p p p + = = + + + +ò ò ò x x x x I dx dx dx x x x 2 2 2 2 0 0 3sin 4cos 3 cos 4 sin p p = + + -ò ò x x dx dx x x + Tính 2 1 2 0 3sin 3 cos p = +ò x I dx x . Đặt cos sin= Þ = -t x dt xdx Þ 1 1 2 0 3 3 = +ò dt I t Đặt 2 3 tan 3(1 tan )= Þ = +t u dt u du Þ 26 1 2 0 3 3(1 tan ) 3 3(1 tan ) 6 p p+ = = +ò u du I u + Tính 2 2 2 0 4cos 4 sin p = -ò x I dx x . Đặt 1 1sin cos= Þ =t x dt xdx 1 1 2 12 10 4 ln3 4 = = -ò dt I dt t

24. Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng Trang 24 Vậy: 3 ln3 6 p = +I Câu 60. x I dx x x 4 2 6 tan cos 1 cos p p = + ò · Ta có: x x I dx dx x xx x 4 4 2 2 2 26 6 tan tan 1 cos tan 2cos 1 cos p p p p = = ++ ò ò Đặt u x du dx x2 1 tan cos = Þ = Þ u I dx u 1 2 1 3 2 = + ò . Đặt u t u dt du u 2 2 2 2 = + Þ = + . I dt t 3 3 7 7 3 3 7 3 7 3 . 3 3 – Þ = = = – =ò Câu 61. x I dx x x 2 4 sin 4 2sin cos 3 p p pæ ö +ç ÷ è ø= -ò · Ta có: ( ) x x I dx x x 2 2 4 1 sin cos 2 sin cos 2 p p + = – – + ò . Đặt t x xsin cos= – Þ I dt t 1 2 0 1 1 2 2 = – + ò Đặt t u2 tan= Þ u I du u 1 arctan 22 2 0 1 2(1 tan ) 1 1 arctan 22 22tan 2 + = – = – + ò

25. Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân Trang 25 Dạng 4: Tích phân từng phần Câu 62. x x I dx x 3 2 3 sin cos p p- = ò . · Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có: x dx I xd J x x x 3 33 3 3 3 1 4 , cos cos cos 3 p pp p p p p – – – æ ö = = – = -ç ÷ è ø ò ò với dx J x 3 3 cos p p – = ò Để tính J ta đặt t xsin .= Khi đó dx dt t J x tt 3 3 3 2 2 2 3 3 23 2 1 1 2 3 ln ln cos 2 1 2 31 p p – – – – – = = = – = – + +- ò ò Vậy I 4 2 3 ln . 3 2 3 p – = – + Câu 63. xx I e dx x 2 0 1 sin . 1 cos p æ ö+ = ç ÷ +è ø ò · Ta có: x x x x x xx 2 2 1 2sin cos1 sin 12 2 tan 1 cos 2 2cos 2cos 2 2 ++ = = + + Þ x xe dx x I e dx x 2 2 20 0 tan 2 2cos 2 p p = +ò ò = e2 p Câu 64. ( ) x x I dx x 4 2 0 cos2 1 sin2 p = + ò · Đặt u x du dx x dv dx v xx 2 cos2 1 1 sin2(1 sin2 ) ì = ì = ï ï Þí í= = -ï ï ++ îî Þ I x dx dx x x x 4 4 20 0 1 1 1 1 1 1 1 . . .4 2 1 sin2 2 1 sin2 16 2 20 cos 4 p p p p p æ ö = – + = – +ç ÷ + + æ öè ø -ç ÷ è ø ò ò ( )x 1 1 1 2 2 . tan . 0 14 16 2 4 16 2 2 4 162 0 p p p p pæ ö = – + – = – + + = -ç ÷ è ø

26. Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng Trang 26 TP4: TÍCH PHÂN HÀM SỐ MŨ – LOGARIT Dạng 1: Đổi biến số Câu 1. x x e I dx e 2 1 = + ò · Đặt x x x t e e t e dx tdt2 2= Þ = Þ = . t I dt t 3 2 1 Þ = = +ò t t t t C3 22 2 2ln 1 3 – + – + + x x x x x e e e e e C 2 2 2ln 1 3 = – + – + + Câu 2. x x x x e I dx x e 2 ( ) – + = + ò · x x x x e I dx x e 2 ( ) – + = + ò = x x x xe x e dx xe .( 1) 1 + + ò . Đặt x t x e. 1= + Þ x x I xe xe C1 ln 1= + – + + . Câu 3. x dx I e2 9 = + ò · Đặt x t e2 9= + Þ dt t I C tt2 1 3 ln 6 39 – = = + +- ò x x e C e 2 2 1 9 3 ln 6 9 3 + – = + + + Câu 4. x x x x I dx ex e 2 2 2 1 ln(1 ) 2011 ln ( ) + + + = é ù+ë û ò · Ta có: x x I dx x x 2 2 2 ln( 1) 2011 ( 1) ln( 1) 1 é ù+ +ë û= é ù+ + +ë û ò . Đặt t x2 ln( 1) 1= + + Þ t I dt t 1 2010 2 + = ò t t C 1 1005ln 2 = + + = x x C2 21 1 ln( 1) 1005ln(ln( 1) 1) 2 2 + + + + + + Câu 5. e x x xe J dx x e x1 1 ( ln ) + = + ò · e x ee x x d e x e J e x ee x 11 ( ln ) 1 ln ln ln ln + + = = + = + ò Câu 6. x x x x x e e I dx e e e ln2 3 2 3 2 0 2 1 1 + – = + – + ò · x x x x x x x x x e e e e e e I dx e e e ln2 3 2 3 2 3 2 0 3 2 ( 1) 1 + – – + – + = + – + ò = x x x x x x e e e dx e e e ln2 3 2 3 2 0 3 2 1 1 æ ö+ – -ç ÷ ç ÷+ – +è ø ò = x x x e e e x3 2 ln2 ln2 ln( – 1) 0 0 + + – = ln11 – ln4 = 14 ln 4 Câu 7. ( )x dx I e 3ln2 2 30 2 = + ò · ( ) x x x e dx I e e 3ln2 3 2 0 33 2 = + ò . Đặt x x t e dt e dx3 31 3 = Þ = Þ I 3 3 1 ln 4 2 6 æ ö = -ç ÷ è ø

27. Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân Trang 27 Câu 8. x I e dx ln2 3 0 1= -ò · Đặt x e t 3 1- = Þ t dt dx t 2 3 3 1 = + Þ I = dt t 1 3 0 1 3 1 1 æ ö -ç ÷ +è ø ò = dt t 1 3 0 3 3 1 – + ò . Tính dt I t 1 1 3 0 3 1 = + ò = t dt t t t 1 2 0 1 2 1 1 æ ö- +ç ÷ + – +è ø ò = ln2 3 p + Vậy: I 3 ln2 3 p = – – Câu 9. ( )x x x x x x e e dx I e e e e ln15 2 3ln2 24 1 5 3 1 15 – = + + – + – ò · Đặt x x t e t e2 1 1= + Þ – = x e dx tdt2Þ = . ( )t t dt I dt t t t t tt 4 42 4 2 3 3 3 (2 10 ) 3 7 2 2 3ln 2 7ln 2 2 24 æ ö- = = – – = – – – +ç ÷ – +- è ø ò ò 2 3ln2 7ln6 7ln5= – – + Câu 10. ln3 2 ln2 1 2 x x x e dx I e e = – + – ò · Đặt t = x e 2- Þ x e dx tdt2 2= Þ I = 2 t tdt t t 1 2 2 0 ( 2) 1 + + + ò = 2 t t dt t t 1 2 0 2 1 1 1 æ ö+ – +ç ÷ + +è ø ò = t dt 1 0 2 ( 1)-ò + d t t t t 1 2 2 0 ( 1) 2 1 + + + + ò = t t 1 2 0( 2 )- + t t 1 2 02ln( 1)+ + = 2ln3 1- . Câu 11. x x x x e e I dx e e ln3 3 2 0 2 4 3 1 – = – + ò · Đặt x x x x x x t e e t e e tdt e e dx3 2 2 3 2 3 2 4 3 4 3 2 (12 6 )= – Þ = – Þ = – x x tdt e e dx3 2 (2 ) 3 Þ – = tdt I dt t t 9 9 1 1 1 1 1 (1 ) 3 1 3 1 Þ = = – + +ò ò t t 9 1 1 8 ln5 ( ln 1) . 3 3 – = – + = Câu 12. ò -= 3 16 ln 3 8 ln 43 dxeI x · Đặt: x x t t e e 2 4 3 4 3 + = – Þ = tdt dx t2 2 4 Þ = + t dt I dt dt t t 2 3 2 3 2 32 2 2 2 2 2 2 2 8 4 4 Þ = = – + + ò ò ò ( ) I14 3 1 8= – – , với dt I t 2 3 1 2 2 4 = + ò Tính dt I t 2 3 1 2 2 4 = + ò . Đặt: t u u2tan , ; 2 2 p pæ ö = Î -ç ÷ è ø dt u du2 2(1 tan )Þ = +

28. Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng Trang 28 I du 3 1 4 1 1 2 2 3 4 24 p p p p pæ ö Þ = = – =ç ÷ è ø ò . Vậy: I 4( 3 1) 3 p = – – Câu 13. x x e I dx e ln3 3 0 ( 1) = + ò · Đặt x x x x tdt t e t e tdt e dx dx e 2 2 1 1 2= + Û = + Û = Þ = tdt I t 2 3 2 2 2 1Þ = = -ò Câu 14. x x e I dx e ln5 2 ln2 1 = – ò · Đặt x x x tdt t t e t e dx I t d t e 2 2 3 2 2 11 2 20 1 1 2 ( 1) 2 3 3 æ ö = – Û = – Þ = Þ = + = + =ç ÷ è øò Câu 15. x I e dx ln2 0 1= -ò · Đặt x x x x td td t e t e tdt e dx dx e t 2 2 2 2 1 1 2 1 = – Þ = – Þ = Þ = = + t I dt dt t t 1 12 2 2 0 0 2 1 4 2 1 21 1 pæ ö – Þ = = – =ç ÷ + +è ø ò ò Câu 16. x x x x I dx 2 1 2 2 4 4 2 – – – = + – ò · Đặt x x t 2 2- = + Þ x x x x 2 4 4 2 (2 2 ) 4- – + – = + – Þ 1 81 ln 4ln 2 25 =I Câu 17. 1 0 6 9 3.6 2.4 = + +ò x x x x dx I · Ta có: x x x dx I 1 2 0 3 2 3 3 3 2 2 2 æ ö ç ÷ è ø= æ ö æ ö + +ç ÷ ç ÷ è ø è ø ò . Đăt x t 3 2 æ ö = ç ÷ è ø . dt I t t 3 2 2 1 1 ln3 ln2 3 2 = – + + ò ln15 ln14 ln3 ln2 – = – Câu 18. e x I x x dx x x 2 1 ln 3 ln 1 ln æ ö = +ç ÷ +è ø ò · e e x I dx x xdx x x 2 1 1 ln 3 ln 1 ln = + + ò ò = 2(2 2) 3 – + e3 2 1 3 + = e3 5 2 2 2 3 – + Câu 19. e x x I dx x 3 2 1 ln 2 ln+ = ò

29. Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân Trang 29 · Đặt t x2 2 ln= + Þ x dt dx x 2ln = Þ I tdt 3 3 2 1 2 = ò ( )33 4 43 3 2 8 = – Câu 20. e e dx I x x ex 2 ln .ln = ò · e e e e dx d x I x x x x x 2 2 (ln ) ln (1 ln ) ln (1 ln ) = = + +ò ò = e e d x x x 2 1 1 (ln ) ln 1 ln æ ö -ç ÷ +è ø ò = 2ln2 – ln3 Câu 21. x x x e I dx e e ln6 2 ln4 6 5- = + – ò · Đặt x t e= . I 2 9ln3 4ln2= + – Câu 22. e x I dx x x 3 2 2 1 log 1 3ln = + ò · e e e x x x xdx I dx dx xx x x x x 3 3 2 2 32 2 2 1 1 1 ln log ln2 1 ln . ln . ln 21 3ln 1 3ln 1 3ln æ ö ç ÷ è ø= = = + + + ò ò ò Đặt dx x t x t x tdt x 2 2 21 1 1 3ln ln ( 1) ln . 3 3 + = Þ = – Þ = . Suy ra I t t 2 3 3 3 1 1 1 4 39ln 2 27ln 2 æ ö = – =ç ÷ è ø . Câu 23. e x x x I dx x x1 ( 2)ln (1 ln ) + – = +ò · e e x dx dx x x1 1 ln 2 (1 ln ) – +ò ò = e x e dx x x1 ln 1 2 (1 ln ) – – +ò Tính J = e x dx x x1 ln (1 ln )+ò . Đặt t x1 ln= + Þ t J dt t 2 1 1 1 ln2 – = = -ò . Vậy: I e 3 2ln2= – + . Câu 24. e e x x x x I dx x x 3 2 2 2 2 ln ln 3 (1 ln ) – + = -ò · e e e e I dx xdx x x 3 3 2 2 1 3 2 ln (1 ln ) = – -ò ò e e3 2 3ln2 4 2= – – + . Câu 25. e x x I dx x 2 2 2 2 1 ln ln 1- + = ò · Đặt : dx t x dt x ln= Þ = Þ t t t t t t t t t I dt dt dt dt I I e e e e 2 2 2 1 2 1 20 0 0 1 2 1 1 1 1- + – – – = = = – + = +ò ò ò ò + t t t t t tdt dt dt dt I te ee e e e 11 1 1 1 1 0 0 0 00 1-æ öæ ö = – – = – – + – =ç ÷ç ÷ è ø è ø ò ò ò ò + t t t t t t tdt dt dt dt I te te ee e e e e 2 22 2 2 2 2 1 1 1 1 21 1 1 2- – = – = – + – = – = -ò ò ò ò

30. Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng Trang 30 Vậy : e I e2 2( 1)- = Câu 26. 5 2 ln( 1 1) 1 1 – + = – + -ò x I dx x x · Đặt ( )t xln 1 1= – + Þ dx dt x x 2 1 1 = – + – Þ I dt ln3 2 2 ln2 2 ln 3 ln 2= = -ò . Câu 27. 3 3 1 ln 1 ln = + ò e x I dx x x · Đặt dx t x x t tdt x 2 1 ln 1 ln 2= + Þ + = Þ = và x t3 2 3 ln ( 1)= – Þ t t t t I dt = dt t t t dt t t t 2 2 22 3 6 4 2 5 3 1 1 1 ( 1) 3 3 1 1 ( 3 3 ) – – + – = = – + -ò ò ò 15 ln2 4 = – Câu 28. e x I dx x x1 3 2ln 1 2ln – = + ò · Đặt t x1 2ln= + Þ e I t dt2 1 (2 )= -ò = 3 524 – Câu 29. e x x I dx x 3 2 1 ln 2 ln+ = ò · Đặt t x2 2 ln= + Þ I 33 4 43 3 2 8 é ù= -ë û Câu 30. 1 1 ( ln ) + = +ò e x x xe I dx x e x · Đặt x t e xln= + Þ 1 ln + = e e I e .

31. Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân Trang 31 Dạng 2: Tích phân từng phần Câu 31. inx I e xdx 2 s 0 .sin2 p = ò · inx I e x xdx 2 s 0 2 .sin cos p = ò . Đặt x x u x du xdx dv e xdx v esin sin sin cos cos ì ì= = Þí í = =î î x x x I xe e xdx e e 2 sin sin sin2 2 0 0 0 2sin .cos 2 2 2 p p p Þ = – = – =ò Câu 32. I x x x dx 1 2 0 ln( 1)= + +ò · Đặt x du dx u x x x x dv xdx x v 2 2 2 2 1 ln( 1) 1 2 ì + =ïì ï= + + + +Þí í =î ï = ïî x x x I x x dx x x 1 12 3 2 2 2 0 0 1 2 ln( 1) 2 2 1 + = + + – + + ò x dx x dx dx x x x x 1 1 1 2 2 0 0 0 1 1 1 2 1 3 ln3 (2 1) 2 2 4 41 1 + = – – + – + + + + ò ò ò 3 3 ln3 4 12 p = – Câu 33. x I dx x 8 3 ln 1 = + ò · Đặt u x dx du dx xdv v xx ln 2 11 ì ì= =ï ï Þí í= ï ï = ++ îî ( ) x I x x dx J x 88 3 3 1 2 chúng tôi 2 6ln8 4ln3 2 + Þ = + – = – -ò + Tính x J dx x 8 3 1+ = ò . Đặt t t t x J tdt dt dt t tt t 3 3 32 2 2 2 2 2 1 1 1 .2 2 2 1 11 1 æ ö = + Þ = = = + -ç ÷ – +- – è ø ò ò ò t t t 8 3 1 2 ln 2 ln3 ln2 1 æ ö- = + = + -ç ÷ +è ø Từ đó I 20ln2 6ln3 4= – – . Câu 34. e xx x x I e dx x 2 1 ln 1+ + = ò · e e e x x x e I xe dx xe dx dx x1 1 1 ln= + +ò ò ò . + Tính e ee x x x e I xe dx xe e dx e e11 1 1 ( 1)= = – = -ò ò +Tính e e ex xe x x ee e I e xdx e x dx e dx x x2 1 1 1 1 ln ln= = – = -ò ò ò . Vậy: e x e I I I dx x1 2 1 = + + ò = e e 1+ .

33. Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân Trang 33 Câu 41. x I dx x 3 2 1 ln ( 1) = + ò · Đặt u x dx dv x 2 ln ( 1) ì = ï í = ï +î Þ I 1 3 ln3 ln 4 2 = – + Câu 42. 2 2 1 ln ( ln ) . 1 + + = +ò e x x x x e e x I dx e · Ta có: e e x x e I x dx dx H K e 2 2 1 1 ln . 1 = + = + + ò ò + e H x dx2 1 ln .= ò . Đặt: u x dv dx 2 lnì = í =î Þ e H e x dx e 1 2ln . 2= – = -ò + e x x e K dx e 2 1 1 = + ò . Đặt x t e 1= + Þ e e e e e t e I dt e e t e 1 2 1 1 1 ln 1 + + – + Þ = = – + + ò Vậy: e e e I e e 1 -2 ln 1 + = + + Câu 43. 2 1 1 2 1 ( 1 ) + = + -ò x x I x e dx x · Ta có: 2 31 1 1 1 2 2 1+ +æ ö = + – = +ç ÷ è øò ò x x x x I e dx x e dx H K x + Tính H theo phương pháp từng phần I1 = 2 21 1 5 2 1 1 2 2 1 3 2 + +æ ö = – – = -ç ÷ è øò x x x x H xe x e dx e K x 5 2 3 . 2 I eÞ = Câu 44. 4 2 0 ln( 9 )= + -òI x x dx · Đặt ( )u x x dv dx 2 ln 9 ìï = + -í =ïî Þ ( ) x I x x x dx x 4 4 2 20 0 ln 9 2 9 = + – + = + ò

34. Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng Trang 34 TP5: TÍCH PHÂN TỔ HỢP NHIỀU HÀM SỐ Câu 1. x x I x e dx x 3 1 4 2 0 1 æ ö = +ç ÷ç ÷ +è ø ò · x x I x e dx dx x 3 1 1 4 2 0 0 1 = + + ò ò . + Tính x I x e dx 3 1 2 1 0 = ò . Đặt t x3 = Þ t t I e dt e e 1 1 1 0 0 1 1 1 1 3 3 3 3 = = = -ò . + Tính x I dx x 1 4 2 0 1 = + ò . Đặt t x4 = Þ t I dt t 1 4 2 2 0 2 4 4 3 41 pæ ö = = – +ç ÷ è ø+ ò Vậy: I e 1 3 3 p= + – Câu 2. x x I x e dx x 2 2 3 1 4æ ö-ç ÷= – ç ÷ è ø ò · x I xe dx 2 1 = ò + x dx x 2 2 2 1 4 – ò . + Tính x I xe dx e 2 2 1 1 = =ò + Tính x I dx x 2 2 2 2 1 4 – = ò . Đặt x t2sin= , t 0; 2 pé ù Îê úë û . Þ t I dt t t t 22 2 2 2 6 6 cos ( cot ) sin p p p p = = – -ò = 3 3 p – Vậy: I e2 3 3 p = + – . Câu 3. ( )xx I e x x dx x 1 2 2 2 2 0 . 4 . 4 = – – – ò · x x I x e dx dx I I x 1 1 3 2 1 2 2 0 0 4 = – = + – ò ò + Tính x e I x e dx 1 2 2 1 0 1 4 + = =ò + Tính x I dx x 1 3 2 2 0 4 = – ò . Đặt t x2 4= – Þ I2 16 3 3 3 = – + Þ e I 2 61 3 3 4 12 = + – Câu 4. xx I e dx x 1 2 2 0 1 ( 1) + = + ò

35. Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân Trang 35 · Đặt t x dx dt1= + Þ = t tt t I e dt e dt tt t 2 22 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1- -æ ö- + = = + -ç ÷ è ø ò ò = e e e e 2 2 1 1 2 æ ö – + – + =ç ÷ ç ÷ è ø Câu 5. x x e dx I x 2 3 3 1 2 0 . 1 + = + ò · Đặt t x dx tdt2 1= + Þ = Þ t I t e dt 2 2 1 ( 1)= -ò t t t e dt e J e e 2 2 2 1 2 ( ) 1 = – = – -ò + t t t t t t t J t e dt t e te dt e e te e dt e e te e 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 4 2 4 2( ) 1 1 1 æ ö ç ÷= = – = – – – = – – – ç ÷ è ø ò ò ò Vậy: I e2 = Câu 6. x x x I dx x 2 3 2 ln( 1) 1 + + = + ò · Ta có: x x x x x x x x f x x x x x x 2 2 2 2 2 2 2 ln( 1) ( 1) ln( 1) ( ) 1 1 1 1 + + – + = + = + – + + + + Þ F x f x dx x d x xdx d x2 2 21 1 ( ) ( ) ln( 1) ( 1) ln( 1) 2 2 = = + + + – +ò ò ò ò = x x x C2 2 2 21 1 1 ln ( 1) ln( 1) 4 2 2 + + – + + . Câu 7. ( )x x x I dx x 4 2 3 2 0 ln 9 3 9 + + – = + ò · ( ) ( )x x x x x x I dx dx dx I I x x x 4 4 42 3 2 3 1 2 2 2 2 0 0 0 ln 9 3 ln 9 3 3 9 9 9 + + – + + = = – = – + + + ò ò ò + Tính ( )x x I dx x 4 2 1 2 0 ln 9 9 + + = + ò . Đặt ( )x x u2 ln 9+ + = Þ du dx x2 1 9 = + Þ u I udu ln5 2 2 2 1 ln3 ln 5 ln 3ln5 ln32 2 – = = =ò + Tính x I dx x 4 3 2 2 0 9 = + ò . Đặt x v2 9+ = Þ x dv dx x v x 2 2 2 , 9 9 = = – + Þ u I u du u 5 3 2 2 3 445 ( 9) ( 9 ) 33 3 = – = – =ò Vậy ( )x x x I dx I I x 4 2 3 2 2 1 2 2 0 ln 9 3 ln 5 ln 3 3 44 29 + + – – = = – = – + ò . Câu 8. e x x x I dx x x 3 2 1 ( 1)ln 2 1 2 ln + + + = +ò · e e x I x dx dx x x 2 1 1 1 ln 2 ln + = + +ò ò . + e e x e x dx 3 3 2 11 1 3 3 – = =ò

36. Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng Trang 36 + e e ex d x x dx x x x x x x 1 1 1 1 ln (2 ln ) ln 2 ln 2 ln 2 ln + + = = + + +ò ò e 2 ln 2 + = . Vậy: e e I 3 1 2 ln 3 2 – + = + . Câu 9. xx I e dx x 2 0 1 sin . 1 cos p + = +ò · x xe dx x I e dx x x 2 2 20 0 1 sin 2 1 cos cos 2 p p = + +ò ò + Tính x x x x x I e dx e dx xx 2 2 1 20 0 2sin .cossin 2 2 1 cos 2cos 2 p p = = +ò ò xx e dx 2 0 tan 2 p = ò + Tính x e dx I x 2 2 20 1 2 cos 2 p = ò . Đặt x xu e du e dx dx dv x vx2 tan 2cos 2 2 ì = ì =ï ï ï Þí í= =ï ï îïî Þ xx I e e dx 2 2 2 0 tan 2 p p = – ò Do đó: I I I e2 1 2 p = + = . Câu 10. x x I dx x 4 0 tan .ln(cos ) cos p = ò · Đặt t xcos= Þ dt xdxsin= – Þ t t I dt dt t t 1 12 2 2 11 2 ln ln = – =ò ò . Đặt u t dv dt t2 ln 1 ì = ï í = ïî Þ du dt t v t 1 1 ì =ï í ï = – î Þ I 2 2 1 ln2 2 = – – Câu 11. x x I dx e x 2 0 cos (1 sin2 ) p = + ò · x x I dx e x x 2 0 2 cos (sin cos ) p = + ò . Đặt x x x x x dxu du e e dx xdv v x xx x 2 cos (sin cos ) sin sin cos(sin cos ) ì ì – += =ï ïï ï Þí í ï ï= = ïï ++ îî x x x x x xdx xdx I x xe e e 2 22 0 0 0 cos sin sin sin . sin cos p pp Þ = + = + ò ò Đặt x x u x du xdx dx dv v e e 1 1 1 1 sin cos 1 ì ì= = ï ï Þ -í í= =ï ï î î Þ x x x xdx xdx I x e e e e 2 22 0 0 0 2 1 cos 1 cos sin . p pp p – – = + = +ò ò

37. Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân Trang 37 Đặt x x u x du xdx dx dv v e e 2 2 1 1 cos sin 1 ì ì= = – ï ï Þ -í í= =ï ï î î x x xdx I x I I e e e e e 22 2 0 0 2 2 1 1 sin 1 cos . 1 2 1 pp p p p – – – – Þ = + – = + – Þ = – +ò e I 2 1 2 2 p- – Þ = + Câu 12. I x x dx 2 0 sin ln(1 sin ) p = +ò · Đặt x u x du dx xdv xdx v x 1 cos ln(1 sin ) 1 sinsin cos ì + ïì = + =Þí í +=î ï = -î Þ x x I x x x dx dx x dx x x 22 2 2 0 0 0 cos 1 sin cos .ln(1 sin ) cos . 0 (1 sin ) 12 1 sin 1 sin 2 0 p p p p p- = – + + = + = – = – + +ò ò ò Câu 13. x x x I dx 6 64 4 sin cos 6 1 p p – + = + ò · Đặt t x= – Þ dt dx= – Þ t x t x t t x x I dt dx 6 6 6 64 4 4 4 sin cos sin cos 6 6 6 1 6 1 p p p p – – + + = = + + ò ò Þ x x x x I dx x x dx 6 64 4 6 6 4 4 sin cos 2 (6 1) (sin cos ) 6 1 p p p p – – + = + = + + ò ò x dx 4 4 5 3 cos4 8 8 p p – æ ö = +ç ÷ è ø ò 5 16 p = I 5 32 p Þ = . Câu 14. x xdx I 46 6 sin 2 1 p p – – = + ò · Ta có: x x x x x x xdx xdx xdx I I I 04 4 46 6 1 2 0 6 6 2 sin 2 sin 2 sin 2 1 2 1 2 1 p p p p – – = = + = + + + + ò ò ò + Tính x x xdx I 0 4 1 6 2 sin 2 1p – = + ò . Đặt x t= – t t t x t t x I dt dt dx 0 0 04 4 4 1 6 6 6 2 sin ( ) sin sin 2 1 2 1 2 1p p p – – – Þ = – = = + + + ò ò ò x x x xdx xdx I xdx x dx 4 46 6 6 6 4 2 0 0 0 0 sin 2 sin 1 sin (1 cos2 ) 42 1 2 1 p p p p Þ = + = = – + + ò ò ò ò

38. Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng Trang 38 x x dx 6 0 1 (3 4cos2 cos4 ) 8 p = – +ò 4 7 3 64 p – = Câu 15. e x I dx x x 3 3 1 ln 1 ln = + ò · Đặt dx t x x t tdt x 2 1 ln 1 ln 2= + Þ + = Þ = và x t3 2 3 ln ( 1)= – Þ t t t t I dt = dt t t t dt t t t 2 2 22 3 6 4 2 5 3 1 1 1 ( 1) 3 3 1 1 ( 3 3 ) – – + – = = – + -ò ò ò 15 ln2 4 = – Câu 16. 4 2 0 sin cos p = ò x x I dx x · Đặt u x du dx x dv dx v xx2 sin 1 coscos ì = ì = ï ï Þí í = =ï ï îî Þ x dx dx I x x x 4 44 0 0 0 2 cos cos 4 cos p pp p = – = -ò ò + dx xdx I x x 4 4 1 2 0 0 cos cos 1 sin p p = = – ò ò . Đặt t xsin= Þ dt I t 2 2 1 2 0 1 2 2 ln 2 2 21 + = = — ò Vậy: 2 1 2 2 ln 4 2 2 2 p + = – – Câu 17. x x I dx x 2 3 4 cos sin p p = ò · Ta có x x x2 3 1 2cos sin sin ¢æ ö = -ç ÷ è ø . Đặt u x x dv dx x3 cos sin ì = ï í = ïî Þ du dx v x2 1 2sin ì = ï í = – ïî Þ I = x x 2 2 4 1 1 . 2 sin p p – + dx x x 2 2 2 4 4 1 1 1 ( ) cot 2 2 2 2 2sin p p p p p p = – – -ò = 1 2 . Câu 18. x x I dx x 4 3 0 sin cos p = ò · Đặt: u x du dx x dv dx v x x3 2 sin 1 cos chúng tôi ì ì= = ï ï Þí í= = ï ïî î x dx I x x x 44 4 2 2 00 0 1 1 1 tan 2 4 2 4 22cos cos pp p p p Þ = – = – = -ò Câu 19. e I x dx 1 cos(ln ) p = ò · Đặt t t t x x e dx e dtln= Þ = Þ =

39. Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân Trang 39 Þ t I e tdt 0 cos p = ò = e 1 ( 1) 2 p – + (dùng pp tích phân từng phần). Câu 20. x I e x xdx 22 sin 3 0 .sin .cos p = ò · Đặt t x2 sin= Þ t I e t dt e 1 0 1 1 (1 ) 2 2 = – =ò (dùng tích phân từng phần) Câu 21. I x dx 4 0 ln(1 tan ) p = +ò · Đặt t x 4 p = – Þ I t dt 4 0 ln 1 tan 4 p pæ öæ ö = + -ç ÷ç ÷ è øè ø ò = t dt t 4 0 1 tan ln 1 1 tan p æ ö- +ç ÷ +è ø ò = dt t 4 0 2 ln 1 tan p +ò = dt t dt 4 4 0 0 ln2 ln(1 tan ) p p – +ò ò = t I4 chúng tôi p – Þ I2 ln2 4 p = Þ I ln2 8 p = . Câu 22. 4 3 2 1 ln(5 ) . 5- + – = ò x x x I dx x · Ta có: 4 4 2 1 1 ln(5 ) 5 . – = + – = +ò ò x I dx x x dx K H x . + x K dx x 4 2 1 ln(5 )- = ò . Đặt u x dx dv x2 ln(5 )ì = – ï í = ïî Þ K 3 ln4 5 = + H= x x dx 4 1 5 .-ò . Đặt t x5= – Þ H 164 15 = Vậy: I 3 164 ln4 5 15 = + Câu 23. dx x xx I ò + + = 2 0 2 2sin1 )sin( p · Ta có: x x I dx dx H K x x 22 2 0 0 sin 1 sin2 1 sin2 p p = + = + + +ò ò + x x H dx dx x x 2 2 20 0 1 sin2 2cos 4 p p p = = + æ ö -ç ÷ è ø ò ò . Đặt: u x du dx dx dv v x x2 1 tan 2cos 2 4 4 p p ì = ì =ïï ï= æ öÞí í = -æ ö ç ÷ï ï-ç ÷ è øîï è øî x H x x 22 0 0 1 tan ln cos 2 4 2 4 4 pp p p pæ öæ ö æ ö Þ = – + – =ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è øè ø

40. Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng Trang 40 + x K dx x 22 0 sin 1 sin2 p = +ò . Đặt t x 2 p = – Þ x K dx x 22 0 cos 1 sin2 p = +ò dx K x x 2 2 20 0 1 2 tan 1 2 4 2cos 4 p p p p æ ö Þ = = – =ç ÷ æ ö è ø-ç ÷ è ø ò K 1 2 Þ = Vậy, I H K 1 4 2 p = + = + . Câu 24. x x x x I dx x 3 2 0 (cos cos sin ) 1 cos p + + = + ò · Ta có: x x x x x I x dx x x dx dx J K x x 2 2 2 0 0 0 cos (1 cos ) sin .sin .cos . 1 cos 1 cos p p pæ ö+ + = = + = +ç ÷ ç ÷+ +è ø ò ò ò + Tính J x x dx 0 .cos . p = ò . Đặt u x dv xdxcos ì = í =î Þ J x x x dx x 0 0 0 ( .sin ) sin . 0 cos 2 p p p = – = + = -ò + Tính x x K dx x2 0 .sin 1 cos p = + ò . Đặt x t dx dtp= – Þ = – t t t t x x K dt dt dx t t x2 2 2 0 0 0 ( ).sin( ) ( ).sin ( ).sin 1 cos ( ) 1 cos 1 cos p p p p p p p p – – – – Þ = = = + – + + ò ò ò x x x x dx x dx K dx K x x x2 2 2 0 0 0 ( ).sin sin . sin . 2 21 cos 1 cos 1 cos p p p p p p + – Þ = = Þ = + + + ò ò ò Đặt t x dt x dxcos sin .= Þ = – dt K t 1 2 1 2 1 p – Þ = + ò , đặt t u dt u du2 tan (1 tan )= Þ = + u du K du u u 2 24 4 4 2 4 4 4 (1 tan ) . 2 2 2 41 tan p p p p p p p p p p – – – + Þ = = = = + ò ò Vậy I 2 2 4 p = – Câu 25. x x x x I dx x x 2 3 2 3 ( sin )sin (1 sin )sin p p + + = + ò · Ta có: x x x x dx I dx dx H K xx x x 2 2 22 3 3 3 2 2 3 3 3 (1 sin ) sin 1 sin(1 sin )sin sin p p p p p p + + = = + = + ++ ò ò ò + x H dx x 2 3 2 3 sin p p = ò . Đặt u x du dx dx dv v x x2 cot sin ì = ï ì = Þí í= = -îïî Þ H 3 p = + dx dx dx K x x x 2 2 2 3 3 3 2 3 3 3 3 2 1 sin 1 cos 2cos 2 4 2 p p p p p pp p = = = = – + æ ö æ ö + – -ç ÷ ç ÷ è ø è ø ò ò ò

41. Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân Trang 41 Vậy I 3 2 3 p = + – Câu 26. I x x x dx 0 2 2 (2 ) ln(4 )é ù= – + +ë ûò · Ta có: I x x dx 2 0 (2 )= -ò + x dx 2 2 0 ln(4 )+ò = I I1 2+ + I x x dx x dx 2 2 2 1 0 0 (2 ) 1 ( 1) 2 p = – = – – =ò ò (sử dụng đổi biến: x t1 sin= + ) + x I x dx x x dx x 2 2 22 2 2 2 0 2 0 0 ln(4 ) ln(4 ) 2 4 = + = + – + ò ò (sử dụng tích phân từng phần) 6ln2 4p= + – (đổi biến x t2tan= ) Vậy: I I I1 2 3 4 6ln2 2 p = + = – + Câu 27. x x I dx x 2 3 0 sin 1 cos2 p + = +ò · Ta có: x x x x I dx dx dx H K x x x 2 2 3 3 3 0 0 2 0 2 sin sin 1 cos2 2cos 2cos p p p + = = + = + +ò ò ò + x x H dx dx x x 3 3 0 2 0 2 1 22cos cos p p = =ò ò . Đặt u x du dx dx dv v x x2 tan cos ì = ï ì = Þí í= =îïî H x x xdx x3 33 00 0 1 1 1 tan tan ln cos ln2 2 2 22 3 2 3 p pp p p é ù ê úÞ = – = + = – ë ûò + x K dx xdx x 2 23 3 0 2 0 sin 1 tan 22cos p p = =ò ò [ ]x x 3 0 1 1 tan 3 2 2 3 p pæ ö = – = -ç ÷ è ø Vậy: ( ) I H K 1 1 3 1 1 ln2 3 ( 3 ln2) 2 2 3 6 22 3 p p pæ ö – = + = – + – = + -ç ÷ è ø Câu 28. 8 ln 13 = ò + x I dx x · Đặt u x dx du dx xdv v xx ln 2 11 ì ì= =ï ï Þí í= ï ï = ++ îî x I x x dx x 88 3 3 1 2 1ln 2 + Þ = + – ò + Tính x J dx x 8 3 1+ = ò . Đặt t x 1= + Þ t dt J dt t t 3 32 2 2 2 2 2 1 2 1 2 ln3 ln2 1 1 æ ö = = + = + -ç ÷ – -è ø ò ò I 6ln8 4ln3 2(2 ln3 ln2) 20ln2 6ln3 4Þ = – – + – = – – Câu 29. dxx x x I ò + = 2 1 3 2 ln 1 · Ta có: I xdx xx 2 3 1 1 1 ln æ ö = +ç ÷ è ø ò . Đặt u x dv dx xx3 ln 1 1 ( ) ì = ï í = + ïî

42. Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng Trang 42 Þ I x x x dx xx x 2 2 4 51 1 1 1 1 ln ln ln 4 4 æ ö æ ö- – = + – +ç ÷ ç ÷ è ø è ø ò = 21 63 1 ln2 ln 2 64 4 2 – + + Câu 30. I x x dx 3 0 1sin 1.= + +ò · Đặt t x 1= + Þ I t t tdt t tdt x xdx 2 2 2 2 2 1 1 1 .sin .2 2 sin 2 sin= = =ò ò ò Đặt du xdxu x v xdv xdx 2 42 cossin ì ì == Þí í = -= îî Þ I x x x xdx 22 2 1 1 2 cos 4 cos= – + ò Đặt u x du dx dv xdx v x 4 4 cos sin ì ì= = Þí í= =î î . Từ đó suy ra kết quả. Câu 31. e xx x x I e dx x 2 1 ln 1+ + = ò · Ta có: e e e x x x e I xe dx e xdx dx H K J x1 1 1 ln= + + = + +ò ò ò + e e x x e x e H xe dx xe e dx e e1 1 1 ( 1)= = – = -ò ò + e e ex xe x x e ee e K e xdx e x dx e dx e J x x1 1 1 1 ln ln= = – = – = -ò ò ò Vậy: e e e e I H K J e e e J J e1 1+ + = + + = – + – + = .

43. Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân Trang 43 TP6: TÍCH PHÂN HÀM SỐ ĐẶC BIỆT Câu 1. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và f x f x x4 ( ) ( ) cos+ – = với mọi xÎR. Tính: I f x dx 2 2 ( ) p p- = ò . · Đặt x = -t Þ f x dx f t dt f t dt f x dx 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( )( ) ( ) ( ) p p p p p p p p – – – – = – – = – = -ò ò ò ò Þ f x dx f x f x dx xdx 2 2 2 4 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) cos p p p p p p- – – é ù= + – =ë ûò ò ò Þ I 3 16 p = Chú ý: x x x4 3 1 1 cos cos2 cos4 8 2 8 = + + . Câu 2. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và f x f x x( ) ( ) 2 2cos2+ – = + , với mọi xÎR. Tính: I f x dx 3 2 3 2 ( ) p p- = ò . · Ta có : I f x dx f x dx f x dx 3 3 02 2 0 3 3 2 2 ( ) ( ) ( ) p p p p – – = = +ò ò ò (1) + Tính : I f x dx 0 1 3 2 ( ) p – = ò . Đặt x t dx dt= – Þ = – Þ I f t dt f x dx 3 3 2 2 1 0 0 ( ) ( ) p p = – = -ò ò Thay vào (1) ta được: ( )I f x f x dx x x dx 3 3 3 2 2 2 0 0 0 ( ) ( ) 2 1 cos2 2 cos p p p é ù= – + = + =ë ûò ò ò xdx xdx 3 2 2 0 2 2 cos cos p p p é ù ê ú = -ê ú ê ú ê úë û ò ò x x2 0 3 22 sin sin 6 2 p p p é ù ê ú = – =ê ú ê ú ê úë û Câu 3. x I dx x x 4 2 4 sin 1 p p – = + + ò

44. Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng Trang 44 · I x xdx x xdx I I 4 4 2 1 2 4 4 1 sin sin p p p p – – = + – = -ò ò + Tính I x xdx 4 2 1 4 1 sin p p – = +ò . Sử dụng cách tính tích phân của hàm số lẻ, ta tính được I1 0= . + Tính I x xdx 4 2 4 sin p p – = ò . Dùng pp tích phân từng phần, ta tính được: I2 2 2 4 p= – + Suy ra: I 2 2 4 p= – . Câu 4. ( ) ( ) 5 2 3 2 1 1 1 x x e x x I dx e x x – + – = – + – ò · ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 5 5 2 2 2 2 3 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 – + – – + – + – – = = = + – + – – + – – + -ò ò ò ò x x x x x x x e x x e x x e x e x I dx dx dx dx e x x e x x e x x ( ) ( )5 5 2 2 5 2 1 2 1 3 2 1( 1 1) 1( 1 1) – – = + = + – – + – – +ò ò x x x x e x e x x dx dx x e x x e x Đặt ( )2 1 1 1 2 1 – = – + Þ = – x x e x t e x dt dx x 5 2 52 1 5 22 1 2 12 2 1 3 3 2ln 3 2ln 11 + + + + Þ = + Þ = + = + ++ ò e e e e I dt I t t ee Câu 5. x I dx x x x 24 2 0 ( sin cos ) p = + ò . · x x x I dx x x x x 4 2 0 cos . cos ( sin cos ) p = + ò . Đặt x u x x x dv dx x x x 2 cos cos ( sin cos ) ì =ïï í =ï +ïî Þ x x x du dx x v x x x 2 cos sin cos 1 sin cos ì + =ïï í -ï = ï +î Þ x dx I dx x x x x x 44 2 0 0 cos ( sin cos ) cos pp = – + + ò = 4 4 p p – + .

