Một số phương pháp giải phương trình lượng giác 0 7/12/2017
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1. Một số phương trình lượng giác mẫu mực
1.1. Phương trình lượng giác cơ bản
1.3 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
1.4 Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx
1.5 Phương trình đẳng cấp bậc ba đối với sinx và cosx
1.6 Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx
1.7 Phương trình đối xứng đối với tanx và cotx
2. Một số phương pháp giải phương trình lượng giác không mẫu mực
2.1 Phương pháp đặt ẩn số phụ
2.2 Giải phương trình lượng giác bằng cách đưa về phương trình tích
2.3 Một số phương pháp khác
2.3.1 Phương pháp đưa về tổng các biểu thức không âm
2.3.3 Phương pháp phản chứng
2.3.4 Phương pháp đoán nghiệm
2.3.5 Phương pháp đưa về tích
3. Một số dạng đặc biệt của phương trình lượng giác
3.1 Phương trình lượng giác có chứa tham số
3.1.1. Đưa phương trình lượng giác có chứa tham số về dạng phương trình lượng giác cơ bản
3.1.2. Biện luận và giải phương trình lượng giác có chứa tham số bằng phương pháp khảo sát hàm số
3.2. Phương trình lượng giác chứa dấu trị tuyệt đối
3.2.2 Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ
3.2.3. Sử dụng các tính chất giá trị tuyệt đối
3.3. Phương trình lượng giác chứa căn thức
3.3.1. Biến đổi tương đương
3.3.2. Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ
3. 7. Công thức biến đổi tích thành tổng
* Chú ý :
Nhìn chung có h ai phương pháp để giải phự ơng trình lượng giác là biến đổi phương trình về các phương trình lượng giác về dạng mẫu mực hay phương trình lượng giác dạng không mẫu mực.
Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa.
Dùng các công thức lượng giác đã biết biến đổi đưa phương trình đã cho về phương trình dạng cơ bản.
Đối chiếu với điều kiện loại các nghiệm không thỏa mãn các điều kiện.
Nghiệm của phương trình lượng giác là một tậ p hợp vô hạn và được biểu diễn d ưới dạng một họ nghiệm.
2) Giải phương tr ình (2)
(2)
Đặt
Nếu là một số cho trước mà xác định thì phương trình tanx = tan có nghiệm x = k thoả điều kiện .
Phương trình tanP(x) = tanQ(x) thì cần phải chú ý đến điều kiện cosP(x) 0 và cosQ(x) 0.
Ví dụ minh họa
Giải các phương trình sau:
Khi đó phương trình trở thành:
Đặt
So sánh với điều kiện (*) s uy ra nghiệm của phương trình là : ,
Dạng phương trình:
Điều kiện có nghiệm:
Phương trình trở thành:
Đặt . Khi đó và
Phương trình trở thành:
Nếu chia 2 vế cho a rồi ta đặt
Đặt ta được phương trình lượng giác cơ bản
Ví dụ minh họa
Đặt . Khi đó và
P hương trình (2) trở thành:
(3)
Điều kiện có nghiệm của phương trình:
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm .
Dạng phương trình:
( a, b, c, d: có ít nhất 2 hệ số khác không)
Xét , c hia hai vế của (1) cho ta được:
P hương trình trở thành :
Giải phương trình (2) theo t từ đó suy ra x theo
; ;
Đây là phương trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x.
Ví dụ minh họa
Giải các phương trình sau:
(1)
Xét , chia hai vế của cho ta được phương trình :
(2) (2′)
So sánh với điều kiện (*), suy ra nghiệm của (3) là ,
Dạng phương trình
Xét có là nghiệm của (1) hay không
(2)
Ví dụ minh họa
Vì nên phương trình tr ên vô nghiệm .
Do điều kiện (*) , chia hai vế của (2 ‘) cho ta được:
(3)
Xét , chia hai vế của (3′) cho ta được phương trình :
Chú ý : Nế u là phương trình đẳng cấp bậc k đối với sinx và cosx thì chia hai vế cho , ta được một phương trình bậc k the o .
Dạng 1:
Đặt
Suy ra
Chú ý : Ta cũng có thể đặt và làm tương tự như trên .
