Giải SBT Toán 8 Bài 12: Hình vuông
Bài 144 trang 98 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác AD. Gọi M, N là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AB, AC. Chứng minh rằng tứ giác AMDN là hình vuông.
Lời giải:
Xét tứ giác AMDN, ta có: ∠(MAN) = 1v (gt)
DM ⊥ AB (gt)
⇒∠(AMD) = 1v
DN ⊥ AC (gt) ⇒∠(AND) = 1v
Suy ra tứ giác AMDN là hình chữ nhật
(vì có ba góc vuông), có đường chéo AD là đường phân giác của A
Vậy hình chữ nhật AMDN là hình vuông
Bài 145 trang 98 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông ABCD. Trên AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự các điểm E, K, P, Q sao cho AE = BK = CP = DQ. Tứ giác EKPQ là hình gì? Vì sao?
Lời giải:
Ta có: AB = BC = CD = DA (gt)
AE = BK = CP = DQ (gt)
Suy ra: EB = KC = PD = QA
* Xét ΔAEQ và ΔBKE,ta có:
AE = BK (gt)
QA = EB (chứng minh trên)
Suy ra: ΔAEQ = ΔBKE (c.g.c) ⇒ EQ = EK (1)
* Xét ΔBKEvà ΔCPK,ta có: BK = CP (gt)
EB = KC ( chứng minh trên)
Suy ra: ΔBKE = ΔCPK (c.g.c) ⇒ EK = KP (2)
* Xét ΔCPK và ΔDQP,ta có: CP = DQ (gt)
DP = CK ( chứng minh trên)
Suy ra: ΔCPK = ΔDQP (c.g.c) ⇒ KP = PQ (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: EK = KP = PQ = EQ
Hay tứ giác EKPQ là hình thoi.
Mặt khác: ΔAEQ = ΔBKE
⇒ ∠(AQE) = ∠(BKE)
Mà ∠(AQE) + ∠(AEQ) = 90 o
⇒ ∠(BEK) + ∠(AEQ) = 90 o
⇒ ∠(BEk) + ∠(QEK) + ∠(AEQ ) = 180 o
Vậy tứ giác EKPQ là hình vuông.
Bài 146 trang 98 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC, điểm I nằm giữa B và C. Qua I vẽ đường thẳng song song với AB, cắt AC ở H. Qua I vẽ đường thẳng song song với AC, cắt AB ở K.
a. Tứ giác AHIK là hình gì?
b. Điểm I ở vị trí nào trên BC thì tứ giác AHIK là hình thoi
c. Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác AHIK là hình chữ nhật.
Lời giải:
a. Ta có: IK
Lại có: IH
Vậy tứ giác AHIK là hình bình hành.
b. Hình bình hành AHIK là hình thoi nên đường chéo AI là phân giác (A.)
Ngược lại AI là phân giác của ∠A. Hình bình hành AHIK có đường chéo là phân giác của một góc nên hình bình hành AHIK là hình thoi.
Vậy nếu I là giao điểm của đường phân giác của ∠A với cạnh BC thì tứ giác AHIK là hình thoi.
c. Hình bình hành AHIK là hình chữ nhật
⇒ ∠A = 90 o suy ra ΔABC vuông tại A. Ngược lại ΔABC có ∠A = 90 o
Suy ra hình bình hành AHIK là hình chữ nhật
Vậy nếu ΔABC vuông tại A thì tứ giác AHIK là hình chữ nhật.
Bài 147 trang 98 SBT Toán 8 Tập 1: Hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi H là giao điểm của AQ và DP, gọi K là giao điểm của CP và BQ. Chứng minh rằng PHQK là hình vuông.
Lời giải:
* Xét tứ giác APQD, ta có: AB
AP = AB (gt)
QD = 1/2 CD (gt)
Suy ra: AP = QD
Hay tứ giác APQD là hình bình hành.