Recommended

Tổng Hợp Bài Tập Pascal Có Giải, Từ Dễ Đến Khó

Pascal là ngôn ngữ khá cũ, trong thực tế nó không còn được sử dụng phổ biến như trước nữa. So với các ngôn ngữ lập trình script hiện đại thì Pascal khá dài dòng, mức độ trừu tượng cao và cách code khá giống với ngôn ngữ lập trình C. Hầu hết các chương trình C đều có thể dịch được sang Pascal mà chỉ bị thay đổi về cú pháp chứ không làm thay đổi cấu trúc. Mà C thì là một trong những ngôn ngữ lập trình rất phổ biến, do đó nắm được Pascal bạn sẽ tiếp cận C tốt hơn. Nó cũng buộc bạn phải luôn nghĩ về kiểu dữ liệu, điều này sẽ giúp các lập trình viên mới học được một thói quen tuyệt vời khi code.

Bài 1: In số chẵn ra màn hình

Viết chương trình nhập vào 1 số N nguyên dương và in ra màn hình các số chẵn từ 0 đến N, sao cho mỗi số chiếm 4 vị trí và 1 dòng có 15 số.

Lời giải:

uses crt; {khai bao' thu vien crt} var n,i,dem:integer; BEGIN clrscr;{ cau lenh xoa man hinh}; write('Nhap n: ');readln(n); dem:=0; for i:=1 to n do begin if i mod 2=0 then begin write(i:4); dem:=dem+1; end; if dem=15 then begin dem:=0; writeln;{in duoc 15 so thi xuong dong}; end; end; readln END.

Bài 2: Tính, in tổng, hiệu, tích, thương của 2 số

Nhập 2 số nguyên dương a và b. Sau đó:

Tính và in ra màn hình tổng, hiệu, tích thương và ước chung lớn nhất của 2 số đó.

Lời giải:

uses crt; var a,b,tg,i,tong:integer; function tinh(x,y:integer):integer; begin tg:= x mod y; if tg=0 then tinh:=y else tinh:=tinh(y,tg); end; BEGIN clrscr; write('Nhap a: ');readln(a); write('Nhap b: ');readln(b); tong:=1; for i:=2 to abs(a+b) do if (abs(a+b) mod i =0) then tong:=tong+i; writeln('Tong 2 so la: ',a+b); writeln('Hieu 2 so la: ',a-b); writeln('Tich 2 so la: ',a*b); writeln('Thuong 2 so la: ',a/b:0:4); writeln('UCLN 2 so la: ',tinh(a,b)); writeln('Tong cac uoc cua ',a+b,' la: ',tong); readln END.

Bài 3: Kiểm tra xem tam giác có cân, vuông không

Viết chương trình nhập vào độ dài các cạnh của tam giác rồi tính chu vi, diện tích, 3 đường cao của tam giác. Kiểm tra xem tam giác đó có phải là tam giác cân hay tam giác vuông không.

Lời giải:

uses crt; var a,b,c,cv,dt,p:real; BEGIN clrscr; write('Nhap do dai canh a: ');readln(a); write('Nhap do dai canh b: ');readln(b); write('Nhap do dai canh c: ');readln(c); cv:=a+b+c; p:=(a+b+c)/2; dt:=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)); writeln('Chu vi tam giac la: ',cv:0:4); writeln('Dien tich tam giac la: ',dt:0:4); writeln('Duong cao canh thu 1 la: ',dt*2/a:0:4); writeln('Duong cao canh thu 2 la: ',dt*2/b:0:4); writeln('Duong cao canh thu 3 la: ',dt*2/c:0:4); if (a=b) or (a=c) or(b=c) then writeln('Tam giac can'); if (a*a=b*b+c*c) or (b*b=a*a+c*c) or (c*c=b*b+a*a)then writeln('Tam giac vuong'); readln END.

Bài 4: Giải phương trình bậc 2

Viết chương trình để giải phương trình bậc 2.

Lời giải:

Bài 5: Kiểm tra số chẵn lẻ, nguyên tố, hoàn hảo

Nhập vào 1 số nguyên gồm 4 chữ số:

Kiểm tra tình chẵn lẻ

Kiểm tra xem có phải là số nguyên tố không

Kiểm tra xem có phải là số hoàn hảo không

Lời giải:

uses crt; var n,i:integer;ok:boolean; BEGIN clrscr; write('Nhap n: ');readln(n); if n mod 2=0 then writeln('So ',n,' la so chan') else writeln('So ',n,' la so le'); if n<2 then write('So ',n,' khong la so nguyen to') else begin ok:=true; for i:=2 to trunc(sqrt(n)) do if n mod i=0 then ok:=false; if ok then writeln('So ',n,' la so nguyen to') else writeln('So ',n,' khong la so nguyen to'); end; readln END.

Có thể thay vòng lặp “for i:=2 to trunc(sqrt(n)) do” bằng lệnh chúng tôi đó ta không cần biến ok nữa.

Bài 6: Tính ăn bậc n của một số

Nhập 2 số n, a. Hãy tính căn bậc n của a:

Lời giải:

Bài 7: Tỉnh tổng các chữ số của một số

Nhập số bất kỳ có 3 chữ số rồi tính tổng các chữ số của số đó.

Lời giải:

uses crt; var a:integer;tong:byte; BEGIN clrscr; write('Nhap 1 so co 3 chu so: ');readln(a); tong:= a mod 10; a:=a div 10; tong:=tong+a mod 10; a:=a div 10; tong:=tong+a mod 10; writeln('Tong cac chu so do la: ',tong); readln END.

Bài 8: Hoán vị 2 số

Lời giải:

Bài 9: In các bội của 3 và 5

Nhập số nguyên dương n, in ra tổng các số nguyên dương từ 1 đến n là bội của 3 hoặc 5.

Lời giải:

Bài 10: In tổng các chữ số của một số

Nhập n bất kỳ sau đó in ra tổng các chữ số của n.

Lời giải:

Bài 11: Kiểm tra số nguyên tố

Nhập vào một số n bất kỳ và kiểm tra xem n có phải là số nguyên tố không.

Code mẫu:

Bài 12: Kiểm tra số hoàn hảo

Nhập 1 số nguyên dương n và kiểm tra xem n có phải là số hoàn hảo không.

Lời giải:

Số hoàn hảo là số có tổng các ước (ngoại trừ nó) bằng chính nó. Ví dụ, số 6 có các ước là 1, 2, 3; số 28, 496 cũng là các số hoàn hảo.

Code mẫu:

uses crt; var n:longint;tong,i:integer; BEGIN clrscr; write('Nhap so nguyen duong n: ');readln(n); tong:=0; for i:=1 to n div 2 do if n mod i=0 then tong:=tong+i; if tong=n then writeln(n,' la so hoan hao') else writeln(n,'khong la so hoan hao'); readln END.

Bài 13: Kiểm tra số chính phương

Nhập một số nguyên dương n bất kỳ và kiểm tra xem n có phải là số chính phương không.

Code mẫu:

uses crt; var n:longint; BEGIN clrscr; write('Nhap so nguyen duong n: ');readln(n); if sqrt(n)=trunc(sqrt(n)) then writeln(n,' la so chinh phuong') else writeln(n,' khong la so chinh phuong'); readln END.

Bài 14: Đếm nguyên âm, số trong một chuỗi

Nhập vào một chuỗi ký tự và kiểm tra xem chuỗi có bao nhiêu nguyên âm, bao nhiêu số?

Code mẫu:

uses crt; var s:string;dem1,dem2,i:byte; BEGIN clrscr; write('Nhap 1 chuoi: ');readln(s); dem1:=0;dem2:=0; for i:=1 to length(s) do begin if s[i] in ['a','e','i','o','u','y','A','E','I','O','U','Y'] then dem1:=dem1+1; if s[i] in ['0','1','2','3','4','5','6','7','8','9'] then dem2:=dem2+1; end; writeln('Trong chuoi ',s,' co ',dem1,' nguyen am va co ',dem2,' ki tu so'); readln END.

Bài 15: Kiểm tra 3 số có là độ dài cạnh tam giác không

Nhập 3 số a, b, c bất kỳ. Kiểm tra xem 3 số có thể là độ dài 3 cạnh của một tam giác hay không và thông báo ra màn hình.

Code mẫu:

Bài 16: Đếm các số theo điều kiện và tính tổng

Code mẫu:

Bài 17: Tìm giá trị lớn nhất của 4 số

Nhập 4 số a, b, c, d. Hãy tìm giá trị lớn nhất của chúng và gán giá trị đó cho biến Max.

Code mẫu:

Var Max, a, b, c, d: Real; BEGIN Writeln ('Nhap gia tri cua 4 so: '); Write ('a = ') ; Readln (a); Write ('b = ') ; Readln (b); Write ('c = ') ; Readln (c); Write ('d = ') ; Readln (d); Max:= a; If Max < b Then Max:= b; If Max < c Then Max:= c; If Max < d Then Max:= d; Writeln ('Gia tri lon nhat la: ', Max); Readln; END.