Ví dụ minh họa
Giải các phương trình sau:
(1)
Khi đó trở thành:
Khi đó (2)
Đặt
Điều kiện: (* * )
Khi đó trở thành:
Đặt . Điều kiện: (*)
Suy ra
Khi đó trở thành: (nhận)
Với
Vậy nghiệm của ( 3 ) là , ,
Suy ra
Vậy nghiệm của (4 ) là ,
Dạng 2:
Đặt
Khi đó phương trình trở thành:
G iải phương trình lượng giác cơ bản , suy ra x
Ví dụ minh họa
Giải các phương trình sau:
Đặt . Điều kiện: (*)
Suy ra
(2)
Đặt . Điều kiện: (*)
Suy ra
Khi đó trở thành :
Đặt . Điều kiện: (* * )
Suy ra
Khi đó trở thành:
(với )
Giải phương trình
Ví dụ mimh họa
Điều kiện:
Đặt , điều kiện . Khi đó
trở thành:
Vậy nghiệm của (1) là , , ,
Điều kiện:
(2)
Đặt , điều kiện . Khi đó
trở thành:
Dạng 2:
Đặt . Khi đó
Giải phương trình theo t và kết hợp với điều kiện (nếu có) , suy ra t
Giải phương trình
Ta có
Ta có:
Đây là phương trình cơ bản của cot2x
Ví dụ minh họa
Giải các phương trình sau:
Vậy nghiệm của (1 ) là , ,
Điều kiện:
Khi đó
Vậy nghiệm của (2) là , ( với )
Phương pháp
Một số dạng phương trình thường gặp
1. f (sinx, cosx) = 0 , đặt
2. f (sin 2 x, sinxcosx) = 0 , đ ặt
3. f (sinx, cos2x) = 0 , đ ặt ,
4 . f (cosx, cos2x) = 0 , đ ặt ,
5. f , đ ặt ,
6 . f , đ ặt ,
7. f , đ ặt ,
8. f , đặt ,
K hi đó ,
9. f ,đặt ,
10. Dạng: , đặt
11. Dạng: h oặc .
12. , đ ặt ,
h oặc
13. , đ ặt ,
Ví dụ minh họa
(3)
Khi đó phương trình trở thành:
Điều kiện:
So sánh với điều kiện (*), suy ra nghiệm của (5) là ,
Khi đó
Phương trình trở thành:
(7)
Đặt
Điều kiện:
Với
Phương pháp
c) và có thừa số chung .
d) và có thừa số chung .
Ví dụ minh họa
(1)
(2)
(3)
4) Giải phương trình (4 )
Điều kiện:
Ví dụ minh họa
Giải các phương trình sau:
(1)
Kế t hợp với (*), suy ra nghiệm của (1) là:
(2)
Ví dụ minh họa
(1)
(2)
Ta có
Ví dụ minh họa
Giải các phương trình sau:
Do đó (vô nghiệm)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
(2)
(vô nghiệm)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Ta có
Ví dụ minh họa
Giải các phương trình sau:
Ta có
(2.2)
Ta có
(vô nghiệm)
Ta có
Ví dụ minh họa
hoặc
hoặc ,
Phương pháp
+ Chọn một giá trị đặc biệt thay vào phương trình nếu thỏa thì là nghiệm của phương trình.
+ Dùng tính chất đơn điệu chứng minh nghiệm trên là duy nhất.
Ví dụ minh họa
Đặt
+ Khi
+ Khi
Như vậy nghiệm của (1) là
2) Giải phương trình với (2)
Đặt
N ên đồ thị của hàm số cắt tại một điểm duy nhất .
Ví dụ minh họa
Giải các phương trình sau:
hoặc
hoặc
hoặc
(vô nghiệm)
Phương pháp
+ Điều kiện có nghiệm của phương trình lượng giác
+ Kết hợp những kiế n thức đã học đưa ra các điều kiện làm cho phương trình dạng cơ bản có nghiệm thỏa điều kiện cho trước.
Ví dụ minh họa
1) Định m để phương trình (1) có nghiệm
Vậy phương trình (1) có nghiệm khi
2) Định m để phương trình (2) có nghiệm trên khoảng
Với thì nên chia hai vế của (2) cho ta được :
Khi đó
Giả sử
tăng trên khoảng có nghiệm
.