Lại có: ∠A = 90 o
Suy ra tứ giác APQD là hình chữ nhật.
Mà AD = AP = 1/2 AB
Vậy tứ giác APQD là hình vuông.
⇒ AQ ⊥ PD (t/chất hình vuông) ⇒ ∠(PHQ) = 90 o (1)
HP = HQ (t/chất hình vuông)
* Xét tứ giác PBCQ, ta có: PB
PB = 1/2 AB (gt)
CQ = 1/2 CD (gt)
Suy ra: PB = CQ nên tứ giác PBCQ là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
∠B = 90 o suy ra tứ giác PBCQ là hình chữ nhật
PB = BC ( vì cùng bằng AD = 1/2 AB)
Vậy tứ giác PBCQ là hình vuông
⇒ PC ⊥ BC (t/chat hình vuông) ⇒ ∠(PKQ) = 90 o (2)
PD là tia phân giác ∠(APQ) ( t/chất hình vuông)
PC là tia phân giác ∠(QPB) (t/chất hình vuông)
Suy ra: PD ⊥ PC (t/chất hai góc kề bù) ⇒ ∠(HPK) = 90 o (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra tứ giác PHQK là hình vuông.
Bài 148 trang 98 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh BC lấy các điểm H, G sao cho BH = BG = GC. Qua H và G kẻ các đường vuông góc với BC chúng cắt AB, AC theo thứ tự ở E và F. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?
Lời giải:
Vì ΔABC vuông cân tại A nên ∠B = ∠C = 45 o
Vì ΔBHE vuông tại H có ∠B = 45 o nên ΔBHE vuông cân tại H.
Suy ra HB = HE
Vì ΔCGF vuông tại G, có ∠C = 45 o nên ΔCGF vuông cân tại G
Suy ra GC = GF
Tacó: BH = BG = GC (gt)
Suy ra: HE = HG = GF
Vì EH
Lại có ∠(EHG) = 90 o nên HEFG là hình chữ nhật.
Mà EH = HG (chứng minh trên).
Vậy HEFG là hình vuông.
Bài 149 trang 98 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AD lấy điểm F, trên cạnh DC lấy điểm E sao cho AF = DE. Chứng minh rằng AE = BF và AE ⊥ BF.
Lời giải:
Xét ΔABF và ΔDAE,ta có: AB = DA (gt)
∠(BAF) = ∠(ADE) = 90 o
AF = DE (gt)
Suy ra: ΔABF = ΔDAE (c.g.c)
Gọi H là giao điểm của AE và BF.
Vậy AE ⊥ BF
Bài 150 trang 98 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình chữ nhật có hai cạnh kề không bằng nhau. Chứng minh rằng các tia phân giác của các góc của hình chữ nhật đó cắt nhau tạo thành một hình vuông.
Lời giải:
Gọi giao điểm các đườngphân giác của các góc: A, B, C, D theo thứ tự cắt nhau tại E, H, F, G.
* Trong ΔADG , ta có:
⇒ ΔGAD vuông cân tại G.
⇒ ∠(AGD) = 90 o và GD = GA
Trong ΔBHC, ta có:
⇒ ΔHBC vuông cân tại H.
⇒ ∠(BHC) = 90 o và HB = HC
⇒ ΔFDC vuông cân tại F ⇒ ∠F = 90 o và FD = FC
Nên tứ giác EFGH là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông).
Xét ΔGAD và ΔHBC,ta có: ∠(GAD) = ∠(HBC) = 45 o
AD = BC (tính chất hình chữ nhật)
∠(GDA) = ∠(HCB) = 45 o
Suy ra: ΔGAD = ΔHBC
FD = FC (chứng minh trên)
Suy ra: FG = FH
Vậy hình chữ nhật EFGH có hai cạnh kế bằng nhau nên nó là hình vuông.
