Cho elíp và đ iểm I(1; 2). Viết phương trình đ ường thẳng đ i qua I biết rằng đ ường thẳng đ ó cắt elíp tại hai đ iểm A, B mà I là trung đ iểm của đ oạn thẳng AB.
( với (E) : , và I(1; 1) ) .
Cho elíp (E) : . Viết phương trình đ ường thẳng đ i qua đ iểm I(0 ; 1) và cắt elíp (E) tại hai đ iểm P và Q sao cho I là trung đ iểm của đ oạn PQ.
Đ ây là một bài toán hay và có nhiều cách giải . Cụ thể :
Đ ường thẳng d đ i qua I có phương trình tham số :
Đ ể tìm tọa đ ộ giao đ iểm A, B của d với elíp , ta giải phương trình
hay (1)
Phương trình (1) luôn có hai nghiệm trái dấu.
Nếu và là hai nghiệm của phương trình trên thì và . Khi đ ó và . Muốn I là trung đ iểm của AB thì hay . Theo đ ịnh lí Viét, hai nghiệm và của phương trình (1) có tổng khi và chỉ khi . Ta có thể chọn b = – 9 và a = 32.
Vậy đ ường thẳng d có phương trình , hay :
Phương trình đ ường thẳng : y = kx + 1 ( : x = 0 không thích hợp )
Phương trình hoành đ ộ giao đ iểm : (
Phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu : ( vì p < 0 )
. Vậy PT Đ T : y = 1
BÀI TOÁN TỔNG QUÁT :
Vì I thuộc miền trong của elip (E ) nên lấy tùy ý điểm thì đường thẳng IM luôn cắt (E) tại điểm thứ hai là M'(x’ ; y’) . Nếu M'(x’ ; y’) là điểm đối xứng với M qua I thì có : ; M’
Ta có :
(1)
Tọa độ của M và của I thỏa PT (1) . Do đó PT (1) là PT của đường thẳng MM’.
( Áp dụng PT(1) cho a , b , , tương ứng trong các đề bài trên , ta tìm được ngay phương trình của các đường thẳng là : 9x + 32y – 73 = 0 ; 4x + 5y – 9 = 0 ; y = 1 )
Cho đường cong (C) : y = f(x) và điểm I . Viết phương trình
đường thẳng đi qua điểm I và cắt (C) tại hai điểm M , N sao cho , với k cho trước thỏa , .
Cách giải cũng chỉ việc sử dụng công thức và dùng điều kiện hai điểm M , N cùng nằm trên (C ) . ( Hiển nhiên đường thẳng có tồn tại hay không là còn phụ thuộc vào giá trị của tham số k )