Giả sử phương trình lượng giác phụ thuộc m có dạng: (1) . Định m để phương trình (1) có nghiệm .
Phương pháp
5) (1) có nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm khi và chỉ khi có điểm chung với
Ví dụ minh họa
(1) có nghiệm.
(1)
(2) có nghiệm.
Đặt
Khi đó
Xét hàm số
Ta có
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, phương trình (2) có nghiệm khi
3) Cho phương trình (3 ) . Định m để (3 ) có hai nghiệm phân biệt trên đoạn .
Với , đặt . Khi đó
(3) có hai nghiệm phân biệt trên đoạn khi và chỉ khi có hai nghiệm phân biệt trên .
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, ta thấy yêu cầu bài toán tương đương
Đặt
Xét
Do đó
Bảng biến thiên
3.2 . Phương trình lượng giác chứa dấu trị tuyệt đối
Phương pháp
Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa
Chọn lựa phương pháp thực hiện thích hợp
Kiểm tra điều kiện nghiệm của phương trình
Một số phương pháp khử dấu trị tuyệt đối
3.2.1. Sử dụng định nghĩa
Dạng 1:
+ Kết luận (tập nghiệm của (1) là hợp của hai tập nghiệm (2),(3)).
hoặc
Ví dụ minh họa:
(1)
(2)
(2.2)
Kiểm tra điều kiện (2.1)
Do đó họ nghiệm này bị loại
Do đó họ nghiệm này thỏa (2.1)
(3)
Phương pháp
.
.
.
.
Ví dụ minh họa
(1)
Khi đó phương trình trở thành
Vậy nghiệm của (1) là , ,
Do đó
Nên điều kiện của t là
Phương pháp giải
Ví dụ minh họa
(1)
Vậy tập nghiệm của (1) là
(2)
Vậy tập nghiệm của (2) là và
(3)
Phương pháp
Dạng 1: (với điều kiện f(x), g(x) có nghĩa)
(f(x), g(x), h(x) có nghĩa)
Ví dụ minh họa
Kết hợp với điều kiện , suy ra nghiệm của (1) là
(2)
(3)
Kiểm tra điều kiện (3.1)
Một số phép đặt ẩn phụ thường gặp
và (k: hằng số), ta đặt , điều kiện . Khi đó
và (k =const) , ta đặt .
Khi đó
Ngoài ra, ta cũng có thể sử dụng các phương pháp đặt ẩn phụ giải các phương trình vô tỉ như sau:
Ví dụ minh họa:
1) Giải phương trình (1)
Đặt
Ta có
Suy ra
Vậy nghiệm của (1) là ,
Vậy nghiệm của (2) là , , (với )
Vậy nghiệm c ủa (3) là , ,
Nếu phương trình vô tỷ có dạng:
thì ta đặt với hoặc với .
thì ta đặt với hoặc với .
thì ta đặt với hoặc với
hoặc thì ta đặt
Ví dụ minh họa
Đặt
(do (**)) (2′)
Đặt
Khi đó phương trình (2′) trở thành :
(***)
Do (**) nên từ (***) ta có:
Giải các phương trình sau:
Điều kiện:
Khi đó (1)
(4)
(6)
+ Xét , chia hai vế của (6′) cho ta được :
(8)
(vô nghiệm)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
(9)
+ Xét , c hia hai vế phương trình cho , ta được :
(10)
(11)
(12)
Đặt
Khi đó (13)
Phương trình trở thành:
Vậy nghiệm của (14) là ,
Đặt . Khi đó
Phương trình trở thành:
Với
Với
(16)
Khi đó (18 )
Với mọi m, phương trình đã cho luôn có nghiệm
Ta có
Vậy giá trị m cần tìm là
21) Cho phương trình (21) . Tìm m để phương trình có nghiệm
Đặt . Ta có
Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi có nghiệm
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, yêu cầu bài toán tương đương
(22)
Vậy nghiệm của (22) là ,
(23)
Ta có
Do đó ( vô nghiệm )
Giải các phương trình sau:
24) Định m để phương trình có đúng hai nghiệm
25) Cho phương trình tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn: .