Bài 151 trang 98 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm nằm giữa O và D. Tia phân giác của góc DAE cắt CD ở F. Kẻ FH ⊥ AE (H ∈ AE) , FH cắt BC ở G. Tính số đo góc (FAG) ̂
Lời giải:
* Xét hai tam giác vuông DAF và HAF, ta có:
∠(ADF) = ∠(AHF) = 90 o
AF cạnh huyền chung
Suy ra: ΔDAF = ΔHAF (cạnh huyền, góc nhọn)
⇒ DA = HA
Mà DA = AB (gt)
Suy ra: HA = AB
* Xét hai tam giác vuông HAG và, BAG, ta có:
∠(AHG) = ∠(ABG) = 90 o
HA = AB (chứng minh trên)
AG cạnh huyền chung
Suy ra: ΔHAG = ΔBAG (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
⇒ ∠A 3 = ∠A 4 hay AG là tia phân giác của ∠(EAB)
Bài 152 trang 99 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông DEBC. Trên cạnh DC lấy điểm A, trên tia đối của tia DC lấy điểm K, trên tia đối của tia ED lấy điểm M sao cho CA = DK = EM . Vẽ hình vuông DKIH (H thuộc cạnh DE). Chứng minh rằng ABMI là hình vuông.
Lời giải:
* Xét ΔCAB và ΔEMB, ta có:
CA = EM (gt)
CB = EB (tính chất hình vuông)
Suy ra: ΔCAB = ΔEMB (c.g.c)
⇒ AB = MB (1)
Ta có: AK = DK+ DA
CD = CA + AD
Mà CA = DK nên AK = CD
* Xét ΔCAB và ΔKIA, ta có:
CA = KI (vì cùng bằng DK)
CB = AK (vì cùng bằng CD)
Suy ra: ΔCAB = ΔKIA (c.g.c)
⇒ AB = AI (2)
DH = DK (vì KDHI là hình vuông)
EM = DK (gt)
⇒ DH + HE = HE + EM
Hay DE = HM
* Xét ΔHIM và ΔEMB, ta có: HI = EM (vì cũng bằng DK)
HM = EB (vì cùng bằng DE)
Suy ra: ΔHIM = ΔEMB (c.g.c)
⇒ IM = MB (3)
Từ (1) , (2) và (3) suy ra: AM = BM = AI = IM
Tứ giác ABMI là hình thoi.
Mặt khác, ta có ΔACB = ΔMEB (chứng minh trên)
⇒ ∠(CBA) = ∠(EBM)
Mà ∠(CBA) + ∠(ABE) = ∠(CBE) = 90 o
Suy ra: ∠(EBM) + ∠(ABE) = 90 o hay ∠(ABM) = 90 o
Vậy tứ giác ABMI là hình vuông.
Bài 153 trang 99 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC. Vẽ ở ngoài tam giác các hình vuông ABDE, ACFH.
a. Chứng minh rằng EC = BH, EC ⊥ BH
b. Gọi M, N theo thứ tự là tâm của các hình vuông ABDE, ACFH. Gọi I là trung điểm của BC. Tam giác MIN là tam giác gì? Vì sao?
Lời giải:
a. Ta có: ∠(BHA) ) = ∠(BAC) + ∠(CAH) = ∠(BAC) + 90 o
∠(EAC) = ∠(BAC) + ∠(BAE) = ∠(BAC) + 90 o
Suy ra: ∠(BAH) = ∠(EAC)
* Xét ΔBAH và ΔEAC , ta có:
BA = EA (vì ABDE là hình vuông)
∠(BAH) = ∠(EAC) (chứng minh trên)
AH = AC (vì ACFH là hình vuông)
Suy ra: ΔBAH = ΔEAC (c.g.c) ⇒ BH = EC
Gọi K và O lần lượt là giao điểm của EC với AB và BH.