Bài 18: Xem ngày là thứ mấy trong tuần

Đọc ngày tháng năm, sau đó viết ra màn hình đó là ngày thứ mấy trong tuần.

Code mẫu:

Var Thu, Ngay, Thang: Byte; Nam: Integer; BEGIN Write ('Doc Ngay Thang Nam: '); Readln ( Ngay, Thang, Nam ); Nam:= 1900 + (Nam mod 1900); If Thang < 3 Then Begin Thang:= Thang + 12; Nam:= Nam - 1; End; Thu:= Abs (Ngay + Thang * 2 + (Thang + 1) * 3 div 5 + Nam + Nam div 4) mod 7; Case Thu Of 0: Writeln ('Chu Nhat'); 1: Writeln ('Thu Hai'); 2: Writeln ('Thu Ba'); 3: Writeln ('Thu Tu'); 4: Writeln ('Thu Nam'); 5: Writeln ('Thu Sau'); 6: Writeln ('Thu Bay'); End; Readln; END.

Bài 19: In phiếu báo điểm

Viết chương trình: Nhập số báo danh, nhập điểm văn, toán, Anh. In ra màn hình dưới dạng:

Phiếu Báo điểm:

Số báo danh:

Điểm văn:

Điểm toán:

Điểm ngoại ngữ:

Tổng số điểm:

Bạn không trúng tuyển: Nếu Tổng số điểm <20.

Bài 20: Nhập 2 số thực và tính phép tính theo yêu cầu

Viết chương trình nhập hai số thực. Sau đó hỏi phép tính muốn thực hiện và in kết quả của phép tính đó.

Nếu là “+”, in tổng hai số lên màn hình.

Nếu là “-“, in hiệu hai số lên màn hình.

Nếu là “/”, in thương hai số lên màn hình.

Nếu là “*”, in tích hai số lên màn hình.

Code mẫu:

Uses Crt; Var a, b, kq: Real; Pt: Char; BEGIN Clrscr; Write ('a ='); Readln(a); Write ('b ='); Readln(b); Write ('Phep tinh thuc hien la (+ - * /): '); Readln(Pt); If Pt = '+' Then kq := a + b; If Pt = '-' Then kq := a - b; If Pt = '*' Then kq := a * b; If Pt = '/' Then kq := a / b; Write (a, pt, b, '=', kq); Readln; END.

Một Số Khái Niệm Về Giải Tích Không Trơn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ THÙY

MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ GIẢI TÍCH KHÔNG TRƠN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ THÙY

MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ GIẢI TÍCH KHÔNG TRƠN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học

ThS. Bùi Ngọc Mười

Hà Nội – 2017

Lời cảm ơn

Trước hết cho tôi bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo Bùi Ngọc Mười đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu đề tài. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo là giảng viên khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tận tình chỉ dạy, trang bị cho tôi những kiến thức chuyên môn cần thiết trong quá trình học tập tại trường. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân, bạn bè đã động viên khuyến khích tôi hoàn thành tốt đề tài nghiên cứu này. Trong quá trình nghiên cứu đề tài không tránh khỏi những sai sót. Vì vậy tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của thầy cô và bạn đọc để bài viết của tôi được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2017 Sinh viên

Nguyễn Thị Thùy

i

Lời cam đoan

Khóa luận tốt nghiệp ” Một số khái niệm về giải tích không trơn ” được hoàn thành do sự cố gắng, nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân cùng với sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình của thầy Bùi Ngọc Mười. Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này không trùng lặp với kết quả của các tác giả khác. Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2017 Sinh viên

Nguyễn Thị Thùy

ii

Ký hiệu toán học

R

Tập tất cả các số thực.

Rn

Tập tất cả các vectơ có n chiều.

H

Không gian Hilbert thực.

B

Hình cầu đóng có tâm tại x bán kính r = 1.

bd S

Giới hạn của S .

cl S

Bao đóng S .

co S

Bao lồi của tập nón lồi S .

coS

Bao đóng S .

dom f

Miền hữu hiệu của f .

epi f

Trên đồ thị của f .

int S

Phần trong của S .

ProjS (u)

Phép chiếu của u trên S .

∂ conv f (x)

Dưới vi phân của f tại x.

∂ C f (x)

Gradient suy rộng của f tại x.

iii

2 Nón tiếp tuyến và nón pháp tuyến 2.1 Nón tiếp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Nón pháp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Nón pháp tuyến Clarke . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Nón pháp tuyến xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Nón pháp tuyến Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Nón pháp tuyến cơ sở (nón pháp tuyến Mordukhovich) 30

Tài liệu tham khảo

36

iv

MỞ ĐẦU Giải tích không trơn nghiên cứu những hàm không nhất thiết khả vi theo nghĩa thông thường. Các cố gắng giảm nhẹ giả thiết về tính khả vi liên tục của các hàm được bắt nguồn từ các nhu cầu trong kĩ thuật sớm hơn trong toán học. Thực tiễn đòi hỏi một lý thuyết tối ưu mà các phương pháp của nó có khả năng áp dụng cho các bài toán thường gặp, ở đó các điều kiện về tính khả vi nói chung là bị phá vỡ. Giải tích không trơn ra đời nhằm đáp ứng yêu cầu đó. Tương tự thuật ngữ “phi tuyến” trong toán học có nghĩa là không nhất thiết tuyến tính, khái niệm “không trơn” cũng ngụ ý rằng không nhất thiết khả vi liên tục. Có thể xem giả thiết không trơn là sự mở rộng của giải tích lồi và giải tích cổ điển, bởi vì khi áp dụng cho các hàm lồi hoặc khả vi ta luôn có được kết quả quen biết. Những công trình đầu tiên nghiên cứu một cách hệ thống các hàm không trơn (không lồi) thuộc về Clarke (xem [2]). Cho đến nay, lý thuyết của Clarke được xem là hoàn chỉnh hơn cả. Ngoài những công trình cơ bản của Clarke, lý thuyết này còn nhận được sự đóng góp của một loạt các nhà toán học khác: Rockafellar, Aubin, Lebourg, Ioffe, Hiriart-Urruty, Goldstein, Thibault,… Hai lớp hàm quan trọng được xét ở đây là lớp hàm lồi và lớp hàm Lipschitz.

Khóa luận gồm 2 chương. Chương 1. “Dưới vi phân”. Chương 2.”Nón tiếp tuyến và nón pháp tuyến”. Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên các vấn đề trong khóa luận vẫn chưa được trình bày sâu sắc và không 1

thể tránh khỏi có những sai sót. Ngoài ra, một số kết quả (mệnh đề, định lí, hệ quả) được thừa nhận mà bỏ qua chứng minh. Tôi rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn để bản khóa luận được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn!

2

Chương 1 Dưới vi phân

1.1

Một số khái niệm cơ bản Cho X là không gian vectơ tôpô thực hoặc không gian vectơ chuẩn

3

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THÙY

(i) Tập S được gọi là lồi nếu với mọi cặp phần tử (x, y) của S ta có [x, y] = {αy + (1 − α)x : α ∈ [0, 1]} ⊂ S. (ii) Bao lồi của tập nón lồi S được định nghĩa là giao của tất cả các tập chứa S . Kí hiệu: co S ( n ) n X X co S = αi xi : n ∈ N , αi = 1 , α i ≥ 0 , x i ∈ S . i=1

i=1

(iii) Bao đóng của co S được gọi là bao lồi đóng. Kí hiệu: coS. Định nghĩa 1.2. (xem [1]) Cho f là một hàm giá trị thực mở rộng, f : X → R ∪ {+∞} . Ta gọi các tập dom f = {x ∈ X : f (x) < +∞} và epi f = {(x, r) ∈ X × R : f (x) ≤ r} , tương ứng là miền hữu hiệu của f và trên đồ thị của f . (i) f được gọi là hàm lồi trên tập lồi mở Ω ⊂ X nếu f (αx + (1 − α)y) ≤ αf (x) + (1 − α)f (y) ∀x, y ∈ Ω , ∀α ∈ [0, 1] . Khi Ω là không gian X ta nói f là hàm lồi.

4

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THÙY

(ii) f được gọi là nửa liên tục dưới tại x ∈ dom f nếu f (x) ≤ lim inf f (x). x→x

Ta nói f là nửa liên tục dưới trên X nếu nó nửa liên tục dưới tại mọi điểm thuộc X.