Ta có: ∠(AEC) = ∠(ABH) (vì ΔBAH = ΔEAC) (1)
Hay ∠(AEK) = ∠(OBK)
* Trong ΔAEK, ta có: ∠(EAK) = 90 o
⇒ ∠(AEK) + ∠(AKE) = 90 o (2)
Mà ∠(AKE) = ∠(OKB) (đối đỉnh) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra:
∠(OKB) + ∠(OBK) = 90 o
* Trong Δ BOK ta có:
∠(BOK) + ∠(OKB) + ∠(OBK) = 180 o
Suy ra: EC ⊥ BH
b. * Trong ΔEBC , ta có: M là trung điểm EB (tính chất hình vuông)
I trung điểm BC (gt)
Nên MI là đường trung bình của ΔEBC
⇒ MI = 1/2 EC và MI
Trong ABCH, ta có: I trung điểm BC (gt)
N trung điểm của CH (tính chất hình vuông)
Nên NI là đường trung bình của ΔBCH
⇒ NI = 1/2 BH và NI
Mà BH = CE (chứng minh trên)
Suy ra: MI = NI nên ΔINM cân tại I
MI
EC ⊥ BH (chứng minh trên)
Suy ra: MI ⊥ BH. Mà NI
Suy ra: MI ⊥ NI hay ∠(MIN) = 90 o
Vậy ΔMIN vuông cân tại I.
Bài 154 trang 99 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh CD. Tia phân giác của góc ABB cắt CD ở K. Chứng minh rằng AK+CE = BE.
Lời giải:
Trên tia đối của tia CD lấy điểm M sao cho CM = AK
Ta có: AK + CE = CM + CE = EM (1)
Xét ΔABK và ΔCBM, ta có:
AB = CB (gt)
AK = CM (theo cách vẽ)
Suy ra: ΔABK = ΔCBM (c.g.c)
Tam giác CBM vuông tại C nên: ∠M = 90 o – ∠B 4 (4)
Từ (2), (3) và (4) suy ra: ∠(KBC) = ∠M (5)
Và ∠B 1 = ∠B 4 (chứng minh trên)
Từ (5) và (6) suy ra: ∠(EBM) = ∠M
⇒ ΔEBM cân tại E ⇒ EM = BE. (7)
Từ (1) và (7) suy ra: AK + CE = BE.
Bài 155 trang 99 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC.
a. Chứng minh rằng CE vuông góc với DF.
b. Gọi M là giao điểm của CE và DF. Chứng minh rằng AM = AD.
Lời giải:
Xét ΔBEC và ΔCEF , ta có: BE = CF (gt)
BC = CD (gt)
Suy ra: ΔBEC = ΔCFD (c.g.c) ⇒ ∠C 1 = ∠D 1
Suy ra: ∠(DCM) = 90 o
Vậy CE ⊥ DF
b. Gọi K là trung điểm của DC, AK cắt DF tại N.
* Xét tứ giác AKCE, ta có: AB
AE = 1/2 AB (gt)
CK = 1/2 CD (theo cách vẽ)
Suy ra: AE
DF ⊥ CE (chứng minh trên) ⇒ AK ⊥ DF hay AN ⊥ DM
* Trong ΔDMC, ta có: DK = KC và KN
Nên DN = MN (tính chất đường trung bình của tam giác)
Suy ra: ΔADM cân tại A (vì có đường cao vừa là trung tuyến)
Vậy AD = AM.
Bài 156 trang 99 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông ABCD. Vẽ điểm E trong hình vuông sao cho ∠(EDC) = ∠(ECD) = 15 o
a. Vẽ điểm F trong hình vuông sao cho ∠(FAD) = ∠(FDA) = 15 o. Chứng minh rằng tam giác DEF là tam giác đều.
b. Chứng minh rằng tam giác ABE là tam giác đều.