1.2

Từ đạo hàm đến dưới vi phân Trong phần này, ta bắt đầu với một số khái niệm cổ điển của vi

phân và chúng ta sẽ cố gắng tối ưu hóa các bài toán để giải thích sự phát triển của khái niệm vi phân từ đạo hàm Fréchet đến khái niệm gradient suy rộng. Cho X là không gian vectơ tôpô thực, f : X → R ∪ {+∞} là hàm giá trị thực mở rộng và x ∈ X. (i) Đạo hàm theo hướng của f tại x theo hướng v ∈ X được xác định là f 0 (x; v) = lim δ −1 [f (x + δv) − f (x)] δ↓0

(1.1)

nếu giới hạn tồn tại. (ii) Ta nói f là khả vi Gâteaux tại x nếu tồn tại f 0 (x; v) với mọi v ∈ X và f 0 (x; ·) là tuyến tính liên tục. Khi đó tồn tại duy nhất một phần tử fG0 (x) ∈ X ∗ (gọi là đạo hàm Gâteaux) thỏa mãn hfG0 (x), vi = f 0 (x; v), ∀v ∈ X.

5

(1.2)

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THÙY

6

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2.1

NGUYỄN THỊ THÙY

Bài toán cực tiểu không ràng buộc

Hầu hết trong các bài toán tối ưu, ta bắt đầu xét bài toán cực tiểu như sau min f (x) : x ∈ S, ở đó f : S → R xác định trên S, với S là một tập con của không gian vectơ thực X. Ta định nghĩa hàm f như sau f (x) = +∞ với x ∈ / S, khi đó cực tiểu của hàm f trên S tương đương với cực tiểu của hàm f mới trên X. Do đó, không mất tính tổng quát ta xét trường hợp S = X. Cho hàm f : X → R và x là một điểm trong X. Ta xét bài toán cực tiểu không ràng buộc sau

(U P )

Định nghĩa 1.3. (xem [1]) (i) f có cực tiểu địa phương tại x khi và chỉ khi tồn tại một lân cận V của x sao cho f (x) ≤ f (x) , ∀x ∈ V. (ii) f có cực tiểu toàn cục tại x trên X khi và chỉ khi f (x) ≤ f (x) , ∀x ∈ X.

7

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THÙY

(1.3)

(1.4)

α , với mỗi x ∈ x + αB. Ta có Chọn ε ∈ (0, α) và δ ∈ 0, ε

x + δ(x − x) ∈ x + δεB ⊂ x + αB, thay vào (1.4) ta được f (x + δ(x − x)) − f (x) ≥ 0, α với mọi δ ∈ 0, và với mọi x ∈ x + εB. Do đó, f khả vi Gâteaux tại ε x, giới hạn

tồn tại hay hfG0 (x), x − xi ≥ 0 ∀x ∈ x + εB. Vậy định lí đã được chứng minh. Định nghĩa 1.4. (xem [1]) Cho f là một hàm liên tục lồi trên X và lấy x ∈ X. Ta định nghĩa dưới vi phân của f tại x như sau ∂ conv f (x) = {ζ ∈ X ∗ : hζ, vi ≤ f 0 (x, v), ∀v ∈ X} . 8

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THÙY

Cụ thể là ∂ conv f (x) = {ζ ∈ X ∗ : hζ, x − xi ≤ f (x) − f (x), ∀x ∈ X} .

(1.5)

(1.6)

Chứng minh. Do f là hàm lồi nên cực tiểu địa phương là cực tiểu toàn cục. Do đó x là một cực tiểu toàn cục của f ta có f (x) ≤ f (x) ∀x ∈ X ⇔ 0 = h0, x − xi ≤ f (x) − f (x) ⇔ 0 ∈ ∂ conv f (x).

Vậy mệnh đề đã được chứng minh. Mệnh đề 1.2. (xem [1, Proposition 1.3, p. 7]) Nếu f là một hàm liên tục lồi và khả vi Gâteaux tại x thì ∂ conv f (x) = {fG0 (x)}. Chứng minh. 9

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THÙY

Lấy ζ là một phần tử của ∂ conv f (x). Do đó, hζ, vi ≤ f 0 (x; v) ∀v ∈ X. Mặt khác, từ vi phân Gâteaux của f tại x ta có f 0 (x; v) = hfG0 (x), vi ∀v ∈ X. Do đó hζ, vi ≤ hfG0 (x), vi ∀v ∈ X. Vậy ζ = fG0 (x) hay ∂ conv f (x) = {fG0 (x)}. Vậy mệnh đề đã được chứng minh.

1.2.2

Bài toán cực tiểu ràng buộc

Ta xét bài toán cực tiểu ràng buộc sau

(CP )

ở đó f là hàm liên tục lồi và S là một tập lồi đóng trong X. Ta định nghĩa nón tiếp xúc và nón pháp tuyến cho tập lồi đóng là T conv (S; x) = cl [R+ (S − x)] = cl {λ(s − x) : λ ≥ 0, s ∈ S} và N conv (S; x) là nón cực âm của T conv (S; x), nghĩa là N conv (S; x) = {ζ ∈ X ∗ : hζ, vi ≥ 0, ∀v ∈ T conv (S; x)}. 10

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THÙY

1.3

Dưới vi phân Giả sử X là không gian vectơ định chuẩn và f : X → R là hàm

1.3.1

Gradient suy rộng (dưới vi phân Clarke)

Ta thấy rằng hàm dưới vi phân liên tục lồi cũng được định nghĩa thông qua đạo hàm theo hướng f 0 (x, ·). Tương tự như vậy, ta định nghĩa gradient suy rộng bằng cách sử dụng một khái niệm mới của đạo hàm khả vi. Trong phần trước ta đã biết đạo hàm theo hướng f 0 (x, ·) mất hầu hết các đặc trưng của nó và nó không thích hợp để dùng xác định gradient suy rộng. Khái niệm mới của đạo hàm theo hướng còn được gọi là đạo hàm theo hướng suy rộng (xem [2]) và được định nghĩa như sau f 0 (x; v) = lim sup t−1 [f (x + tv) − f (x)]. x→x t↓0

11

(1.7)

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THÙY

Gradient suy rộng của f tại x được định nghĩa như sau ∂ C f (x) = {ζ ∈ X ∗ : hζ, vi ≤ f 0 (x; v), ∀v ∈ X}.

(1.8)

Mệnh đề 1.3. (xem [1, Proposition 1.5, p.11]) (1) Hàm v 7→ f 0 (x; v) là hữu hạn, thuần nhất dương, dưới cộng tính, và thỏa mãn 0

f (x; v) ≤ k kvk , ∀v ∈ X.

(1.9)

(2) Với mỗi α ∈ R ta có (αf )0 (x; v) = αf 0 (x; v) và ∂ C (αf )(x) = α∂ C f (x). (3) Nếu f có cực tiểu hoặc cực đại địa phương tại x thì 0 ∈ ∂ C f (x). (4) Gradient suy rộng ∂ C f (x) là tập lồi khác rỗng, w∗ -tập con compact trong X ∗ thì ∂ C f (x) ⊂ kB∗ . (5) Nếu xn và ζn tương ứng là hai dãy trong X và X ∗ sao cho ζn ∈ ∂ C f (xn ) và xn hội tụ mạnh đến x và ζn hội tụ yếu đến ζ, khi đó ta có ζ ∈ ∂ C f (x). (6) Định lí giá trị trung bình: Nếu f là Lipschitz địa phương trên một lân cận mở chứa đoạn [x, y], khi đó tồn tại z ∈ [x, y] và ξ ∈ ∂ C f (z) thỏa mãn f (y) − f (x) = hξ, y − xi. (7) Quy tắc hàm hợp: Cho F : H → Rn là Lipschitz địa phương tại x và cho g : Rn → R là Lipschitz địa phương tại F (x). Khi đó hàm g ◦ F là Lipschitz địa phương tại x và 12

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THÙY

f (x + tλv) − f (x) tλ

= λf 0 (x; v). Suy ra hàm f 0 (x; ·) thuần nhất dương.

13

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THÙY

Bây giờ ta kiểm tra tính dưới cộng tính. f 0 (x; v + ω) = lim sup x→x t↓0

= f 0 (x; ω) + f 0 (x; v), bởi vì x + tv → x khi x → x và t ↓ 0. Do đó f 0 (x; ·) dưới cộng tính. (2) Cho α ≥ 0, ta kiểm tra được (αf )0 (x; v) = αf 0 (x; v) do đó ∂ C (αf )(x) = α∂ C f (x) ∀α ≥ 0. Khi α = −1 thì ∂ C (−f )(x) = −∂ C f (x). Do đó (−f )0 (x; v) = f 0 (x; −v). Thật vậy, từ định nghĩa của đạo hàm theo hướng suy rộng ta có (−f )0 (x; v) = lim sup t−1 [−f (x + tv) − (−f )(x)] x→x t↓0

= lim sup t−1 [f (x0 − tv) − f (x0 )] x0 →x t↓0

= f 0 (x; −v). Với mỗi ζ ∈ ∂ C (−f )(x), ∀v ∈ X ta có 14