Lời giải:
a. Xét ΔEDC và ΔFDA, tacó: ∠(FDC) = ∠(FDA) = 15 o
DC = AD (gt)
∠(ECD) = ∠(FDA) = 15 o
Suy ra: ΔEDC = ΔFDA (g.c.g)
⇒ DE = DF
⇒ ΔDEF cân tại D
Lại có: ∠(ADC) = ∠(FDA) + ∠(FDE) + ∠(EDC)
Vậy ΔDEF đều.
b. Xét ΔADE và ΔBCE , ta có:
ED = EC (vì AEDC cân tại E)
∠(ADE) = ∠(BCE) = 75 o
AD = BC (gt)
Suy ra: ΔADE = ΔBCE (c.g.c)
⇒ AE = BE (1)
* Trong ΔADE, ta có:
∠(AFD) + ∠(DFE) + ∠(AFE) = 360 o
* Xét ΔAFD và ΔAEF, ta có: AF cạnh chung
∠(AFD) = ∠(AFE) = 150 o
DE = EF (vì ΔDFE đều)
Suy ra: ΔAFD = ΔAEF (c.g.c) ⇒ AE = AD
Mà AD = AB (gt)
Suy ra: AE = AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AE = AB = BE
Vậy ΔAEB đều.
Bài 12.1 trang 99 SBT Toán 8 Tập 1: Hình vuông có chu vi bằng 8 thì đường chéo bằng :
A. 2
B. √32
C. √8
D. √2
Hãy chọn phương án đúng.
Lời giải:
Chọn C. √8 Đúng
Bài 12.2 trang 99 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Các tia phân giác của bốn góc vuông có đỉnh O cắt các cạnh AB, BC, CD, DA theo thứ tự ở E, F, G, H. Tứ giác EFGH là hình gì ?
Lời giải:
Ta có: ∠(AOB) và ∠(COD) đối đỉnh nên E, O, G thẳng hàng
∠(BOC) và ∠(AOD) đối đỉnh nên F, O, H thẳng hàng
Xét ΔBEO và ΔBFO:
∠(EBO) = ∠(FBO) (tính chất hình thoi)
OB cạnh chung
∠(EBO) = ∠(FBO) = 45 o (gt)
Do đó: ΔBEO = ΔBFO (g.c.g)
⇒ OE = OF (1)
Xét ΔBEO và ΔDGO:
∠(EBO) = ∠(GDO) (so le trong)
OB = OD(tính chất hình thoi)
∠(EOB) = ∠(GOD) (đối đỉnh)
Do đó: ΔBEO = ΔDGO (g.c.g)
⇒ OE = OG (2)
Xét ΔAEO và ΔAHO:
∠(EAO) = ∠(HAO) (tính chất hình thoi)
OA cạnh chung
∠(EOA) = ∠(HOA) = 45 o (gt)
Do đó: ΔAEO = ΔAHO (g.c.g)
⇒ OE = OH (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: OE = OF = OG = OH hay EG = FH
nên tứ giác EFGH là hình chữ nhật (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và bằng nhau)
OE ⊥ OF (tính chất hai góc kề bù)
hay EG ⊥ FH
Vậy hình chữ nhật EFGH là hình vuông.
Bài 12.3 trang 99 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh DC lấy điểm E, trên cạnh BC lấy điểm F sao cho DE = CF. Chứng minh rằng AE = DF và AE ⊥ DF.
Lời giải:
Xét ΔADE và ΔDCF:
AD = DC (gt)
DE = CF (gt)
Do đó: ΔADE = ΔDCF (c.g.c)
⇒ AE = DF
∠(EAD) = ∠(FDC)
∠(EAD) + ∠(DEA) = 90 o (vì ΔADE vuông tại A)
⇒∠(FDC) + ∠(DEA) = 90 o
Gọi I là giao điểm của AE và DF.
Suy ra: ∠(IDE) + ∠(DEI) = 90 o
Trong ΔDEI ta có: ∠(DIE) = 180 o – (∠(IDE) + ∠(DEI) ) = 180 o – 90 o = 90 o
Suy ra: AE ⊥ DF